PRINCIPES
Définitions. — Soient cc^, x^y ce,, ..., Xm-unt quantités, et V une fonction de ces quantités, cette fonction étant formée avec elles à Taide des six opérations fondamentales des mathématiques ou de quelques-unes d'entre elles, répétées un nombre fini de fois; dont trois directes, addition, multiplication, formation de puissances, et trois inverses, soustraction, division, extraction de racines..
Si, dans la formation de la fonction V, il n'y a que des signes des quatre premières opérations ou de quelques-unes d'entre elles 5 V est dite fonction entière de x^, x^, Xj, ..., Xm-i; et si dans V ces quantités sont liées par les signes des cinq premières opérations ou de quelques-unes d'entre elles, V est une fonction rationnelle de ces m quantités. Mais nous donnerons une plus grande extension à ces mots entier et rationnel, et nous dirons qu'une fonction est entière ou rationnelle de ces quantités x^, cc^, cCj, ..., aî,„i, quand bien même son expression contiendrait dans la première ou dans la seconde formation des racines de l'unité d'un degré quelconque fe, égal ou différent de m.
Une équation algébrique
(1) F {x) = X"» + AjX"'-^ + P^x"'-^ -h ... >^ A« =
est réductible ou irréductible, selon que le premier membre se décompose ou ne se décompose pas en facteurs de degrés moindres en X, tels que les coefficients des divers termes de ces facteurs sont des fonctions rationnelles de A^, Ag, ..., A^ indépendantes des racines de l'unité d'un degré quelconque. Nous verrons qu'une
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 7
équation irréductible peut cesser de l'être, quand on adjoint aux coefficients A^, Aj, ..., A^ de cette équation des racines de certaines équations que nous appellerons résolvajites.
Résoudre algébriquement Téquation (1), c'est déterminer une fonction algébrique de ses coefficients, qui, substituée à l'inconnue x, satisfasse identiquement à cette équation.
Fonctions semblables (}).
Considérons une fonction rationnelle V des m racines de l'équation (1) de forme déterminée et connue, et admettons qu'elle prenne s valeurs quand on y permute de toutes les manières possibles ces m racines que son expression renferme.
Nous avons démontré ailleurs (2), qu'on peut partager les 1.2.3 ... m= [K permutations, produites par les m racines en s groupes composés chacun de q permutations, [l = sq, associés de telle manière que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations d'un même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admettons que ce partage soit effectué, et soit
ap Pi, ..., (1)1, a„ p,, ..., (1)5,
le tableau des permutations qui en résulte, le nombre des lettres a, P, ..., u) étant égal à q.
Soient V^ la valeur que prend la fonction donnée V pour toutes les permutations a^, P^, ..., to^ du premier groupe et V,, V3, ..., V, les valeurs qu'elle prend respectivement pour les permutations des 2®, 3®, ..., s® groupes.
Cela rappelé, considérons une autre fonction rationnelle y de ces mêmes racines; cette fonction y est semblable à V si elle est
(*) Voir \cs Mémoires de Berlin pour l'année 1771, p. 192, et aussi VAlgèbre supérieure de Serret, 2< éd., p. 140.
(') Journal de Mathématiques de Liouville, février I8G0.
invariable pour toutes les permutations d'un quelconque des groupes du tableau (A), et si elle change de valeur en passant d'un groupe à un autre : en sorte que Y et y ont un même nombre a de valeurs distinctes. Pour toute autre hypothèse V et y sont des fonctions dissemblables,
La question à résoudre est celle-ci : connaissant V et les coefficients de Téquation (1), trouver l'inconnue y. Nous devons distinguer deux cas dans la solution de ce problème, celui où les fonctions V et y sont semblables, et celui où elles sont dissemblables.
Premier cas. — Les fonctions V et y sont semblables. Puisque la forme de la fonction rationnelle V est connue, nous connaissons les valeurs analytiques V^, Vj, ..., V,. Considérons actuellement une fonction rationnelle quelconque et symétrique de ces s valeurs,
Tout changement opéré sur le» m racines Xq^ x^, ..., ac^-i laissera une quelconque de ces s valeurs, V^ par exemple invariable, ou il la transformera en une autre de ces m valeurs. Dans l'une ou l'autre de ces deux hypothèses, ce même changement produira les mêmes effets, sur les autres valeurs de V, d'après les propriétés connues du tableau A. Mais la fonction est symétrique par rapport à ces s valeurs, donc elle est symétrique par rapport aux racines de l'équation (1), et par conséquent elle est exprimable en fonction rationnelle des coefficients de cette équation. On doit donc considérer comme connues : 4® la somme des valeurs V^, Vj, ..., V,; 2** la somme de leurs produits deux à deux; 3^ la somme de leurs produits trois à trois ; et ainsi de suite, et par conséquent l'équation :
dont les racines sont ces s valeurs V^, Vj, ..., V,. Considérons actuellement la fonction rationnelle t/V*, k désignant un nombre entier quelconque; et désignons par y^, t/j, ..., y, les valeurs que prend respectivement y pour une quelconque des permutations des s groupes du tableau (A). Il résulte de ce qui précède que toute fonction symétrique des s valeurs y^Y\, t/,V*, ..., y, Vf est invariable par rapport aux m racines de l'équation (1), et par conséquent exprimable
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 9
en fonction rationnelle de ses coefficients. On doit donc considérer comme connue la fonction définie par l'équation
quelle que soit la valeur entière attribuée k k; et par conséquent les fonctions ^j, t^J ..., t,i définies par les équations
Vi + î/î -+- ••• + y. = h^
qui se déduisent de la première en donnant successivement à k les valeurs 0, 4, 2, ..., s — 4; ces équations serviront à déterminer y^, y%') •••> y S' Pour déterminer Tune des inconnues, y< par exemple, nous suivrons la méthode des multiplicateurs; nous multiplierons donc respectivement les deux membres de chacune de ces s équations par /ig, ^4, ..., hj,s, 4 ; nous ferons la somme des produits membre à membre, et nous aurons, en faisant pour abréger
K + K^ + ^V« + ... + lu^, V-» + V'-» = ^ (V), yi^ (Vi) + ... + Vi^ (V,) + ... + y,^ (V,) z= \t, + h^tj + ...
Pour déduire de cette dernière équation la valeur de y^, il faut déterminer les s — 4 coefficients indéterminés \^ h^^ ..., /i,, par les s — 4 équations :
(3) 4'(V,) = 0, <KV,) = 0, .., 4'(Vo)=0;
et ces indéterminées étant connues par ces équations, on aura
Pour déterminer ces s — 4 indéterminées et par suite y^, il suffit de résoudre les équations (3) ; mais on peut opérer plus simplement, car ces équations (3) prouvent que les s — 4 racines de l'équation ^ (V) = sont Vj, Vj, ..., V„ c'est-à-dire toutes celles de l'équa-
tien (2), la racine V^ exceptée; donc
(V) = -iiZL ^ V—
+ PiV,
et puisque ce quotient doit être identique au polynôme ^ (V), on doit avoir
Ces valeurs font connaître celle de i/»-; mais le numérateur de son expression (4) peut être simplifié par le calcul suivant dû à Lagranj^e. Posons en effet
et multiplions les deux membres de chacune de ces s équations respectivement par Vj-*, V*.-*, ..., V,., 1; nous aurons, en faisant la somme des produits membre à membre, et en ayant égard aux valeurs
de Mq, flj, ..., rtg — 2,
TjVj-' + TtV'-' + ... + T.,V< + T., = fto^o + Kt* + •••
+ /^.Jt.-v + t.-. = e(V..);
et, par suite, la formule (4) deviendra
„ e (VQ
les coefficients des diverses puissances de V,., dans le numérateur, étant des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation (1). Or,
l'équation i^ (V)
donne i/ (Vj) = ip' (V,), donc enfin
?'(Vi)
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. H
formule qui donnera les valeurs y^^ y^, ..., y„ en remplaçant i par les nombres 1, 2, 3, ..., s.
Ainsi ces valeurs s'expriment en fonction rationnelle de V^, V,, . . . , V,.
Sous le point de vue analytique, les valeurs V^, V^, ..., V, sont inégales; mais pour.des valeurs particulières des racines cCq, a^^, ..., (Tm - 1 et pour des formes particulières de la fonction V, quelques-unes de ces valeurs peuvent être égales entre elles, V^ = V, par exemple; auquel cas ç' (VJ = 0. Cette hypothèse rend illusoire la formule (5) pour les valeurs y^ et y^ relatives à Vj et à V,; mais on peut, en suivant une méthode connue, déterminer la somme y^ + y,.
Modifions, en effet, les coefficients de Téquation (2) de telle manière que les racines V^ et V, aient une différence e et que les autres conservent les mêmes valeurs ; nous avons
De cette dernière équation nous déduisons
et si on pose
on aura successivement, à la limite e = 0, c'est-à-dire en rétablissant les valeurs des coefficients de l'équation (2),
On connaît donc la somme y^-^ y^\ mais, si on prend pour inconnue t/^, on obtiendrait par un calcul analogue ^] + y|. De ces deux sommes, on déduira l'équation du second degré donl les racines sont î/j et 7/2 .
Si Vj = V, = Vj, la formule (5) devient illusoire pour i/j, i/,, y^; mais elle peut faire connaître la somme î/j H- y, + î/, par la même méthode. Modifions, en effet, les coefficients de l'équation (2) de telle manière que Y^ soit racine double, que V, = V^ -f- e et que les autres restent les mêmes ; et posons
(V V,) (V - V.) ... (V - V.) Nous aurons
ç' (V,) = (V. - V,)« (V. - vo ... (V. - V.), F,(V)
'iKV- (V — V.)«
et à la limite, c'est-à-dire en rétablissant les valeurs des coefficients de l'équation (2), nous obtiendrons
r F. (V. + e) y, = hm \ '-,
r ~eF;(V,)-F,(VO + F,(V, + £) 1 „,.,
Vi + 2/2 + 2/3=1™ '-^^ — '-^ — ^^-î — i = j-^ f; (V,).
En prenant pour inconnue d'abord y*, puis y*, on trouverait par un calcul analogue l/î 4- t/J H- y\ et y\ + i/} + i/J ; et, par suite, l'équation du 3" degré dont les racines seraient i/^, t/j, 1/3.
Généralement, si V^ était une racine multiple du degré i de multiplicité, on poserait
(V-V,^0-(V-V,) et on trouverait la formule
qu'on démontrerait être vraie par la voie bien connue de la démonstration de proche en proche. Et en prenant successivement pour
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 43
inconnues y*, t/*, ..., y% on connaîtrait y\ + yl -h ... + yf^ ..., y\ ■+■ y'i + ••• "*" 2/0 ®^ P^r suite Téquation dont les racines seraient Viy !/t5 •••) Vi' Cette généralité n'étant pas nécessaire à notre objet, nous en supprimons la démonstration.
Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu ; car, à une même valeur V, de V correspondent par hypothèse i valeurs de t/, donc chacune d'elles doit dépendre de la même manière de V^. Ces i valeurs doivent donc être racines d'une même équation de degré i.
Ainsi, les fonctions V et y des racines de l'équation (1) étant rationnelles et semblables, on peut généralement avoir la valeur de y par une expression rationnelle de V et des coefficients de cette équation. Dans le cas où la fonction connue V est racine multiple du degré i de multiplicité de l'équation (2), y dépend d'une équation de ce degré dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de V et des coefficients de l'équation (1).
Deuxième cas. — Les fonctions V et y sont dissemblables. Nous continuerons de désigner les s valeurs distinctes de V par V^, V,, ..., V„ et nous désignerons celles de y par i/^, y„ ..., 2/i, l étant différent de s.
Si s est égal au nombre total \k de permutations que produisent les m racines dont V et y sont fonctions, quelle que soit la valeur i, qui du reste ne peut être qu'un diviseur de \l, la méthode précédente s'applique sans modification à la détermination de chaque valeur de y. En sorte que, dans cette hypothèse, la formule générale (5) donnera les diverses valeurs de y, chacune d'elles répétée un même nombre de fois k, si (ji. = Ik.
Si s diffère de ix, s sera aussi un diviseur de [ji; et dans cette deuxième hypothèse, soient t/^, y,, ..., y^ les valeurs de y relatives aux q permutations du premier groupe du tableau (A), qui font acquérir à V une même valeur V^; i/i+g, l/s+g, ..., ytq celles qui sont relatives aux permutations du second groupe et qui donnent une même valeur V, à V; et ainsi de suite, chaque valeu» de y étant répétée un certain nombre de fois k.
Il est clair que si on prend une fonction z rationnelle et symétrique de t/j, J/,, ..., yq, les fonctions V et z seront semblables, ou du moins telles qu'on pourra appliquer à z la formule (5). On pourra donc
généralement exprimer respectivement z^ Zj, ..., z, en fonction rationnelle de V^, Vj, ..., V, et des coefficients de Téquation (1), par cette formule générale (5). Et en prenant successivement pour z la somme des produits deux à deux de ces valeurs i/j, i/j, ..., 2/^; la somme des produits trois à trois de ces mêmes valeurs, et ainsi de suite ; on déterminera, de la même manière, chacune de ces spmmes relatives à V^, Vj, ..., V,; et, avec les valeurs de ces sommes, on aura Téquation en y du degré g dont les racines seront i/^, i/j, ..., y^. Par un calcul analogue on aurait les équations dont les racines seraient ^i+g, 2/j+ç, ..., ^2?, ainsi que les équations relatives aux autres groupes.
Corollaire I. — Il résulte de ce qui précède que, si la fonction connue V prenait {a valeurs distinctes, chacune des racines de Téquation (1) pourrait être exprimée en fonction rationnelle d'une de ces valeurs de V et des coefficients de cette équation, car il suffirait de prendre x pour y.
Corollaire II. — Si la fonction rationnelle V avait une même valeur pour toutes les permutations d'une même classe, V aurait m valeurs distinctes, et dès lors V et x seraient semblables, et par suite chacune des racines de l'équation (4) s'exprimerait en fonction rationnelle d'une de ces valeurs et des coefficients de cette équation.
Remarque I. — Dans un cas particulier, le degré q de chacune de ces équations, au nombre de s, peut être abaissé. Soit en effet q' le nombre de valeurs distinctes de la fonction y pour les q permutations du premier groupe du tableau (A); les permutations de chacun des s — 1 autres groupes de ce tableau étant assujetties à la même loi de formation que celles du premier, cette fonction y prendra g' valeurs distinctes pour les q permutations de chacun d'eux. Mais il peut arriver que les valeurs de y relatives à quelques-uns de ces s groupes soient égales entre elles ou soient différentes. Dans ce dernier cas, le nombre l de valeurs distinctes de y sera égal k sq'; et comme \t. =:q s = Ik^ on aura qs == sq'k^ et par suite q = kq'. Ainsi, dans le cas particulier que nous examinons, chacune des 8 équations, de degré g, a q' racines égales du degré de multiplicité k.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 45
Donc le premier membre -de chacune de ces s équations est une puissance parfaite de l'indice k; en sorte qu'en extrayant la racine d'indice k de leurs premiers membres, le degré q de chacune d'elles sera abaissé au degré q' ; et la détermination de y sera ramenée à la résolution de ces dernières.
Remarque IL — Il peut arriver, et il y a de nombreux exemples, que l soit égal à s sans que y prenne une même valeur pour les q permutations qui font acquérir à V une même valeur. Dans ce cas nous dirons que V et 1/ sont des fonctions dissemblables : le raisonnement du deuxième cas peut en effet être appliqué à cette hypothèse.
On doit observer toutefois que, si pour les q permutations de chacun
g des s groupes du tableau (A), y a g' valeurs distinctes, -7 de ces
groupes seulement feront acquérir à cette fonction y des valeurs différentes; et que par conséquent la remarque précédente ne peut être appliquée à ce cas.
Théorème I. — La résolution de toute équation algébriqi^e et imductihle dépend de la résolution d'une équation dont les racines sont des fonctions rationnelles de celles de la proposée.
Soient m le degré de l'équation proposée
et Xj, x„ ,,.yXm^i ses m racines; supposons d'abord qu'elle soit résoluble algébriquement. Cette équation étant irréductible, chacune de ses racines est assujettie à la même loi de détermination, celle de satisfaire identiquement à cette équation ; tout ce qu'on peut dire de l'une d'elles, appartient nécessairement à toute autre. Et comme ces racines sont connues par hypothèse, et exprimées par des fonctions rationnelles faites avec des radicaux et avec les coefficients de l'équation (4), la fonction de ces radicaux qui donne l'une des racines doit donner toutes les autres en prenant successivement toutes les déterminations de ces radicaux. Cette fonction, réduite à sa plus simple expression, doit donc se réduire successivement à x^, x^y ..., x«i, lorsqu'on y remplace les coefficients de l'équation proposée par les fonctions symétriques des racines qu'ils expriment. Or, il ne peut en
être ainsi que parce que chaque radical de cette expression est équivalent à une fonction rationnelle de ces mêmes racines, en donnant à ce mot rationnel l'extension dont nous avons parlé dans les définitions.
Ainsi, chaque radical qui entre dans l'expression d'une quelconque des racines est équivalent à une fonction rationnelle de ces racines; et les valeurs algébriques de ces fonctions sont parfaitement déterminées, puisqu'elles sont équivalentes à ces radicaux connus par hypothèse.
Donc, si on conçoit l'une quelconque de ces fonctions
et l'équation ç (y) = de degré s dont elle est racine, équation dont on obtient les coefficients en fonction rationnelle de ceux de l'équation (1) par le procédé connu (*), les racines de cette équation (f (y) = seront connues.
Ainsi, quand une équation irréductible est soluble par radicaux, la fonction y et l'équation ç (y) = dont elle dépend existent, et les racines de cette dernière sont parfaitement déterminées. Réciproquement : soient
une fonction rationnelle des racines de l'équation (1), et
l'équation dont cette fonction dépend, équation dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de ceux de l'équation proposée (1) ; et admettons : 1° que cette équation soit résoluble ou décomposable en d'autres équations de degrés moindres ; qu'elles-mêmes soient décomposables en d'autres équations de degrés moindres, et ainsi de suite, les dernières équations auxquelles on parvient étant résolubles; 2® et que des diverses valeurs de cette fonction y, on puisse déduire les
(1) Ce procédé consiste à permuter les m lettres arc, xi, ..., Xf^ — i dont se compose cette fonction, à former les valeurs distinctes yi, yj, ..., y, qu'elle prend pour toutes ces permutations, et à déterminer 4' la somme de ces valeurs; 2* la somme de leurs produits deux à deux; 3* la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite. Car chacune de ces sommes, étant évidemment symétrique par rapport aux m racines de la proposée (1), peut ôlrc exprimée en fonction rationnelle des coefficients de cette équation.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 17
valeurs des racines cherchées. Le problème de la détermination des racines de Téquation donnée (4) sera complètement résolu.
Plus généralement, soient Zp 2,, ..., z^ des fonctions rationnelles 1
contenant toutes les racines de Téquation (1), ou contenant, la première, un groupe de ces racines, la deuxième, un autre groupe de ces mômes racines, et ainsi de suite; et soient
y = F (Zj, r„ ..., z^) une fonction rationnelle de ces quantités, et
Téquation dont y dépend, équation qu'on peut former avec les coefficients de l'équation (4). Admettons : 4° que cette équation <p (t/) = soit telle qu'elle soit résoluble directement ou par sa décomposition en d'autres de degrés moindres ; 2*^ que des diverses valeurs de y on puisse déduire les valeurs des expressions Zj, z,, ..., 2;^; 3® que de ces dernières on puisse déduire directement les racines de l'équation (4), ou les équations dont les racines sont respectivement celles qui entrent dans chacune de ces expressions ; 4° enfin que ces dernières équations soient résolubles. Le problème de la détermination des racines de l'équation proposée (4) sera complètement résolu.
Ainsi le théorème est démontré.
Nous appellerons y la fonction résolvante de l'équation à résoudre (4), et <p (t/) = son équation résolvante.
Remarque. — Ce théorème détermine la méthode à suivre pour résoudre les équations. La résolution de l'équation (4) dépend de celle de l'équation (2), pourvu que des diverses valeurs de y on puisse déduire les racines de la proposée.
Théorème IL — Quelle que soit la composition de la fonction résolvante y de Véquation irréductible F (x) = 0, et qu^l que soit le nombre s de ses valeurs distinctes, si les s groupes de permutations en aCj, a?^, a?j, ..., Xn-.i relatifs à ces s valeurs peuvent être partagés en v groupes de permutations hiséparables, Véquation ^ (t/) = d*ou dépend cette fonction y se décompose en v équatio7is, chacune du degré r, s = vz, à Vaide des racines d'une équation
Despeyrous. — mémoire. 2
algébrique, de degré v, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de ceux de la proposée.
Quel que soit, en effet, le nombre s des valeurs distinctes de la fonction résolvante y, et quelle que soit sa composition, les permutations, nous l'avons déjà rappelé, produites par les m racines de Téquation proposée dont cette fonction se compose se partagent en s groupes formés chacun de q permutations associées de telle manière que, malgré tous les échanges de ces lettres, les permutations d'un même groupe ne peuvent jamais se séparer. Admettons que ce partage soit effectué, et soit (A) le tableau qui en résulte.
Or, nous supposons que ces s groupes se partagent en v groupes de permutations inséparables, composés chacun de r groupes du tableau (A). Donc, si z est une fonction symétrique quelconque des r valeurs de y relatives à l'un de ces v groupes, la somme par exemple; et si on désigne par z^, z,, ..., z„ les valeurs qu'elle prend pour chacun de ces v groupes; toute fonction symétrique de z^, z,, ..., z^, nous l'avons démontré, est invariable par rapport aux m racines de l'équation donnée (1), et elle est par conséquent exprimable en fonction rationnelle des coefficients de cette équation. Il est donc possible d'exprimer en fonction rationnelle de ces coefficients : 4® la somme de ces valeurs Yu Tj? --î Yw; 2° la somme de leurs produits deux à deux; 3® la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, et par conséquent de former l'équation
dont les racines sont Yd Yjj •••> Y»-
Admettons que cette dernière équation soit résolue, et soit Yi l*une de ses racines. Cette racine Yi étant la somme des r valeurs y^ y„ ..., y^ de la fonction résolvante y relatives à l'un des groupes du tableau (A), au premier par exemple, toute fonction symétrique de ces r valeurs est semblable à cette racine Yi ^^ par conséquent exprimable en fonction rationnelle de Yi et des coefficients de l'équation (3), qui sont, eux-mêmes des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation proposée. Donc, on peut exprimer en fonction rationnelle de Yi et des données de la question, 1° la somme des produits deux à deux de ces valeurs 1/,, y„ ..., Vr; 2" la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite : d'où la formation de
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 49
l'équation
y - ïi r~' + Pf^-' + ... + P, =
dont les racines sont t/^, t/j, ..., y^.
De la même manière, Ton démontrerait que Yj? Ys? •••> Yv étant les autres racines de l'équation (3), on peut, avec les coefficients de l'équation proposée, exprimer en fonction rationnelle 1^ de Yd les coefficients de l'équation dont les racines sont les valeurs de y relatives au deuxième groupe du tableau (A); 2® de y»? les coefficients de l'équation dont les racines sont les valeurs de y relatives au troisième groupe du même tableau ; et ainsi de suite pour les autres racines des autres groupes; ce qui produit les équations
y — Yiy""' + Q,î/'-' + ... + Qr = 0, y — Yî y"~' + u,r"^' + ..• -*- u^ = 0.
Ainsi, sans qu'on soit obligé de former l'équation résolvante ç {y)=0 de degré s, on peut former l'équation (3) et, à l'aide de ses racines, les équations en y dont les racines sont celles de la résolvante : ce qui démontre le théorème énoncé.
Remarque. — Si on forme préalablement l'équation résolvante ç (i/) ^ 0, on peut trouver d'une autre manière les coefficients P,, Pj, ..., P^. Car l'équation ç (y) = contenant toutes les racines de cette première équation en y de degré r, © (y) est exactement divisible par le polynôme y — Yi l/'^"* + ^s 2/*^"* + ••• + Pr. Le reste de cette division, de degré r — 4, sera donc nul; et, en égalant à zéro chacun de ses coefficients, on aura r équations entre Yu Pt> •••, Pr *. r — 4 de ces équations détermineront les r — 4 inconnues Pj, P„ ..., P^ en fonction rationnelle de Yi? puisque ce sont des fonctions semblables ; et l'équation restante sera satisfaite identiquement quand on y remplacera ces coefficients par leurs valeurs.
Les coefficients des autres équations en y pourront être déterminés de la même manière.
Théorème III. — Réciproquement : si l'équation résolvante ç (y) = d'une équation irréductible quelconque, F {x) = 0, est décomposahle en facteurs de degrés moindres, à Vaide des racines
d'une équation f, de degré v, dont les racines sont des fonctions rationnelles de celles de cette équation en x; les groupes de permutations, faites avec les racines de cette même équation en x, relatifs aux racines de V équation en y peuvent être partagés en V groupes de permutations inséparables : et ces équations de degrés moindres sont toutes d'un même degré»
Admettons, en effet, que Ton ait
ÏD ïtî •••> ïr désignant les racines de l'équation en T de degré v. L'équation ç (y) = étant la résolvante de F (x) = 0, ses racines y sont des fonctions rationnelles (théorème III) de celles x^, Xj, ..., x^^i de cette équation en x ; et son degré étant égal à s, les permutations des n racines x peuvent être partagées, nous l'avons déjà dit, en s groupes de permutations inséparables pour tous les échanges de ces raeines, celles d'un même groupe faisant acquérir une même valeur à y : supposons ce partage effectué, et soit (A) le tableau qui en résulte.
Par les mêmes raisons, les mêmes permutations des n racines x peuvent être partagées en v groupes de permutations inséparables pour tous les échanges de ces racines, celles d'un même groupe faisant acquérir une même valeur à y : supposons ce nouveau partage effectué et soit (A') le tableau, analogue à (A), qui en résulte.
Gela étant : je remarque que les valeurs de y qui annulent les facteurs ^^, 4'8> •••» ^v sont respectivement fonction de c^, z,, ..., z,,. De là, il suit que si on considère d'abord toutes les permutations du groupe du tableau (A) relatif à l'une quelconque des valeurs y^, y,, ..., y^ qui annulent l'un de ces facteurs, le premier par exemple, r désignant son degré; tous les échanges des lettres x^, Xj, ;.., x,„__i, qui n'altèrent pas cette valeur y^, c'est-à-dire qui convertissent les unes dans les autres les permutations de ce groupe, ne doivent pas altérer non plus z^. Car si quelques-uns de ces échanges transformaient cette valeur z^; ils ne pourraient, les groupes de (A') étant inséparables, que transformer z^ en une autre racine de l'équation auxiliaire, en Zf^ par exemple; et dès lors ces mêmes échanges transformeraient les racines y^, y,, ..., y^ du facteur f3^^ en celles du facteur t|;^; ce qui est contre l'hypothèse. Donc toutes les permutations de ce groupe doivent se trouver dans celui du tableau (A') qui est
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 21
relatif à z^. Si ensuite Ton considère toutes les permutations des groupes de (A) relatifs à ces r valeurs de ^, tous les échanges des mêmes lettres qui convertissent ces groupes les uns dans les autres, n'altéreront pas non plus cette même racine Zj, par une raison entièrement semblable. Donc encore, ces r groupes de (A) se trouvent dans celui de (A') qui correspond à z^.
^insi, ce groupe de (A') se con;ipose de toutes les permutations qui sont relatives aux r groupes de (A) qui correspondent aux r racines de ipi = 0. Il en est de même des autres groupes de (A') relatifs aux autres racines ^j, 2^3, ..., ^v ^^ Téquation auxiliaire; chacun d'eux se compose des permutations des autres groupes de (A) qui correspondent respectivement aux racines y des équations ^J;, = 0, d;, = 0, ..., '^^ = 0. Mais les racines y des v facteurs sont distinctes, donc les s groupes de (A) sont d'abord partagés en v groupes formant le tableau (A'); et puis, comme les permutations des groupes de ce dernier tableaji sont inséparables, le nombre de permutations, et par conséquent le nombre de groupes de (A) qui forment ceux de (A') est le même pour tous ces derniers. En sorte que les s groupes du tableau (A) peuvent être partagés en v groupes de permutations inséparables; et de plus les v facteurs dans lesquels se décompose (p {y) sont d'un même degré r tel que s = vr.
Théorème IV. — Pour que Véquation résolvante ç {y) = 0, de degré déterminé s, d'une équation irréductible F (a;) = 0, soit décomposahle en v équatio7is, d'un même degré r tel que s =:vr, à Vaide des racines d'une équation de degré v-; il faut et suffit que les s groupes de permutatioiis, faites avec les racines de f (x) = 0, relatifs aux s racines de cette équation en y, puissent être partagés en v groupes de permutations inséparables.
Ce théorème résulte en effet des deux précédents.
Théorème V. — Si une équation algébrique, irréductible et de degré premier est soluble par radicaux, Vindice le plus élevé de ces radicaux est égal au degré même de cette équation.
Soit n le degré premier de l'équation irréductible à résoudre f (x) = : puisque cette équation est irréductible et résoluble algébriquemerit, c'est-à-dire soluble par radicaux, il faut qu'à l'aide d'un radical r
d'un certain indice i, son premier membre soit décomposable en facteurs.
Or, si la valeur i\ de ce radical produit le facteur f^ (a;, r,) de degré p y chacune des autres valeurs de ce même radical r,, r,, .. r^ produira un facteur analogue et du même degré p. On aura donc
(5) f{x) = fi {x, i\).f^ (x, r,) ... /; (x, Vi),
t et ip = n: mais 7i est un nombre premier, i est au moins égal à 2,
et p est inférieur à n; donc i = ?i, et par suite p = 1.
Ce théorème appartient à Gallois.
Remarque. — L'expression radicale r dépendra en général de radicaux d'indices inférieurs à ?i, comme nous le verrons bientôt.
Théorème VI. — Si une équation algébrique et irréductible est soluble par radicaux, et si son degré m est un nombre composé, m = nq (n étant premier) les racines de cette équation contiennent le radical d'indice n.
Puisque cette équation algébrique, f {x) = 0, est irréductible et soluble par radicaux, son premier membre est décomposable en facteurs de degrés moindres, à l'aide d'un radical r d'un certain indice i. Or, si la valeur r^ de ce radical produit le facteur f^ (x, r^ de degré p^ chacune des autres valeurs de ce même radical, *'i» *'»> •••) *\ produira un facteur analogue de même degré p. On aura donc
m = îj9, et par suite ip = nq.
Cela posé : examinons d'abord le cas où le degré m de l'équation est égal au produit de deux facteurs premiers, m = nn^. Dans ce cas l'équation précédente devient ip = nn^\ et comme n divise le second membre, il doit diviser le premier ; mais, n étant premier, ce nombre doit diviser ou i ou j9, on a donc soit i = hn, soit p =:kn.
L'hypothèse p =z kn est inadmissible ; car, si elle était vraie, on aurait t/c = n^ ce qui est impossible puisque n^ est premier. Par la même raison on ne peut avoir i = /in, car cette hypothèse entraînerait l'équation p/i = n^. On doit donc avoir ou |> = n, ou i = n:
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 23
rhypothèse i= n convient au théorème énoncé, et celle de p =zn donne f = 71^, qui est également un nombre premier.
Ainsi, dans le cas de m = jin^, le théorème est démontré.
Supposons actuellement que m soit égal au produit de trois facteurs premiers, m == im^^n^. Dans ce nouveau cas, Téquation ip = ng devient i/) = iin^n^; et comme dans le premier cas on devrait avoir soit i =2 hn, soit J9 = fe'?i. Cette dernière hypothèse entraine l'équation ik = n^7^^ qui exige elle-même, d'après ce qui vient d'être dit, que i = n^ ou k =^ n^ : mais k = n^ donne t = îij, donc i est encore égal à un des facteurs premiers de m. Et la première hypothèse i = hn entraine l'équation ph =z n^n^ quf exige elle-même que p = 7l^ 0X1 p =• ?î,, c'est-à-dire que p soit un nombre premier, p = n, par exemple. Ainsi chacun des facteurs du second membre de l'équation (6) est d'un même degré premier n^. Donc chacun d'eux est (théorème V) décomposable en facteurs du premier degré, à l'aide des valeurs d'uni radical dont l'indice est égal à ce nombre premier n,. Or, la décomposition de f (x) en ces facteurs du premier degré produira, par la multiplication, une nouvelle décomposition de f (x) en ?îj facteurs, de degré nn^, à l'aide de ce radical d'indice premier n,. Donc le théorème est encore vrai dans le cas où m = nn^n^.
Cette démonstration peut évidemment être généralisée, et être étendue au cas où m est égal au produit d'un nombre quelconque de facteurs premiers égaux ou inégaux.
Ainsi, l'équation (6) existe dans tous les cas; i étant égal à n, et le degré j9, commun aux n facteurs de son second membre, étant égal à q.
Ik
Théorème VII. — Pour résoudre une équation algébrique, irréductihle et de degré premier n, il est nécessaire et suffisant de résoudre deux équatioiis; Vune de degré n — 1, Vautre de degré 1.2.3 ... (n--2j.
Rappelons auparavant que le de^ré nde Téquation proposée /*(x)=0 étant premier, tout nombre entier p inférieur à n jouit de cette propriété que les résidus à n de la suite
sont les nombres naturels 1, 2, 3, ..., n — 1 dans un ordre déterminé. De même, p étant une des racines primitives de n, les résidus à n de Tune et de l'autre suites
