P, PP, PP% -, PP
Pp\ 2pp*, 3^p*, ..., n — ipp\
sont encore les nombres naturels 1, 2, 3, ..., n — 1, dans un ordre déterminé ; h désignant un nombre entier quelconque inférieur an — 2, ou au plus égal à ce nombre.
On peut donc représenter les racines de Téquation proposée, f{x) =0, par Tune des suites
a désignant Tun des nombres entiers 0, 1, 2, ..., n — 1.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 25
Enfin r et a désignant deux racines imaginaires différentes de Téquation binôme x"""* = 0, ces racines sont r, ra, ra*, ..., ra**~^; ou bien 4, a, a*, ..., a*~^ Donc elles pourront être représentées par Tune des suites
Cela posé : nous allons d*abord démontrer que les conditions de l'énoncé sont nécessaires ; et pour cela nous admettrons que l'équation proposée est résoluble algébriquement.
L'équation proposée étant en effet résoluble par hypothèse, l'équation (5) existe, et elle deviendra, d'après ce qui précède,
(7) f{x) = /; (cc„, r)./; (a?a+p, ra^) ... /; (Xa+— i,, ra""^^),
chacun des n facteurs du second membre étant du premier degré par rapport à x.
Or, toutes les racines d'une équation irréductible ont un même caractère qui sert à les déterminer, celui de satisfaire identiquement à cette équation ; on peut donc, dans l'équation (7), changer la racine r en la racine ra^; auquel cas ra^, ra*^, ..., vcl'^-^p se changent respectivement en ra*^, ra''', ..., r: et cet échange de racines, [équation (7)], transforme celles de l'équation proposée f (x) = 0, Xa, aca+pj --j ^a-i-ir-ip respoctivemcnt en cca+j,, Xa+^, ..., x^; c'està-dire la permutation cc^, cca+p ... Xa+;r-ip on la permutation circu-
Mais ce changement n'en amène aucun dans le second membre de l'équation (7); donc, quelle que soit la fonction résolvante y de l'équation proposée qui ait produit sa décomposition, cette fonction y est inaltérable par la permutation circulaire précédente, et par suite par les n permutations circulaires de cette première x^^ Xa^py ... oja+imj,.
De plus, on peut également changer p qui est arbitraire en pp* qui est tout aussi arbitraire; et ce changement transforme la suite des n — 4 racines imaginaires
en la suite
et ce même changement transforme les racines de f(x) = 0, équation (7), x^y Xa + p, ..., Xa + ir=ip respectivement en les racines x'a, ^tt-i-/>p*j Xa + 2p^^y •••, ^a + ;n^ipp*; c*est-à-dire la permutation
*^a) Xa+p^ Xa-i-ip ••• Xçi^-n—ip
en la permutation
qui correspond, théorème IV d'un autre Mémoire (^), à l'un quelconque des polygones étoiles de Poinsot.
Or, ce changement n'en amène aucun dans le second membre de l'équation (7), et cela quelle que soit la valeur de p; donc la fonction résolvante y jouit encore de la propriété d'être inaltérable par les n — 1 permutations relatives aux n — 1 polygones étoiles de Poinsot qui constituent un seul et même ordre.
Or, ces deux changements sont les seuls qui n'altèrent pas la décomposition de f{x), équation (7), donc cette fonction résolvante n'est inaltérable que par les n permutations circulaires et par les n — 1 permutations d'un même ordre que produit une permutation quelconque des n racines de l'équation proposée ; et par conséquent le nombre s de ses valeurs distinctes est donné par la formule
Cette fonction dépend donc d'une équation de ce degré qu'il serait toujours possible de former avec les coefficients de l'équation proposée, si la forme de cette fonction était connue; équation dont les racines sont relatives aux 1, 2, 3, ... (n — 2) groupes de la deuxième classification du même Mémoire.
Quelle est la forme de cette fonction résolvante 2/? Jo remarque à cet effet que si cette fonction était composée de r termes distincts et relatifs aux n {n — 1) permutations pour lesquelles elle doit conser-
{!) Voir le 6« volume, 2« série, du journal publié par M. Liouville, p. 425.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 27
ver une même valeur, les équations auxiliaires, analogues à celles en y du théorème II, seraient du degré r. Il est donc indispensable de rendre r le plus petit possible.
Or, la théorie de Tordre étant indépendante de la notion de grandeur et n'étant relative qu'à la notion de situation, nous pouvons placer les n racines de l'équation proposée sur une circonférence de cercle de rayon arbitraire, à égales distances les unes des autres, et dans Tordre de la permutation, d'ailleurs quelconque, x^, cCa + p ^a-k-ip ••• aCa + frrip; la racine x^ étant placée à l'origine des arcs. Et si nous joignons le centre à ces n points de division, ces n rayons représenteront les n racines n^ de Tunité 1, a, a*, ..., a *•""'; a étant Tune d'elles, mais différente de Tunité.
Or, pour amener la permutation circulaire Xa+p^Xa + tp-^^x^ dans la position de la première, il faut multiplier chacune des racines n® de Tunité par a"""*; et puisque la fonction résolvante y doit être invariable pour toute permutation circulaire, chaque terme de cette fonction doit donc être de la forme
(8) Zi = (x„ + aXa+p -h oL^Xa+ip + ... + a"-* Xa4.^3ïp)";
expression qui est telle en effet qu'en multipliant le polynôme soumis à l'exposant n par a''"^ on obtient le polynôme
offrant la permutation circulaire de la disposition du premier, et qui cependant conserve sa valeur z^ puisque
Cette fonction (8), étant invariable pour une permutation circulaire, est invariable pour les n permutations circulaires déduites de la première; d'autant qu'il suffirait de multiplier successivement Zj par (a"" ')** = 4, (a" ~ ^)'* = 1 ... Mais cette même fonction prend n — 1 valeurs distinctes z^, Zj, ... z» - ij pour les n — 1 autres permutations pour lesquelles y doit conserver une même valeur, celles qui se
(1) C'est ainsi qu'on retrouve la fonction isi de Lagrange appelée résolvante par cet illustre géomètre.
rapportent aux n — 1 polygones étoiles de Poinsot ; donc les équations, analogues à celles en y du théorème II, sont du degré n — 4 ; et la fonction résolvante y sera définie d'après ce théorème, par l'expression
qui est la fonction symétrique la plus simple de ces n — 1 valeurs. Il est utile de remarquer que ces n — 1 valeurs peuvent être déduites de Zp en y remplaçant successivement p par^p, pp*, ...,pp""'*.
D'après ce qui a été démontré dans ce même théorème II, on peut, avec cette fonction (9) et avec les coefficients de l'équation proposée former l'équation en y du degré 1.2.3 ... (n — 2) et avec l'une de ses racines, former celle en z du degré n — 4 : et pour résoudre l'équation donnée résoudre cette dernière équation qui a pour racines
Corollaire. — Si dans le calcul précédent on fait ?i = 3, c'est-àdire si l'équation donnée est du 3® degré, l'équation en y se réduit au premier degré, et celle en z au deuxième. Donc la fonction y = z^-h z^ est une fonction rationnelle des coefficients de l'équation proposée, et les valeurs z^^ z^ et par suite les. racines a;„, a;^, x^ de cette équation peuvent êtrfe déterminées en fonction de ses coefficients. Les expressions de ces racines contiendront deux radicaux cubiques et un radical carré.
On a donc ce théorème : Toute équation du troisième degré est soluble par radicaux.
Théorème VIII. — Pour résoudre une équation algébrique
irréductible et de degré composé m = 7iq, n étant premier, il est
nécessaire efsuffisayit de résoudre n équations de degré q; et deux
autres équations, Vune de degré n — \ et Vautre de degré s donnée
par la formule
En conservant les notations du théorème précédent, et en admettant que l'équation proposée, f (x) = 0, soit soluble ; l'équation (6) sera vraie et elle deviendra
(10) f{x) = f, {x, r).f, (x, rxP).f, (x, rx'^) ... /; {x, ra»" p).
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 29
analogue à Téquation (7), avec celte différence qu*ici les facteurs sont d'un même degré q différent de l'unité. Or, en permutant les q racines d'un des facteurs du second membre, ce facteur est invariable. Donc ces permutations n'altèrent pas la décomposition (10) de f{x); et par suite la fonction résolvante y de Téquation proposée, qui produit cette décomposition, doit être invariable par les permutations des q racines d'un quelconque de ces facteurs. Mais le nombre de permutations de q lettres est égal à 1.2.3 ... g, et il y a n facteurs, donc y doit être invariable pour un nombre de permutations égal à (1.2.3 ... g)". De plus, si on considère une fonction symétrique quelconque des q racines d'un des facteurs de l'équation (10), par exemple la somme, et si on désigne par X^, Xa+p, ..., Xa+T^rîp les sommes respectives des q racines du 1«^, du 2«, ..., du n^ facteur, il est clair que ces sommes jouissent des mêmes propriétés que les racines cc^, Xa+py ..., Xa+^zTip du théorème précédent. Donc la fonction résolvante y de /■ (x) = jouit encore de cette propriété, d'être invariable et par les n permutations circulaires et par les n — 1 permutations d'un même ordre, relatif à une permutation quelconque des n lettres X^,
Or ces 3 changements sont les seuls qui n'altèrent pas la décomposition (10) de l'équation proposée /*(x) =0; donc cette fonction résolvante n'est invariable que par le nombre de permutations déterminé par la formule
dès lors le nombre des valeurs distinctes est donné par la formule
Cette fonction dépend donc d'une équation algébrique de degré s qu'il est possible, dans tous les cas, de former avec les coefficients de l'équation donnée, si la forme de cette fonction est connue. Et cette fonction résolvante y est déterminée par la formule
(li) y = Z, + Z, + ... + Z„^.i,
dans laquelle Z^ désigne la fonction
et Z,, Zj, ..., Zrt i les valeurs qu'on déduit de Z^ en remplaçant sucœssivement p par pp, pp^^ ..., ^jp""': car il résulte de ce qui précède que X^, Xa+^, ..., Xa+irrîp jouissent, dans ce théorème, des mêmes propriétés que x^, Xa+p, ..., Xo+ir^rîp dans le théorème précédent.
Or, ce dernier théorème prouve qu'on peut former, avec la fonction (11), Téquation résolvante en y; et, avec l'une de ses racines, l'équation en Z du degré n — 1 dont les racines sont Z^, Z,, ..., Zn i. Il prouve de plus que cette dernière équation doit être résolue, et qu'on aura par suite, par des* équations en tout semblables aux équations (10), les valeurs de X^, Xo+j,, ..., Xa+^irip. Mais, connaissant la somme X^ de q racines de l'équation proposée, on peut déterminer en fonction rationnelle de X^ toute fonction symétrique des mêmes racines, et par conséquent former l'équation
a;« — X„x«-^ + CjX«-* + ... + C^^ = 0,
dont les racines sont ces q racines.
Car, ces q racines étant dans l'équation proposée f (x) = 0, le premier membre f (x) est divisible par le premier membre de l'équation à former. On devra donc égaler à zéro les q coefficients du reste de cette division ; et q — 1 de ces équations détermineront les g — 1 coefficients inconnus G^, C„ ..., G^en fonction rationnelle de Xa, puisque ces coefficients sont semblables à X^. Et en remplaçant successivement dans les expressions de ces coefficients X^ par Xa+p, Xa^-Jp, ..-, Xa+K^ipj on aura les équations dont les racines sont celles qui ont pour somme respectivement Xa+p, Xa+2p, ..., Xa+^^zrip. Il faudra donc résoudre ces 7i équations, de degré g, pour avoir les racines de l'équation proposée.
Donc les conditions énoncées du théorème à démontrer sont nécessaires.
Elles sont de plus suffisantes : car, si on résout l'équation en y de degré s, ainsi que celle en Z de degré n — 1, on peut obtenir les n équations en x, d'un même degré g, dont la résolution entraîne celle de Téquation proposée.
Corollaire. — Si dans le calcul précédent on fait m = 2.2 = 4, c'est-à-dire si l'équation à résoudre est du quatrième degré, l'équation
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 31
en y est du troisième degré et Téquation en Z du premier. Or toute équation du troisième degré est résoluble algébriquement, donc il est possible d'avoir ses trois racines en y; et par suite de former, avec Tune d'elles et avec les coefficients de l'équation proposée, les deux équations du second degré dont les racines sont les quatre de la proposée.
Ainsi, la résolution de toute équation du quatrième degré se ramène à celle d'une équation du troisième degré et à celles de deux équations du second. D'où ce théorème : toute équation du quatrième degré est soluhle par radicaux.
Théorème IX. — Il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième.
En premier lieu : les équations des quatre premiers degrés sont résolubles algébriquement; car toute équation du premier degré est résoluble et sa racine est rationnelle par rapport aux coefficients ; et les équations des 2<^, 3® et 4® degrés sont également résolubles algébriquement par une même méthode, celle de l'équation résolvante, comme cela résulte de la théorie bien connue des équations du second degré (^) et des corollaires des théorèmes VII et VIII. Les racines des équations du second degré contiennent un radical carré; et celles des équations des troisième et quatrième degrés, des radicaux carrés et cubiques.
En second lieu il résulte : i^ du théorème VII, que pour résoudre une équation de degré premier n, il faut nécessairement résoudre d'abord une équation de degré 4.2.3 ... (n — 2), produit supérieur à n, puisque pour la plus petite valeur 5 de ?i, 1.2.3 (?i — 2) = 6 qui es( supérieur à 5 et que, pour des nombres supérieurs à 5, a fortiori on a 1 .2.3 ... {ji — 2) >► n.
Or, les racines de cette équation sont les valeurs de y (9) relatives aux groupes de la deuxième classification de notre Mémoire déjà cité en nombre 1,2.3 ... (?i — 2) : chacun d'eux étant un seul et même
(i) La résolution de toute équation du second degré, ar* + Ai jr + As = 0, n'échappe pas à cette méthode: et ici la fonction résolvante devient y = (^i —x^)^ qui, étant symétrique par rapport aux racines, s'exprime en fonction rationnelle des coefficients A,, A j de l'équation proposée. On a, en effet, y = {j:i — a:s)8=(a:i + j:»)» — 4A'ia?8 = A», — 4A8i et comme l'i + ;» = -^ Al, ou a deux équations desquelles on déduit les deux racines.
ordre vu successivement de chacune des n racines de Téquation proposée. Mais ces groupes ou ordres ne peuvent pas être partagés en nouveaux groupes de permutations inséparables (*); donc, théorème III, cette équation, dont le degré est supérieur à 4, ne peut être décomposée en d'autres de degrés moindres. 2^ Il résulte du théorème VIII que pour résoudre une équation de degré composé m = nq^ n étant premier, il faut d'abord résoudre nécessairement une équation du degré
nombre supérieur à n pour la plus petite valeur 6 de m et qui a fortiori est encore supérieur à m pour tous les nombres plus grands que 6.
Or, les racines de cette équation sont les valeurs (14) de y relatives à tous les ordres formés avec les n quantités X„, Xo+p, ..., Xo+is^rip, considérées comme des lettres, dans lesquelles on échange les racines de l'équation proposée f (x) = 0, que ces quantités contiennent; mais, d'après la même note, les ordres ne peuvent être partagés en groupes de permutations inséparables : donc, même théorème III, cette équation en y est indécomposable en d'autres de degrés moindres.
Donc, quel que soit le degré m de l'équation proposée, que ce degré m soit premier ou composé, s'il est supérieur à 4, la résolution de cette équation dépend essentiellement de la résolution d'une autre équation non résoluble et d'un degré supérieur à celui de la proposée : il est donc impossible de résoudre les équations générales de degré supérieur au quatrième.
Recherche d'une classe d'équations résolubles algébriquement.
Puisqu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les
(») Voir la note placée à la fin de ce mémoire.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 33
racines d'une équation irréductible, de degré supérieur à 4, pour que cette équation soit résoluble algébriquement. Et d'abord, nous allons déterminer, à Taide de nos principes, une classe d'équations, solubles par radicaux, qui jouent un rôle important dans la recherche de toutes les équations résolubles algébriquement.
Il résulte, en effet, 4** du théorème I que la résolution de toute équation algébrique et irréductible, f (x) = 0, dépend de la résolution de son équation résolvante 9 (y) = 0; 2» du théorème IV que cette équation ç (1/) := n'est décomposable en facteurs de degrés moindres, à l'aide de racines d'une équation auxiliaire de degré v, qu'autant que les 9 groupes de permutations où x^,, Xj, ..., a?«-i, relatifs aux s racines de cette résolvante, peuvent être partagés en V groupes de permutations inséparables. On aura donc des équations solubles par radicaux, en cherchant les conditions nécessaires et suffisantes qui doivent exister entre les racines de l'équation proposée pour que le degré commun r aux équations en y du théorème II soit égal à l'unité et pour que le degré v de l'équation auxiliaire (3) en z soit aussi égal à l'unité; auquel cas le degré s de l'équation résolvante est aussi égal à l'unité, puisque s ■=vr. De là il suit que si (A) est le tableau des groupes de permutations relatifs à l'équation © (1/) = 0, la fonction résolvante y doit êti^ invariable pour tous ces s groupes.
Distinguons actuellement deux cas : celui où le degré de l'équation proposée f (x) = est un nombre premier ?i, et celui où ce degré est un nombre composé.
Dans le premier cas, m = ?i, la fonction résolvante est définie par la formule (9) dans laquelle Zj désigne la fonction (8), théorème VII ; il résulte donc de ce qui précède, que cette expression y ne doit avoir qu'une valeur et être égale par conséquent à une fonctioti rationnelle et symétrique des racines de l'équation proposée; et ce résultat sera atteint si z^ est dans 1^ même cas que y. Or, comme cette expression Zi n'est invariable que par lés n permutations circulaires d'une permutation quelconque des n racines de la proposée, ou ce qui est la même chose, quand on y remplace a successivement par les valeurs a -^ p, a -{- Sp, ..., a -h n — ip. Donc cette exposition z^ doit pouvoir se réduire à ne contenir qu'une seule de ces racines; ce qui exige que n — 4 d'entre elles soient des fonctions rationnelles de l'une d'elles : et de plus, quelle que soit la fonction rationnelle de
Despfarous. — Mémoire. 3
cc^ qui soit égale à Xa^py la racine Xa^tp doit dépendre de Xa^p comme celle-ci dépend de x^, la racine aCo + sp doit dépendre de Xa + ap de la même manière, et ainsi de suite, et enfin x^ sera liée à Xa + ;r^p par la même relation.
Ainsi, si aCa + p = (x.), on doit avoir
Xa-\-ap ^^~ " \p^a+p)^ a?a|3p nzr [J \Xa + 2p)y •••> *^a "~" " \p^a-^-n — lp) y
en d'autres termes les racines de l'équation proposée doivent être représentées par la suite
6 désignant une fonction rationnelle telle que ^""x^ = a;«, et 0*, 6% ... désignant des indices d'opérations à répéter. Effectivement l'expression
rj = (x„ -+- aOx„ + a'O'oc^ 4- ... 4- a""* 8""^ x^)** = ^ (x^),
peut être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de f{x) et de 6. Car cette expression étant invariable pour les n permutations circulaires des n racines, elle conservera la même valeur en y remplaçant successivement x^ par'Ox^, 0*x„, ..., Ô^-^x^. On a donc
et par conséquent
n^ (x«) z= (j; (x«) + ^ (OxJ + ... + tl. (6«-»x„);
relation dont le second membre est une fonction symétrique des racines de l'équation proposée f (x) = 0.
Dans le second cas, m = ?ig, la fonction résolvante est définie par l'équation (11); et, si on applique à Z^ le même raisonnement qu'à z^, on aura ce résidtat, en observant que X„, Xa+p, ..., ^a+7^^ip dont se compose Z^ sont des sommes d'un même nombre de racines de l'équation proposée; pour que l'équation auxiliaire en z soit du premier degré et pour que l'équation en y soit aussi du premier degré, il est nécessaire que les racines de l'équation proposée soient repré-
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 35
sentées par la suite
désignant une fonction rationnelle telle que O*"^^ = x^.
Ajoutons qu'on démontrerait absolument de la même manière que l'expression analogue à z^
(43) 2/ =(x„ + aex« + a*e*x« + ... 4- a^^-^O'—^irJ"»,
invariable par les m permutations circulaires des m racines est une fonction symétrique de ces racines, a désignant une des racines imaginaires de x"* — 1 z= : puisque le raisonnement appliqué à z^ est indépendant de cette considération que l'exposant n est premier.
On obtient donc ce' résultat : l'équation résolvante et, par suite, l'équation auxiliaire d'une équation algébrique quelconque irréductible sont du premier degré, si les racines de celle-ci sont représentées par la suite (12).
Nous pouvons actuellement démontrer le théorème suivant qui est, en quelque soi1e, la réciproque de ce dernier résultat.
Théorème X. — Si les m racines d'une équation algébrique quelconque peuvent être représentées par la suite
6 x^ désigna7it une fonction rationnelle telle que 6"*^?^ = ^ay ^'^' quation est toujours soluhle par radicaux.
En effet, l'hypothèse faite sur les racines de l'équation proposée permet d'exprimer, en fonction rationnelle des coefficients de cette équation et de ceux de la fonction 6, la fonction y définie par l'expression (13). Soit donc v la valeur connue de cette fonction, on aura, en désignant par 1, a|, a^, ..., am-i, les m racines de l'équation x"* — 1 = 0, les. m éauations
Xa + <x^hXa -h aî6*x„ 4- ... H- a7-^6"»"*aî„ = Kr„
1», — Xa -+- «jôac^ -H a*0*x„ -h ... 4- a',"-^0"'-*x^ = y r^,
x^ 4- am-i^^a + aî i6'x„4- ... 4- cCzl^"'~^^a = yv,n-ij dont les seconds membres sont connus.
De ces équations linéaires par rapport aux vi racines à trouver, on peut déduire facilement chacune d'elles. Car, pour avoir 0'a?a par exemple, il suffit de multiplier les deux membres de chacune de ces équations respectivement par 1, a7*, aj*, ..., a~ii, et d'ajouter les produits : cette somme en effet donne, en ayant égard aux propriétés des racines des équations binômes, la formule
6*ac„ =z — [— Aj -h a7* y^v^ ■+- aj' P^v, -h ... + a^Li v" v„,i \
de laquelle on déduira les m racines de la proposée en faisant successivement i = 0, 1, 2, 3, ..., m — 1.
Mais comme un radical d'indice m sl m valeurs, on pourrait croire que l'expression précédente a m^"^ valeurs. Or, il est facile d'exprimer chacun des radicaux qu'elle renferme en fonction d'un seul, auquel cas elle n'aura que m valeurs.
Soit en effet p une des racines primitives de l'équation x^ — 1=0, et faisons dans le calcul précédent :
ce qui est permis, puisque p, p', p% ..., p"*~"* sont les m racines de l'équation ce"» — 1 = 0. On aura
Vv^ = Xa'h pOx« + p*0'a?« + ... + p"»~*e"*~*x«, Kv„ = Xa + p"ex« + p'»0'a?„ -4- ... + p("— ^>»0"— *x«.
Mais si dans la valeur de y^v^^ on change x^ en O*»», cette valeur est multipliée par p*"""*; et ce même changement multiplie le second membre de la seconde égalité par p" ^"* ~ ^^ ; donc ce changement multiplie le produit ( P^î^)"*.~" y^v^ par p»» («-*). pC»»-») (»»-*) = p("»- *) « = 1 .
Ce produit étant donc inaltérable en changeant x^ en 6* a^a, quelle que soit la valeur de k, on aura, en posant
X (^o) = X (ex„) = X (Ô'^a) = - = X (0"-'a;,) et par conséquent
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 37
relation dont le seôond membre est une fonction symétrique des racines de l'équation proposée f{x) = 0. Donc x (^a) P^^^ être exprimé en fonction rationnelle des coefficients de f {x) et de ceux de la fonction connue 0. Soit u^ sa valeur, on aura donc
d'où on déduit
et, par suite, cette expression équivalente de O'x^
e'x,=M-A,+p-'P'i;:+îi'(p-p'i;;)'+...+îî!i=i(p--(?'ï;;r'î;
mais si dans cette formule on fait t = 0, auquel cas elle devient
^=ij A, + r;;: + ^ i^^y + ... + îî=^ [7vT-%
et, si on donne successivement au seul Radical qu'elle contient ses m valeurs, on aura exactement les mêmes valeurs que celles qui seraient produites par la formule précédente en y faisant successivement t = 0, 1, 2, ..., m — 1 ; c'est-à-dire les m racines de l'équation proposée.
Remarque. — Ce théorème a été trouvé par Abel en généralisant les travaux de Gauss sur les équations binômes. Les équations algébriques dont les racines jouissent des propriétés énoncées par ce théorème sont dites ahéliennes. Notre théorie fait donc retrouver, d'une manière simple, cette classe d'équations résolubles algébriquement.
Théorème XI. — Si le degré m d/une équation ahélienne est
n^J n,, ..., Uf^ étant des nombres premiers, la résolution de cette équation se ramène à celle de k^ équations de degré n^, de k^ équa-
tions de degré n,, ,,,^etde h^^ équations de degré n^^; ces équations étant toutes ahéliennes comme la proposée.
Le théorème précédent est vrai, quelle que soit la valeur du degré m ; mais lorsque ce degré est composé, on peut simplifier la solution. En effet, l'équation proposée étant abélienne, ses racines sont
X désignant Tune d'elles, et 6 une fonction rationnelle telle que O'^x = X. Or, si nous posons
n étant premier, on peut partager ces m racines en n groupes
(B) ) ^^' ^'+*x, e^+'^'x, ..., e^+^ï^r^'iH^^
composés chacun de r>ij racines telles que l'équation dont les racines seraient celles de l'un quelconque d'entre eux serait également abélienne, puisque 6"* x = O^'ï'x = x.
Ces n groupes sont de plus inséparables (*); donc si nous prenons une fonction quelconque, F (x), symétrique des racines du premier groupe, la somme par exemple ; auquel cas les sommes des racines des groupes suivants sont F (6x), F (6'x), ..., F (Ô^'^x); toute fonction symétrique des n quantités
F(x), F(ex), ..., F(e»-^x),
sera symétrique par rapport aux m racines de la proposée, et par conséquent elle pourra être exprimée en fonction rationnelle de ses coefficients. Il est donc possible de former l'équation
(14) X» + CjX»-i + C,X»-» + ... + C, =
dont les racines sont ces' n quantités. Et cette équation est encore abélienne : car F (x) et F (6x) sont évidemment des fonctions sembla-
(1) Voir le 8e théorème de notre Mémoire déjà cité; t. VI du journal de M. Liouvillc, 2« série, p. 435,
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 39
blés; on aura donc F (Oas) = <p. (Fx), ç désignant une fonction rationnelle, et par suite F(e'x) = (p .(FOx) = ?'.(Fx), ... et F(0"x) = F(x).
Or (théorème II), l'équation proposée est décomposable, à l'aide des racines de cette équation auxiliaire (14) en n équations d'un même degré m^ dont les racines sont respectivement celles de chacun des n groupes du tableau (B) ; et ces équations sont évidemment toutes abéliennes; on peut donc les résoudre.
Mais si le nombre m^ est lui-même composé et égal à m,p, pétant premier, on peut faire la même décomposition sur chacune de ces n équations de degré m^. Car Tune quelconque d'entre elles, la première par exemple, étant abélienne, on peut faire suc elle ce qu'on a fait sur l'équation proposée; et par conséquent cette équation peut être décomposée en p équations abéliennes d'un même degré m^, à l'aide d'une nouvelle équation abélienne, de degré p, et analogue à (14), qu'il est possible de former avec les coefficients de l'équation de degré m^ et par suite aussi avec les coefficients de l'équation proposée.
Si m, était lui-même un nombre composé, on pourrait, sur l'une des p équations de degré m,, opérer la même décomposition ; et ainsi de suite. En sorte que la résolution de l'équation abélienne proposée de degré m dépend de celles d'équations abéliennes analogues à (14) dont les degrés sont les facteurs premiers de m. Ce qui démontre le théorème énoncé.
Avant de déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible soit résoluble algébriquement, nous démontrerons encore le théorème suivant, parce qu'il nous sera utile dans cette recherche.
Théorème XII. — Si deux racines d'une équation algébrique imductihle et de degré composé m, sont tellement liées entre elles que Vune puisse s*exprim,er rationnellement par Vautre, cette équation est ou abélienne ou^composée d'équations abéliomes de degrés moindres ; et réciproquement.
En effet, si x désigne une des racines de l'équation proposée
F (x) = 0, 9 (x) sera une autre racine de cette équation, 6 désignant une fonction
rationnelle de x et de quantités connues. On aura donc
et je dis que cette dernière équation est encore satisfaite quand on y remplace x par une racine quelconque de la proposée. Car, si on effectue les calculs indiqués par les signes 6 et F, on obtiendra
F (Ox) =
9 (x) et ^ {x) désignant des fonctions entières par rapport à x que Ton peut toujours supposer premières entre elles. Mais l'équation F(0a?)=O entraine l'équation 9 (x) = 0; et comme on a F (x) = 0, les fonctions entières 9 {x) et F (x) doivent avoir un plus grand commun diviseur algébrique : et puisque ¥ (x) = est une équation irréductible, on doit avoir 9 (x) = F (x) . 9^ {x)y et par suite
(15) F (ex) =1^^ F (X).
Et j'ajoute qu'on ne saurait avoir en même temps ^ (x) = et F (x) = 0, car on aurait alors ^ (x) = F {x),f]^^ (x), et par conséquent les fonctions 9 (x) et t^ (x) ne seraient pas des fonctions premières entre elles.
Cette équation (15) prouve que toute racine de l'équation proposée F(x)=0 est racine de F(0pc)=O : mais 6(0?) étant racine de F(cc)=0, 66 a; ou 6'x est racine de la même équation : de même 6* (a?) étant racine de la proposée, 66' ou 0*a; est encore racine de la même équation; et ainsi de suite à l'infini. Donc chacun des termes de la suite, prolongée indéfiniment,
ce, yjXy u Xy \j Xy ***9 ^ 0/, \j tZ/, ....
est racine de l'équation proposée : et comme cette équation est de degré fini m, cette suite ne doit contenir au plus que m termes distincts.
Soit
l'équation 6*0; — x = a. donc pour racine O^'x qui est aussi une racine de F (ce) = 0- d'où il suit que, d'après ce qui précède, toute
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 41
racine de F (x) = est aussi racine de 6"a? — a; = 0, et que par conséquent on a 6""*"*ac = 6x, 0*"*'*x = 6'aî, et ainsi de suite. Ainsi les seuls termes distincts de la suite indéfinie précédente sont
(16) Xy Ox, 6'a;, ..., O^-^x;
et si m = n, cette suite démontre le théorème.
Supposons actuellement 'm'>^ n^ et soit x^ une des racines de Téquation F (x) = 0, non comprise dans la suite (16). On démontrera, de la même manière, que chaque terme de la suite prolongée indéfiniment
est racine de Téquation proposée, et que les seuls termes distincts de cette suite sont les n termes
X^^ vtX/f9 \J Xà^ ***y ^ Xm»
Je dis de plus que ces termes sont différents de ceux de la suite (16). Car si on pouvait avoir ô^x^ = O*», on aurait 0"""*0*aCj = 6*""*6*x HZ ô^o; = x; d'où il suit que dans cette dernière suite continuée indéfiniment, la racine x se trouverait, et que par conséquent elle contiendrait tous les termes de la suite (16) ; c'est-à-dire, en d'autres termes, que ces deux suites coïncideraient : ce qui est contre l'hypothèse, puisque x^ diffère de chacun des termes de (16).
Ainsi, ces deux suites contiennent 2?î racines distinctes de l'équation proposée; donc si m := 2?i, cette équation est formée de deux équations, d'un même degré ?i, donnant l'une les racines de la suite (16), et l'autre celles de la dernière suite, chacune d'elles étant évidemment abéliennes.
Si m >- 2 ti, et si x, désigne une racine de f{x) = qui ne fasse partie ni de la suite (16) ni de la suivante composée d'un même nombre n de termes, on démontrera de la même manière qu'avec x, on formera un troisième groupe n de racines différentes
Xmy ^X*9 V Xa, ■**) V Xa«
et distinctes de celles des deux premiers groupes; et ainsi de suite. En sorte que les m racines de l'équation proposée peuvent être parta-
gées en groupes composés, chacun, de ?i racines
/■p\ î »^i> "«^iJ " *^it^ •••> ^ »^i>
ces groupes étant tels que, dans chacun, chaque racine est égale à la même fonction rationnelle ô de la précédente.
Corollaire. — Si le degré m de l'équation proposée F (x) = est un nombre premier, les groupes du tableau (B) se réduisent en un seul. Car dans la suite (16), on a Ô" (x) = x, et si n -< m il y aurait au moins 2 n racines distinctes dans cette équation, ce qui est impossible, puisque m est premier. Donc m = n et par conséquent tous ces groupes (B) se réduisent au premier.
Remarque. — Une équation dont les m racines peuvent être représentées par la suite
telle que ô"*(x) = x, est dite àbélienne.
De cette définition et du corollaire précédent résulte donc ce théorème : Si deux racines d'une équation algébrique^ irréductihle et de degré premier sont tellement liées que Vune d'elles soit égale à une fonction rationnelle de Vautre, cette équation est ahélieipie.
Théorème XIII. — Pour qu'une équation algébrique, non abélienne, irréductible et de degré premier n supérieur à trois soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit qu'entre trois quelconques de ses racines il y ait la relation
(17) CCa+p^ = (Xa+pj ^a)>
dans laquelle les iiidices de x soient pris suivaiit le modide n, 6 désigne une fonction rationnelle, p une des racines primitives du degré n, a un des nombres 0, 1, 2, 3, ..., n — i, et p U7i des nombres entiers 1, 2, 3, ..., n — 1.
Cette relation montre comment, deux racines a^^et Xa^p étant don-
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 43
nées, on peut exprimer de proche en proche les n — 2 autres racines en fonction de ces deux-là ; et comment ces racines naissent les unes des autres. Car cette relation étant vraie quand on remplace successivement p par 1, 2, 3, ..., n — 1, dans tel ordre qu'on voudra, et les résidus à n de la suite pp, pp', ..., pp"""* étant ces mêmes nombres dans un ordre déterminé, on peut remplacer dans cette formule (17)p successivement parpp,|9p*, ...,jpp"~': et nous aurons les n — 1 autres racines de Téquation à résoudre
Cela posé : si Téquation proposée est abélienne, elle est résoluble algébriquement, théorème X; mais par hypothèse, cette équation n'étant pas abélienne, étant irréductible et de degré premier n, sa résolution dépend essentiellement, théorème VII, de celle de deux équations, l'une de degré n — 1, l'autre de degré 1, 2, 3, ... (n — 2).
Mais, n étant premier et supérieur à trois, cette dernière équation, qui est l'équation résolvante dont l'expression générale y de ses racines est donnée par la formule (9), est indécomposable en équations de degrés moindres, son degré étant supérieur à 4, comme nous l'avons démontré au théorème IX. Donc, l'équation proposée devant être soluble par radicaux, cette équation résolvante doit avoir toutes ses racines égales; puisque toute autre hypothèse la rendrait décomposable en équations de degrés moindres.
Or, cette fonction rationnelle (9) des racines x^, Xa+p^ ..., Xa+;^z:ïp de l'équation proposée jouit de cette propriété, telle qu'elle est faite, d'être invariable pour les n {n — 1) permutations qui constituent un seul et même ordre de ces n racines vu successivement de chacune d'elles; et comme elle doit être encore invariable pour les 1.2.3 ... (n — 2) groupes de la troisième classification déjà citée de notre mémoire, cette fonction (9) doit être symétrique par rapport aux n racines de la proposée. Mais 7i {n — 1) est précisément égal au nombre d'arrangements de n lettres prises deux à deux; donc cette expression (9) doit se réduire, d'une manière rationnelle, à ne contenir que deux de ces racines. Cette réduction exi^e donc que, deux racines
quelconques de Téquation proposée étant données, x^ et Xa^.p par exemple, on puisse exprimer par des fonctions rationnelles les n — 2 autres. Par suite la fonction Zj, qui contient ces n racines, se réduira à une fonction rationnelle de x^ et Xa^py par exemple à
^ désignant unefonction rationnelle.
Mais 2„ «3, ..., Zn-i se déduisent de z^^ en changeant successivement jp en pp , pp% ..., pp»-*, et ces changements n'altèrent pas y, on doit donc avoir
équations qui exigent que l'on ait l'équation (17), puisque la valeur de 2^4 aurait pu être écrite de la manière suivante :
z^ = {x^ + axa+p 4- a'iCa+pp 4- ... -f- a""*a;o+pp»-*)*-
Cette équation (17) étant nécessaire, démontrons maintenant qu'elle est suffisante. Considérons à cet effet la fonction de Lagrange :
t* = I tj; (aca+p, x^ -t- X^ (Xa+pp, x^ ... + X"-» tj; (a?a4-j»p»-S ^a (""S
dans laquelle X désigne une des racines de l'équation binôme ac*""* =1. En y changeant successivement p en |9p, pp*, ..., i^Jp**""*, ses divers termes ne font que se déplacer circulairement; elle est donc invariable quelle que soit la valeur de p : d'ailleurs ses divers termes sont aussi invariables quelle que soit la valeur de a, donc cette fonction conserve la même valeur quelles que soient les n valeurs de a et les n — 1 valeurs de j9. De là il suit que si on réduit la fonction u à ne contenir que les deux racines x^y Xa^p à l'aide de la formule (17),
cette fonction, ainsi réduite, conservera la même valeur quels que soient les indices a et |9, et on aura
n (n — 1) ti = y y X r^«+pj ^a)\
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 45
relation dont le second membre est une fonction symétrique des racines de l'équation proposée f{x) = 0. On peut donc exprimer u en fonction rationnelle des coefficients de f {x) et de la fonction connue 6; et par suite, en remplaçant successivement X par les n — 1 racines 1, X, X,j ..., X^-j de l'équation x"~^ = 1, on aura les n — 1 équations
u^y t*„ ..., w«i désignant des fonctions rationnelles et connues des coefficients de f (x) et de 6 : de ces n — 1 équations nous déduirons les n — 1 termes dont se compose la fonction u.
Or, ces n — 1 termes étant connus, on aura, en ayant égard à leurs expressions en fonction des racines de la proposée, n — 1 équations qui, réunies à l'équation suivante,
Xa "• Xa+p "T" Xa+tp ~t* ••• "r* ^a + x — \p -~ "~* **i)
feront connaître les n racines cherchées; puisque ces n équations simultanées ne sont autres que les équations (18).
Ainsi, cette relation (17) est suffisante; de là la démonstration du théorème énoncé.
Remarque. — Il est utile d'observer que les n — 1 valeurs z^, z,, ..., Zn-i sont les racines d'une équation abélienne résoluble par l'extraction d'un seul radical d'indice n — 1. Donc les racines de toute équation, de degré premier n, et soluble^ par radicaux, ne contiennent que le radical d'indice n et ceux dont les radicaux sont les facteurs premiers de n — 1 .
Corollaire L — Si on divise le premier membre f {x) de toute équation irréductible, de degré premier, non abélienne et soluble par radicaux, par un de ses facteurs linéaires, le quotient égalé à zéro est une équation abélienne.
Car l'équation /" (x) = étant soluble par radicaux, irréductible, de degré premier n^ est abélienne, la relation (17) est satisfaite; et le quotient de f{x) par x — x^ égalé à zéro a pour racines Xa+p, ^a-^-poy ..., Xa+po^-^ ' et on déduit de cette relation les équations
2Ca+pp»-« — 6Xa4.pp"-3 = O^-'aCa+p, 3^a+j>p"~* ^^^^ ^a+p ^^ vXa4.pp»» — » = ~ Xa+py
qui prouvent qu'efFectivement ce quotient, égalé à zéro, est une équation abélienne.
Ce théorème, qui se présente ici comme corollaire, est dû à M. Hermite.
Corollaire II. — Il résulte du théorème X et de celui que nous venons de démontrer, ce résultat : les seules équations algébHques, irréductibles et de degré premier supé'ineur à trois qui soient solubles par radicaux^ sont celles qui sont abéliennes ou celles dont les racines satisfont à V équation (17).
Et il est utile de rappeler le résultat du corollaire du théorème XII : pour qu'une équation irréductible et de degré premier soit abélienne, il faut et il suffit que deux quelconques de ses racines soient tellement liées entre elles que Tune puisse être exprimée rationnellement par l'autre.
Théorème XIV. — Pour qu'une équation algébrique, irréductible et dont le degré composé ne contient aucun des facteurs premiers deux et trois soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit: i^ ou que deux quelconques de ces racines soient tellement liées entre elles que Vune puisse s'exprimer rationnellement par Vautre; et que si ôx et 6jX désigtieiit deux de ces racines distinctes exprimées Vune et Vautre en fonction rationnelle d'une troisième x, on ait 6ô^x = 0^6 x; 2^ ou que le degré de V équation soit de la
forme n'\ n étant premier^ et que trois de ses racines quelconques soient liées par la relation
(18) Xa^xpù, b-{-^iO,..., î-f-/tp ^^ ^ (Xt,^7p^ 6 + P2,..., l-hÀt^ '^a, h,..., l)j
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 47
datis laquelle les i7idices de x sont pris suivant le module n ; 6 désignant une fonction rationnelle; p une des racines primitives de n; a, h, .,,,l,v indices indépendants et prenant chacun les n valeurs 0, 1, 2, ..., n — 4; i^, g, ..., t, v nouveaux indices indépendants et prenant cliacun les n — 4 valeu7*s 1, 2, 3, ..., ?i — i; et enfin a, ^, ..., X Zes nombres ou 4 *
Si l'équalion proposée /" (x) = est abélienne, elle est résoluble algébriquement, théorème X. Si elle ne l'est pas, nous distinguerons plusieurs cas pour la recherche des conditions nécessaires et suffisantes de sa résolution : celui où son degré n est égal au produit de deux facteurs premiers, celui où ce degré est égal au produit de trois facteurs premiers, et ainsi de suite; chacun de ces facteurs premiers étant supérieur à trois.
Premier cas général : m = nn^.
L'équation proposée f (x) = étant irréductible, sa résolution dépend nécessairement, théorème VIII, de la résolution de n équations, d'un même degré n,, dont les nn^ racines sont celles de la proposée, équations qu'on peut former avec les coefficients de l'équation donnée et avec les racines de deux autres équations. Tune de degré n — 1, l'autre d'un degré déterminé s. Cette dernière peut être formée directement avec les seuls coefficients de f {x) = 0, et celle de degré n — 1 avec ces mêmes coefficients et avec l'une des racines de cette équation de degré s. Mais n^ est un nombre premier supérieur à trois, donc la résolution d'une quelconque des n équations de ce degré n^ exige, théorème VII, ou que cette équation soit abélienne, ou que les n^ racines soient liées par une relation analogue à l'équation (17); de là deux hypothèses :
Première hypothèse. — Si l'une quelconque de ces équations de degré n^ est abélienne, une quelconque de ses racines est une fonction rationnelle d'une autre de ces mêmes racines ; mais toutes ces racines appartiennent à l'équation proposée F {x) = 0, donc, théorème VI, les n n^ racines de cette dernière se partagent en n groupes composés chacun de n^ racines; comme on le fait au tableau (B) dans lequel n doit être remplacé par n^; et par conséquent 6"«x = x. Or, il résulte de ce même théorème, que les n groupes de ce tableau doivent se
réduire à un seul ou qu'ils doivent être distincts. Dans le premier cas n^ doit être remplacé par m dans cette dernière équation. Dans le second cas, Téquation proposée F (x) = est àbélienney le même théorème VI prouve que x^ = ô^x, 0^ {x) désignant une fonction de X telle que 0] (a?) = x puisque n est premier ; elle doit être différente de 6 puisque cette équation n'a pas de racines égales ; et qu'enfin x, = 65 (x), x,=:6îx, x^ = 6}x, ;.., x,i = 0';""*x. Avec ces résultats, le tableau (B) devient
X, Ôx, Ô*x, ..., 6"«-*x,
ôjx, eOjX, e'ô^x, ..., e'^-^ôiX, (C) { 6*x, ee^x, e'ôjx, ..., ©"«-^ejx,
ep^x, ee-j-^x, ^^^y^x^ ..., e-^-^e-j-'x.
Or, chaque racine de l'équation résolvante ç (i/) = décompose, à l'aide d'une équation auxiliaire de degré n — 1, théorème VIII, l'équation proposée en n équations abéliennes d'un même degré n^. Il y a donc autant de valeurs de y qu'il y a de manières de décomposer cette équation en n équations abéliennes. Mais avec les fonctions 6 et ô|, il n'y a évidemment qu'une seule manière d'opérer cette décomposition, chacun des nombres n et n^ étant premier; donc l'équation résolvante ç (y) = est du premier degré; et, par suite, la fonction y (13) qui peut être exprimée, tableau (C), rationnellement en X avec les fonctions et 6^, doit être une fonction symétrique, théorème II, des racines de l'équation proposée. De plus, les divers termes de i/, exprimés en x, se réduisent évidemment à un seul Zj, en sorte que l'on aura
1/ = Zj = (!/ (x),
6 (x) étant une fonction symétrique des racines de f{x) = 0. Ainsi, cette fonction doit conserver une même valeur quand on y remplace x par une quelconque des racines de cette équation.
Or, d'après l'expression de Zj et la signification des n quantités Xa, Xa-i-^, ..., Xa+w^ip qui désignent respectivement la somme des racines contenues dans chacun des n groupes* du tableau (G), cette expression Z, ou ^ (x) n'est invariable qu'en échangeant toutes les racines contenues dans chacune de ces quantités, les unes dans les
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 49
autres, et que par les permutations circulaires de ces mèmesr quantités, en nombre n. Mais toutes les racines du tableau (C) dépendent d'une seule Xy il faut donc qu'en échanj^eant x en une quelconque des racines d'un des groupes, du premier par exemple, changement qui laisse invariable X<„ cet échange laisse aussi invariable chacune des autres quantités Xo+p, ..., Xa4.,7inp. Et il faut de plus qu'en changeant X en une quelconque des racines d'un autre groupe, du second par exemple, les quantités X^, Xc+p, ..., X^j^-jrnïp se changent respectivement en X«+p, Xa+,p, ..., X^, changement qui laisse en effet invariable 6 (x). En d'autres termes, il faut nécessairement que les 71 groupes du tablejtu (G) soient inséparables.
Or, en changeant par exemple x en 6ac, les divers termes du premier groupe ne font que se déplacer, et ceux du deuxième deviennent
ô^ex, eOjOx, ô'ô^ôx, ..., ô^'-^ôjôx;
et comme ces derniers termes ne doivent aussi que se déplacer, on doit avoir ^^Bx = ôô^x.
Ainsi, si m = nn^, les conditions énoncées dans le premier cas sont nécessaires.
Démontrons actuellement qu'elles sont suffisantes. En effet, si elles sont satisfaites, on a 6j6x = OOjX, et par conséquent ô"ôjX = ÔÔ^Gx = Gjô^x, ô'ÔjBx = Ô66^ôx = eOjG'x = ô^e^x, et ainsi de suite; en sorte que le tableau (G) devient
GjX, Ôjôx, e^e-x, ..., Ôj6"«-*x,
6';-»x, e'j-^ex, ô'j-^ô'x, ..., ù]-^r^-^x.
Et il est évidemment tel que ces n groupes sont inséparables, et que si par exemple le premier se change en le second pour un changement, le second se changera en le troisième, le troisième en le quatrième, ..., et le dernier en le premier, par suite du même changement. De plus, si on échange entre elles deux racines quelconques d'un de ces groupes, on voit que les termes de ce groupe ne font que se déplacer. Donc, pour tout changement, ces groupes sont inséparables ou ne produisent que des permutations circulaires. Mais tous ces change-
UtsPEïROCs. — Mémoire. * A
ments font acquérir une même valeur à t/ ou ({; (x) ; donc 6 (x) est invariable quand on y remplace successivement x par une quelconque des'^m racines de l'équation proposée, /*(x) = 0. Admettons qu'on ait effectué ces substitutions dans cette fonction comme 6 (x) et qu'on ait fait la somme, le résultat L <]/ (x) sera une fonction symétrique des racines de cette équation et par conséquent exprimable en fonction rationnelle de ses coefficients; et on aura
La fonction résolvante y étant connue pour la racine a de Téquation binôme x* — 1 = 0, on pourra déterminer, de la même manière, sa valeur pour chacune des 7% — 1 autres racines de cette équation binôme : et en extrayant la racine n® de chacune de ces valeurs, on aura n équations linéaires par rapport aux n quantités X^, Xa+p, ..., X«+;r=rïpj analogues aux équations (11).
De ces ?i équations nous déduirons ces n inconnues; et, comme dans le théorème VIII, nous pourrons former, avec chacune d'elles, les n équations dont les racines sont respectivement celles de chacun des n groupes du tableau précédent. Mais ces équations dernières sont abéliennes ; elles sont donc solubles par radicaux, théorème X ; ce qui fera connaître les m racines de l'équation proposée.
Donc enfin, quand m = 7ini^ les conditions énoncées en premier lieu sont nécessaires et suffisantes.
• Seconde hypothèse. — Soit m^=7^n^^ei supposons que les n^ racines de chacune des n équations, en lesquelles doit être décomposée l'équation proposée et irréductible F (x) = à l'aide des racines de deux équations de degrés n — 1 et s, soient liées par une relation analogue à (17). Il suffira, à cet effet, que l'on ait l'équation
(19) Xa+po, b = (iKa+p, 6, Xa, b)
quelle que soit la valeur de 6, dans laquelle p désigne une racine primitive de n. Car le symbole Xa, b peut représenter les 7î7ij racines de F (x) = d'après les hypothèses faites sur a et h, a prenant en effet les valeurs 0, 1, 2, ..., ?ii — 1, et b les valeurs 0, 1, 2, ..., n — 1 ; les indices de x étant d'ailleurs pris respectivement suivant
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 51
les modules n^ et n. Nous appellerons racines conjuguées les n^ racines que produit l'équation (19), Xa+p, & et x„, 5 comprises, en changeant successivement p en pp, pp^, ..., p ?"*"*> et relatives à l'une des n valeurs de h.
Gela posé, écrivons sur des lignes horizontales les racines conjuguées de ces n équations ; on aura le tableau suivant, en observant que les résidus à n des n valeurs de h sont les mêmes, à la disposition près, que ceux de b, fe -h g, 6 + gp, ..., b -h gp""~* par rapport à ?i, b étant un nombre entier quelconque inférieur à n,
V *^tr, h-\-q *^a-{-p, b + q *^a-\-po, b + q ••• Xa-\-pi^^~^' 6+-(/
V*^/ l ^a, b + go *^a+p, b + q^ *^"+i»p, 6 + 73 ••• ^a-4-pp"»"''' ft + çp
dans ce tableau le p qui a pour coefficient q désigne une des racines primitives de n.
Or, chacune des racines de l'équation F (a?) == a le même caractère, celui de satisfaire à cette équation et qui seul doit servir à les déterminer, puisqu'elle est irréductible : mais, par hypothèse, les ?inj racines de cette équation se partagent en n groupes écrits en ligne horizontale, et composés chacun de n^ racines conjuguées; chacun de ces groupes éUint relatifs à une même valeur de l'indice h et à des valeurs différentes de l'indice a. Donc, 7i étant premier, comme n,, tout ce qui est vrai pour les indices b et a doit être vrai pour les indices a et 6; et par suite dans chaque colonne verticale il doit y avoir, en intervertissant, s'il le faut, l'ordre des lignes horizontales, des racines conjuguées et en même nombre : d'où il suit que n = n^ et par conséquent m = 7i^, Et de plus on doit avoir
(20) Xa, b + qo ^— - Q y^a, 5 + ç5 ^a, b)j
relation analogue à (19) ; et toutes deux étant évidemment comprises dans (18) en n'y prenant que deux indices a et 6, et en y faisant successivement ^ = 0, ol'=z 1 ; et ^ = 1, a = 0.
Ainsi, dans le cas où le degré m de F (x) = est égal au produit de deux facteurs premiers supérieurs à trois, il faut que, si les
conditions énoncées en premier lieu ne sont pas satisfaites, celles énoncées en deuxième lieu le soient.
Nous allons démontrer actuellement que ces dernières sont suffisantes. Cherchons d'abord le degré s de Téquation résolvante ç(i/)=0 : ce degré est donné par la formule (22), quand les racines n*ont entre elles aucune relation; mais dans le cas actuel, ce degré est moindre et égal à Tunité, et la valeur unique de y est une fonction symétrique des racines de F (x) =. 0.
En effet, chaque racine de ç (t/) = décompose, à Taide des racines d'une équation auxiliaire de degré n — i, théorème IX, Téquation proposée F (x) = en ?i équations d'un même degré n, dont les racines, pour chacune d'elles, sont conjuguées. Il y aura donc autant de valeurs de y qu'il y a de manières de décomposer les ?i* racines de F (x) = en n systèmes composés chacun de n racines conjuguées.
Pour effectuer ces décompositions, admettons que dans le tableau (E) ?îj rzi: n, et que dans chacune des colonnes horizontales et verticales, les racines soient écrites dans l'ordre où elles naissent des relations (49) et (20), vraies par hypothèse. Écrivons d'abord ces ?i' racines, en les prenant de gauche à droite dans le tableau (E),.sur une circonférence de cercle et à égales distances les unes des autres ; et considérons le polygone régulier qui est relatif à cette disposition, ainsi que ceux qui s'en déduisent par le procédé de l'intervalle constant, au nombre de n (n — 1). Nous avons démontré (^) que tous ces polygones, en ne considérant d'abord que les idées d'ordre et de disposition, n'étaient qu'un seul et même polygone, qu'un seul et même ordre; et que les côtés de ces mêmes polygones, en faisant intervenir les idées de grandeur, étaient donnés par une même équation algébrique.
Il résulte donc de là que tous ces polygones jouissent des mêmes propriétés; et que par conséquent chacun d'eux sera en général composé, comme le premier, de n systèmes de n racines conjuguées chacun. Mais, dans le cas actuel, deux racines d'un de ces systèmes suffisent, théorème XIII, pour déterminer les n — 2 autres; donc la valeur de l'intervalle constant, qui amènera dans les n premières racines du polygone relatif à cette valeur deux quelconques des
(i) Journal de Mathématiques publié par M. LiouviUe; théoième I, février 186t>.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 53
n racines conjuguées d'une des colonnes horizontales ou verticales du tableau (E), fournira un polygone qui ne sera pas composé de n systèmes formés chacun de n racines conjuguées. Et les seuls polygones, jouissant de cette propriété, seront ceux qui sont produits par les valeurs de h qui n'amèneront dans aucun des n systèmes deux quelconques des racines d'un des systèmes conjugués de ce tableau (E).
Or, si l'on prend /i = n 4- 1 , c'est-à-dire si l'on saute, à partir de Xa, ft, den -{- i enn -h i dans le polygone primitif; on passera, pour les n premières racines, successivement sur une racine des 2®, 3°, ..., no lignes horizontales de (E) : il en est de même pour les n racines suivantes, ainsi que pour les autres considérées de n en 7i. Donc rfnlervalle h = n -h i produit un nouveau polygone formé, comme le premier, de n nouveaux systèmes de n racines conjuguées chacun.
Si généralement l'on prend h = kn + 1, fe étant un entier inférieur à n et si l'on observe que, n étant premier, les résidus à n de k, 2A;, ..., {n — i) k sont les nombres 1, 2, ..., n — 1, dans un ordre déterminé (i); avec cette valeur h on passera également sur chacune des n lignes horizontales de (E), et on ne prendra qu'une racine de chacune de ces lignes : il en sera de même pour les n racines suivantes, ainsi que pour les autres considérées de n en n. Donc ce nouvel intervalle produira un nouveau polygone, formé, comme les dfeux premiers, de n nouveaux systèmes de n racines conjuguées chacun. Et comme ce résultat est vrai quelle que soit la valeur de fe, il en résulte, qu'avec cette disposition première des n' racines de F (x) = 0, on obtient, le polygone primitif et correspondant à cette disposition étant compris, n systèmes différents formés chacun de n racines conjuguées.
Mais si l'on prend pour h toute autre valeur, 2 par exemple, on ne passerait pas évidemment, pour les n premières racines du polygone correspondant à cette valeur, sur une racine de chacune des lignes horizontales de (E); dans ces n premières racines se trouveraient nécessairebient deux racines au moins d'une de ces lignes avec des
(1) En effet, n étant premier, et p étant inférieur kn.pk n'est pas divisible par n: et si les résidus à » de p ^ et de fk étaient égaux, la différence k {p — p') serait un multiple de n ; ce qui est impossible, puisque/»' est aussi inférieur à n.
racines étrangères à cette même ligne ; et dès lors ces n racines ne seraient pas conjuguées. Il en serait de même pour toute autre valeur de h. On .obtient donc seulement, avec cette première disposition, n systèmes dilTérents composés chacun de n racines conjuguées.
Écrivons actuellement les ii* racines de (E) en allant de haut en bas et en commençant par la gauche, sur une circonférence de cercle; et considérons le polygone qui est relatif à cette disposition nouvelle. Il est, par hypothèse, formé de n nouveaux systèmes de n racines conjuguées chacun ; et si Ton forme les n — 1 autres polygones qui seuls, d'après ce qui précède, jouissent de la même propriété, on trouve qu'ils ne produisent rien de nouveau. Car, dans lesn premières racines de ces n polygones, se trouvent nécessairement toutes les racines de F (x) = 0: mais ces n polygones se déduisent des n premiers que nous avons obtenus en échangeant entre eux les indices a et 6, donc cette nouvelle disposition ne produit qu'un nouveau polygone composé, comme les ?i premiers, de n systèmes de n racines conjuguées chacun. Donc enfin les n' racines de Téquation proposée, se partagent seulement de 7i -h 1 = (n' — 1) : (n — 1) manières différentes en ?i systèmes composés chacun de n racines conjuguées.
Si Ton forme ces ?i -f- 1 décompositions, on obtient les n + 1 tableaux suivants :
/ »^a, b *^a+p, b *^a+ps, b ••• •^«+pp''—', b
1 *^a, b+q *^a-k-p, ô-f-g '^a+po, b+q ••• *^a-hpo*~^, b+q
\^i) \ *^a, 6+73 "^a-hp, 6+çp ^a+p^, i-f-gp ••• ^a+pp""*' ô+sp
a, ô+çp"~* ^o+p, 6+9p**~* ^a-l-pp, 6+7p"-~' ••• ^a+p ^'~*, 6-»-ç5**~*
Xa, b "^a-hp, 6 + 3 *^a-*-pp, b-i-qo ••• ^^a+pz"^ '• ô-t-rtî""'
^a, b-i-q ^a-i-p, 6-f-gp »^a-f-pp, 6-f-7p« ••• i^a -f- pp" "=" '/ 6
\^i) \ *^a, 6+çp ^a+p, ô+7p« ^^a-^p^, 6+çp« ••• ^a-f-pp**""*, b-^-q
•^o, ô + spn — 2 *^a-i-pj b ' *^o + pp, 6+- g ••• ^o-f-pp**""*' ô+^p"""'
/ ^a, b *^a+p, b+qo ^a-\-p^, ô-f-^p* ••• »^a -l-pp'* "" */ 6-*-7p*~'
/Tp \ y ^a, b+q '^a+p, 6+go' «^a+pp. 64-9p* ••• *^a+pp*~*, 64-«p**""*
V ^a, 6-4-75**—* ^a-i-p, b-\-q ^a-i-p^, ô-t-çp» ••• ^a4-pp"~*. ô-f-gp**""*
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 55
' *^a, h ^a-i-p, ft-^-^yp"""' *^a-{-pz, ft-HçO**"** ••• ^o + p3**~*» 6 + ^
/g \ / *^a, h-i-q '^a-i-p, b ^a4-po, b-hgf^~^ ••• ^a+i»2"~*' ô + çp
/ iCfl, i, Xa, 5-t-gr 5Ca, &+3p ••• ^a, 6+75""'
I «^a-f-p, b ^a-k-p, Ô4-3 ^a-^p, 6 + ?p ••• *^a+p, ft + ^p"""'
V 1+Uj ^o+pp, 6 *^a-\-p^, 6+g ^a+pp, 6 + çp ••• ^a+i>5, ô + çî*^"'
\ ^o-*-pp*»~*' ô ûîa^pp» — 2, 64.7 a?tt+/>p'»~*^ 6+(?p ••• ^a-|-pp'*~"'> ft4-5s"~*
Il est utile de remarquer que, dans les n premiers tableaux, les racines contenues dans la première colonne verticale sont exactement les mêmes; et que les racines contenues dans les autres colonnes verticales sont respecti vendent les permutations circulaires les unes des autres.
Cela posé : pour former la fonction résolvante y, définie par l'équation (11) et relative à chacune de ces n -h 1 décompositions. Ton doit prendre pour chacune des quanlités X^, X^^.^, ..., Xa+;i:z:ip n racines quelconques de l'équation proposée F (x) = 0. Or, si l'on prend successivement pour X^ la somme des racines de la première colonne verticale des n premiers tableaux et la somme de celles de la première colonne horizontale du dernier, X^ conservera une même valeur pour ces n -I- 1 décompositions. De même, si l'on prend successivement pour Xa+p la somme des racines qui forment la deuxième colonne verticale des n premiers tableaux et la somme de celles de la deuxième colonne horizontale du dernier, X»+p conservera une même valeur pour ces mêmes n + 1 décompositions; et ainsi de suite. Enfin, si l'on prend successivement pour \a-k-w:^\p la somme des racines de la dernière colonne verticale des n premiers tableaux et la somme de celles de la dernière colonne horizontale du dernier, ^^^^zrip sera également invariable pour ces mêmes n + 1 décompositions. Donc les fonctions Zj, Z,, ..., Zn:i et la fonction résolvante y relatives à chacune de ces n + 1 décompositions conservent une même valeur puisqu'elles ne sont formées que de ces n quantités X^, Xa^.^, ..., Xa+;r:rip. Ainsi, quoiqu'il y ait nH- 1 décompositions, y n'a cependant qu'une seule valeur, et par conséquent l'équation résolvante <p (i/) r= est du premier degré. Ce résultat pouvait d'ailleui*s être prévu;
puisque, d'après ce qui a été démontré au 2® du théorème IX, l'équalion résolvante 9 {y) = est indécomposable.
Démontrons enfin que cette valeur unique de y peut être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de l'équation proposée et de la fonction connue 6 ; et qu'à l'aide de cette valeur y on peut obtenir ses
n' racines.
En effet, toutes ces racines et aussi la fonction y peuvent d'abord être exprimées en fonction rationnelle des n racines
qui évidemment ne sont pas conjuguées. Car la première colonne horizontale des 2®, 3®, ..., n® tableaux donnent respectivement
a+Pp, 6+7P» ^= ^ i^a-i-p, &-H7p> ^a, &)> • • • > ^o+pp*-'' M^p""* = ^ (^a+pp**"'' M-jp"-*> ^a. b)y
Avec ces équations les n^ racines de l'équation proposée F (x) = peuvent être exprimées en fonction rationnelle de ces n racines non conjuguées, à l'exception des n — 1 racines
et des n — 1 autres
Xa, 64-57 *^a, b+^p? •••? «^a, 6-f-5p**~*j ^a-f-p, 6j
mais chacune d'elles s'exprime rationnellement, en fonction de deux de celles que nous venons de déterminer, les n — 1 premières à l'aide du tableau (E J, les n — 1 dernières à l'aide du tableau (E„4.i). Donc toute fonction rationnelle et connue de ces n' racines peut être exprimée en fonction rationnelle des n racines non conjuguées; et, par suite, si l'on considère, non la fonction y (41), mais la fonction plus générale,
• t/, =: (Zj + X,Z, -H XÎZ3 -^ ... 4- Xr'Z„i)
dans laquelle \ désigne l'une des racines de l'équation binôme x"~^ — 4=0, fonction qui se réduit à y pour X^ = 4 et quand on en a extrait la racine n — 4 ; on aura
^1 = "îî {Xa, 6, Xa^p, 54-3, ^a4-p, 6 + gpî ^a-4-p ft-Hço*^"*}*
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT". 57
Si Ton forme actuellement tous les arrangements n à n des n' racines de F(ac) = 0, ?i (n + 1) de ces arrangements seront composés de n racines conjuguées, et tous les autres de n racines non conjuguées. Mais si Ton remplace successivement dans x les n racines qui s'y trouvent, d'abord par;les n (n + 1) premiers arrangements et que Ton fasse la somme des résultats; puis par tous les autres et que l'on fasse également la somme des résultats obtenus : on aura, en désignant par 2' z la première somme et par Z't: la seconde,
t: -h S'x = tOj,
\i\ étant évidemment une fonction • symétrique des n' racines de l'équation proposée F {x) =. 0, et par suite exprimable en fionction rationnelle des coefficients de cette équatiop et de ceux de la fonction connue 6.
Mais, les n racines qui entrent dans chaque terme de S' x sont conjuguées, elles peuvent donc être réduites, à l'aide de la fonction connue 6, à deux racines x^, x^ ; et on aura t: ==: r^ (aCp x,). Or les quantités Zj, Zj, ..., Z„i sont invariables pour les n {n + 4) systèmes de racines conjuguées des {n 4- 1) tableaux: de plus, ces mêmes quantités sont encore invariables pour les n valeurs 0, 1, 2, ..., n — 1 de l'indice a, et elles se déduisent les unes des autres en changeant successivement p en les n — i valeurs p, pp^, pp*, ..., 1^?**"% changements qui n'altèrent pas la fonction y^. Donc 2' x = 2' tt^ (x^ oc,) est invariable par les n' (n* — 1) arrangements deux à deux des n' racines de F (x) = 0, et par conséquent ce terme est symétrique de ces racines et exprimable, par suite, en fonction rationnelle des quantités connues.
De là, il suit que S't: est aussi une fonction rationnelle et symétrique des racines de F (x) = 0, et par conséquent exprimable également en fonction rationnelle des quantités connues. Mais la fonction Y^ n'a qu'une seule valeur; donc l'égalité précédente donnera, k désignant le nombre de termes de S'tu,
Y^ étant une fonction connue.
Si dans cette dernière équation on remplace successivement }.^ par chacune des n — 1 racines de o^*"* — 1 = 0, on aura les n — 1 équations
(21) ^z^ + x, z, + XÎ z, -h ... +x;-'Z,-i = K
'fi
\ z, -^ x„-iZ, -+- xj-,z, -h ... 4- x;z;z«-i = Kv«-i,
dont les seconds membres sont cçnnus. De ces équations on déduira les n — 1 quantités Zj, Z„ ..., Z^.i qui à leur tour fourniront, après avoir extrait la racine n<ï de chacune d'elles, n — 1 équations formant avec Téquation dont le second membre est connuf^
un système de n équations linéaires par rapport aux n quantités X«, Xa+p, ..., Xa4.;rrip. De ces équations nous déduirons ces n quantités; et, comme dans le théorème VIII, nous pourrons former avec chacune d'elles les n équations dont les racines sont toutes celles de la proposée F (ac) = : équations résolubles algébriquement, puisque chacune d'elles rentre dans le théorème précédent.
Ces conditions sont donc suffisantes.
En réunissant ce résultat à celui de la première hypothèse, il est donc prouvé que, si le degré m de¥ (x) = n'est composé que de deux facteurs premiers supérieurs à 3, les conditions énoncées du théorème à démontrer sont nécessaires et suffisantes.
Deuxième cas général : m = n7^^n^,
L'équation proposée F (a;) = n'étant pas abélienne et étant irréductible, sa résolution dépend nécessairement, théorème VIII, de la résolution de n équations d'un même degré n^.îi,, dont les m racines sont celles de la proposée; équations que l*on peut former avec les coefficients de F (oc) = et avec les racines de deux autres équations, l'une de degré n — 1 et l'autre d'un degré déterminé s. Cette dernière peut être formée directement avec les coefficients seuls de F (x) = 0,
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 59
et celle de degré n — 1 avec ces mêmes coefficients et avec les racines de Téq nation de degré s. Mais le degré commun à ces n équations, Hj.nj, est égal au produit de deux facteurs premiers supérieurs à 3, donc la résolution d'une quelconque de ces équations exige, i^^ cas général déjà expliqué, ou qu'elle soit abélienne, ou que les conditions du 1^ du théorème à démontrer soient satisfaites, ou enfin que ce soit celles du 2® du même théorème : de là àen^ hypothèses.
Première hypothèse. — Si chacune de ces n équations dont le degr^est n^,n^ est abélienne, l'équation proposée ne l'étant pas, on démontre, d'une manière absolument semblable à celle qui est relative à la première hypothèse du l^r cas général, que les conditions énoncées du 1® sont nécessaires. Il suffit, en effet, de remplacer n^ par ?tj.nj. Si chacune de ces n équations, de degré n^.iij, n'est pas abélienne, ces mêmes conditions du 1° sont nécessaires par hypothèse. Ainsi, dans l'un et l'autre cas, ces conditions sont nécessaires.
Pour démontrer qu'elles sont suffisantes ; il suffit, dans la démonstration relative au l®"^ cas général, de mettre dans le tableau (D^) n^ .n, à la place de n^, si chacune des n équations de degré Uj.n, est abélienne; et de substituer à chacun des groupes de ce même tableau, un tableau analogue fait avec les facteurs n^ et n„ si les racines de l'équation proposée jouissent de la propriété énoncée au 1® du théorème à démontrer. Dans l'un et l'autre de ces deux cas, on obtient en effet les n équations, d'un même degré n^ . ?ij ; et ces dernières sont solubles par suite de nos hypothèses, à l'aide du procédé de la première hypothèse du i^^ cas général.
Donc, quand m = n.?îj.?i„ les conditions énoncées du l*' du théorème à démontrer sont nécessaires et suffisantes dans cette première hypothèse.
Seconde hypothèse. — Soit m = ^i.n^.n,, et supposons que les n^,n^ racines de chacune des n équations, en lesquelles doit être décomposée l'équation proposée, F (x) =. 0, soient assujetties aux conditions énoncées du 2® du théorème à démontrer. Il suffira, à cet efTet, que l'on ait n^ = Hj, c'est-à-dire m =: n,n]j et que Ton ait la relation
(22) Xa^xp , ô+Psp, c = V {Xa^xp, ô+Pî, cj ^a, h, c)
quelles que soient les valeurs 0, 1, 2, ..., n — 1 de c et les valeurs et 1 de a et de P; désignant une fonction rationnelle, p une des racines primitives de n,, et Xa, 6. c les nn\ racines de F (jc) = avec les hypothèses déjà faites sur a^ b, c.
Cela posé : écrivons sur des lignes horizontales les racines de ces n équations, qui sont celles de la proposée; on aura Je tableau suivant, en observant que les résidus à n des valeurs 0, 1, 2, ..., n — 1 que prend c sont les mêmes, à la disposition près, que ceux de c, c -♦- r, c -+- rp, ,.., c -f- rp"~*; c désignant un des nombres entiers inférieurs à n, et p une racine primitive de ?i; •
/pv)^«Ac + r 9
i •*'a,6,c+rp • î
i •Ï'a,6,c4-rp'*~"' ...-'.
Dans ce tableau, les indices de x relatifs aux deux premières lettres a, h sont les mêmes, terme à terme, dans chaque colonne verticale, et ceux de c sont respectivement c, c -h r^ c -{- rp^ ..., c -f- »'p''~'; enfm chacune des lignes horizontales contient les n\ racines d'une des n équations dont nous avons parlé, et elle est par conséquent composée de n^ systèmes formés chacun de n^ racines conjuguées. Mais Féqualion F (x) = proposée étant irréductible, chacune de ses racines est assujettie à la même loi de détermination, celle de satisfaire identiquement à cette même équation; et puisque n est premier tout aussi bien que n^, il s'ensuit que dans chaque colonne verticale il doit y avoir, en intervertissant s'il le faut l'ordre des lignes horizontales, des racines conjuguées et en même nombre. Il résulte donc de là que n = n^ et que, par suite, m = ?ij, et de plus on doit avoir
(2o) Xa, 6, c-f rp = ^ \^a, 6, c+rj ^a, b, c))
relation analogue à (22), et toutes deux étant évidemment comprises dans (18) en n'y prenant que trois indices a, h, c et en y faisant d'abord y = ^5 et puis a=:^ = 0, y = 1.
Ainsi, dans le cas où m = n.n,.?i„ si les conditions énoncées du
; RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 61
1^ du théorème à démontrer ne sont pas satisfaites, celles du 2^ du même théorème doivent l'être.
Nous allons actuellement démontrer que ces conditions dernières, d'ailleurs nécessaires, sont suffisantes. Cherchons d*abord le degré s de Téquation résolvante © (y) = de Téquation proposée F (.c) = : ce degré est déterminé par la formule de Ténoncé du théorème VIII quand les racines n'ont entre elles aucune relation. Mais, dans le cas actuel, ce degré est moindre et égal à l'unité; et la valeur unique de y est une fonction symétrique des racines de F (ac) = 0.
En effet, chaque racine de la résolvante © (t/) = décompose, à l'aide des racines d'une équation auxiliaire de degré n — i, théorème VIII, l'équation proposée F (x) = en n équations d'un même degré n' et dont les racines, pour chacune d'elles, constituent n systèmes de n racines conjuguées chacun. Il y aura donc autant de valeurs de y qu'il y aura de manières de décomposer les n^ racines de /* (x) = en n systèmes composés chacun de n' racines qui forment 7i systèmes de n racines conjuguées chacun.
Pour ces décompositions, admettons que dans le tableau (F) n^=z n et que dans chaque ligne, soit horizontale, soit verticale, les racines soient écrites dans l'ordre où elles naissent des relations (22) et (23), vraies par hypothèse. Écrivons d*àbord ces n' racines sur une circonférence de cercle, à égales distances les unes des autres, en les prenant dans le tableau (F) de gauche à droite et ligne par ligne; et considérons le polygone régulier qui est relatif à cette disposition. Ce polygone est, par hypothèse, composé de n' systèmes de n racines conjuguées chacun; et on démontrerait, comme dans le l®»* cas général, que ce polygone produit de nouveaux polygones, jouissant de la môme propriété, en prenant pour intervalles constants les nombres qui suivent et qui sont en progression arithmétique dont la raison est n :
n-hl n'-+-n-h4 ... (n — 4)7i* -h îi -h1,
Ainsi, avec ce polygone on en fait n* composés chacun de ?i* systèmes de n racines conjuguées chacun.
Puis, si Ton écrit sur une circonférence les n' racines du tableau (E), en allant de gauche à droite et ligne par ligne ; si Ton joint aux deux indices a, h un troisième c auquel on donnera successivement les valeurs c^ c -^ r, c -t rp, ..., c -h rp"-*, on aura un nouveau polygone composé par hypothèse, comme les précédents, de n* systèmes de n racines conjuguées chacun. Or, si pour obtenir de nouveaux polygones, par le procédé de l'intervalle constant, on prend pour h des termes en progression arithmétique dont la raison est n, on ne trouve rien de nouveau : mais si la raison est n* on obtient n nouveaux polygones relatifs aux valeurs de h
jouissant de la même propriété; tandis que toute autre valeur de h ne produit pas de nouveaux polygones ayant cette même propriété. On démontre ces résultats exactement de la même manière que dans le cas de deux indices.
Enfin, en lisant le tableau (F) de haut en bas, on obtient un autre polygone composé également de n* systèmes de n racines conjuguées chacun ; polygone qui n'en produit pas d'autres ayant la même propriété. Car, dans les n premières racines des ?i' -h n premiers polygones, se trouvent toutes les racines de l'équation donnée F(x)=0; mais les polygones qu'on formerait avec cette troisième disposition se déduisent des premiers en échangeant entre eux les indices a, b, c, donc cette nouvelle disposition ne produit rien de nouveau.
Il résulte donc de ce qui précède que les n' racines de F (x) = assujetties aux relations (22) et (23) se partagent en n' systèmes de 71 racines conjuguées chacun en un nombre de manières déterminé par la formule
n' — 4 Ces j- décompositions produisent les tableaux suivants :
fl^a, b, e *^a+p, b, c ••• *^a-\-p^^ *' h, c
«^«, 6+7, c ^l'H-.^ b + Q, c ••• ^if -1-715**""*' 6 + 7, c
*^M, 6 + 7, c + r *^'a+;>, 6 + 7, c + r ••• ^'rt + ;>;**~'' 6+7. « + r
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 63
/ ^a, h, c *^<f-¥-p, 64-7, c ••• ^a -f-pp" "~ *' ft + g-p**""*'. c
3Ca, 6, c-l-r «^a+p, 6 + 7» c-^r ••• ^a+r^"""*' 6-»-7p"'"*' c-4-r
^a, 6+7, c + rp 3[îo-J-j>, 6+7p, c4-''p ••• i^a-*-/*p"~*' 6, c + rp»
/ ^tt, è, c ^a-^-p, 6 + 7p, c ••• »^a+pp""~*» ft + çs"""'' c+r
l iCfl^ 6, c + r ^o4-p, 6 + 7pi c+r ••• 3Po-»-pp"~'' 64-7p"~'' c4-rp«
^a, h-^-q, e-^-r^ ^a+p, 54-7p*/ c + rp ••• 3Ca+pp*~*> 6+«p**""*» c+rp«
^a, »4-f, c+rp«^<i+p, 64-7pV c + rî» ••• ^Ca^-p-»— ^ ft+çp*""*' c+rp« \
^a, h, c4-r *^a-^-p, t + vp* *» c ••• ^a+pp"~*' &+ff/ c+rj
3Pa, 6-4-7, « ^a-k-p, h, c+r^'^"^ ••• ^Ca+pp*""*' b-i-g^, e-^-r
3Po, !> + 7 c + r ^a4-p, b, c ••• »^a+p5*'~"'' & + 9p. e + ro
l »^ji, 6, c + r *^*rt+p, 6, c+r ••• '^a+pO^' *' b, c-hr
j ^a, 6 + 7, e ^tt-i-p, b-^q, c ••• 3Pa4 j,p*« *> i + 7, c
•^ci, 6+7, c + r «^ti+p, 5 + 7, c + r ••• »ï'«i +/»c" "" '» 6+7 r +
( ^a, b, c *^a-^p, b, c ••• ♦ï'a+ps"""'' 6, €
l '^a, b, c^r ^a-^p, b, c-^r ••• '^'a+ps'*'"*' 6^ c-^r
i ♦ï'a, i + 7, c »ï'a+p, 6+7, c ••• ^^a + pp*"*' 6 + 7, C
' «^a, &+7f c + r ^a-i-p, b+q, c + r ••• *^a-¥'pz^~^' 6 + 7, c + r \
Dans ces tableaux, ainsi écrits, il est utile de faire les remarques suivantes : 1® dans chacun de ces ?i" -+- n + 1 tableaux, il y a dans chaque colonne verticale n* racines relatives à toutes les valeurs des indices 6, c et à une même valeur de l'indice a ; ces valeurs de b et c 8ç déduisent les unes des autres, pour une môme colonne verticale et
à partir de la 2®, par des permutations circulaires relatives à n termes et à ces mêmes valeurs de ?> et c ; 2° on passe d'une des colonnes verticales à la suivante en changeant p en pp, à partir de la deuxième, qui elle-même se déduit de la première en changeant a en a -h p; 3® les n racines de chaque ligne horizontale des n' premiers tableaux sont conjuguées; 4° dans chacun des n suivants, les n racines qui occupent- le même rang dans Jes n groupes de chaque colonne verticale, sont aussi conjuguées; 5° enfin les ii racines consécutives de chacun des 7i groupes contenus dans chaque colonne verticale du dernier tableau sont également conjuguées. En sorte que les n' racines de Téquation proposée F (x) = forment n^ (n* -f- n + 1) systèmes de ?i racines conjuguées chacun.
Cela posé, pour former la fraction résolvante y définie par Téquation (14) et relative à chacune de ces n* + ?t -h 4 décompositions, on doit prendre pour chacune des quantités X^, X^+p, ... Xa+.;i^rïp la somme de n* racines quelconques de F (x) = 0. Or, si Ton prend successivement pour X^ la somme des racines de la première colonne verticale de chacun de ces tableaux (F), cette quantité conservera évidemment une même valeur pour toutes ces décompositions. Et il résulte des deux premières remarques que si on prend successivement pour Xa-Hp la somme des ?i* racines de la deuxième colonne verticale de ces mêmes tableaux, cette somme conservera également une même valeur pour toutes ces décompositions ; et ainsi de suite. Enfin, si on prend successivement pour Xa+^r^p la somme des n* racines de la dernière colonne verticale de ces mêmes tableaux, cette quantité acquerra une même valeur pour ces mêmes décompositions. Donc les fractions Z^, Zj, ..., Z„i et la fonction résolvante y, qui ne sont formées que de ces quantités X„, Xa+p, ..., Xa+i^zrïpy sont invariables pour ces ?i* + ?i 4- 1 décompositions. Ainsi, quoiqu'il y ait n* -H ?i -h 1 décompositions, y n'a cependant qu'une seule valeur. Ce résultat pouvait d'ailleurs être prévu, puisque, d'après ce qui a été démontré au 2° du théorème IX, l'équation résolvante o{y) = est indécomposable.
Démontrons enfin que cette valeur unique de y peut être exprimée en fonction rationnelle des coefficients de l'équation donnée F (x) = et de ceux de la fonction connue ; et qu'avec cette valeur on peut obtenir les n' racines de cette équation.
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT. 65
En effet, toutes ces racines, et par suite la fonction y^ peuvent être exprimées, comme dans le premier cas général, en fonction rationnelle des n racines
qui évidemment ne sont pas conjuguées. Car, il résulte d*abord de ce premier cas, que chacune des n* — n autres racines relatives à la même valeur c du troisième indice de x peut être exprimée en fonction de ces n racines. Puis on voit que, tableaux (FJ, (FJ, ..., on peut, avec les racines relatives à c, obtenir celles qui sont relatives h c + r; et, par suite, ces racines étant conjuguées par groupes de n, déterminer toutes les racines relatives k c + rp, c -j- rp^, ..., c H- rp"~'. Donc, toute fonction connue des n* racines de F (x) = peut être exprimée en fonction rationnelle des n racines non conjuguées qui précèdent. De là il suit que si Ton considère, non la fonction y, mais la fonction plus générale
y^ = (Z, 4- X,Z, + XJZ, 4- ... + Xr'Zn-i)"-»,
dans laquelle les quantités X^, Xa+p, ..., ^+jr-ipy qui servent à former Z^, Zj, ..., Z„i désignent précisément celles dont nous venons de parler, et \ une des racines de Téquation binôme x^~^ — 1=0; fonction qui est égale à y pour X^ = 1 après en avoir extrait la racine n — 1® ; on aura
Si Ton forme actuellement tous les arrangements n à n des n^ racines
n^ — 1 de F {x) = 0, n* • ~ de ces arrangements seront composés de
n racines conjuguées, et tous les autres de n racines non conjuguées. Mais si Ton remplace successivement dans ^ les n racines qui s'y trouvent, d'abord par les premiers arrangements et que l'on fasse la somme des résultats, et puis par tous les autres, et que l'on fasse également la somme des résultats obtenus, on aura, en désignant par 2' ^ la première somme et par Z'^^ la seconde,
\Vj étant une fonction évidemment symétrique par rapport aux
Desp|:yrous. — Mémoire. 5
n' racines de F (x) z=z 0, et par conséquent exprimable en fonction ' rationnelle des coefficients de cette équation.
Mais, les n racines qui entrent dans 2'»]; étant conjuguées, elles peuvent être réduites à deux racines x^, x, ; et on aura tj; = tj;^ (x^ x,).
Or, les quantités Z^, Z,, ..., Zn i sont invariables pour les n*. j-
systèmes de racines conjuguées des tableaux précédents : de plus, ces mêmes quantités sont encore invariables pour les n valeurs 0, 4, 2, ..., • n — 1 de a, et elles se déduisent les unes des autres en changeant p successivement en les n — 1 valeurs p, pp, pp', ..., i3p"~% changements qui n'altèrent pas la fonction y^ (*). Donc S'd' = Uf}^^ (x^ x,)
n* — 4 est invariable pour les n*. —n (n — 1) = ^*' (h' — 1) arrange-
ments deux à deux des n* racines de F (x) = ; et, par suite, ce terme est symétrique de ces racines et dès lors exprimable en fonction rationnelle des quantités connues.
De là il suit aussi que 2' ^ est exprimable en fonction rationnelle des quantités connues; mais la fonction y, et évidemment aussi y^^ ne prend qu'une valeur pour tous les arrangements n kn relatifs à toutes les décompositions possibles de F (x) = en équations de degrés moindres, puisque l'équation résolvante ç (y) = est du premier degré; donc l'égalité précédente donnera, k' désignant le nombre de termes de 1" ^^
Vj étant une fonction connue.
Si, dans cette dernière égalité, on remplace successivement X^ par chacune des racines de x*~ ^ — 4 = 0, on aura n — 4 équations analogues aux équations (21), dans lesquelles il suffira de remplacer v par V, et dont les seconds membres sont connus. De ces n — 4 équations on déduira les n — 4 quantités Z^, Z,, ..., Z^-i, qui à leur tour fourniront, après avoir extrait la racine n® de chacune d'elles, n — 1 équations
(4) Car les sommes X<|, X^^p^ ..., \a-hir^p jouent évidemment, dans cette deuxième tiypolhèse, le m^me rôle que celles qui sont désignées par les mCmes lettres dans la première-
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constituant avec l'équation dont le second membre est donné,
■^a "^ ^a+p H- -^-f-sp -f- ... + Aa + h'^-ip = Aj,
un système de n équations linéaires par rapport aux n quantités X^,
De ces n équations nous déduirons ces n quantités inconnues; et, comme dans le 1®"^ cas général, nous pourrons former avec chacune d'elles les n équations, de degré n', dont les racines sont toutes celles de la proposée F (x) = 0. Enfin, ces dernières équations, rentrant dans ce premier cas général, seront toutes résolubles algébriquement par la méthode déjà indiquée : et on aura ainsi les n* racines de l'équation à résoudre F (x) = 0.
Ces conditions sont donc suffisantes.
En réunissant ce dernier résultat à celui de la première hypothèse, il est prouvé que si le degré m de F (x) = est composé de trois facteurs premiers et supérieurs à 3, les conditions énoncées du théorème à démontrer sont encore nécessaires et suffisantes.
La méthode d'exposition qui précède peut évidemment être étendue au cas où le degré m est égal au produit d'un nombre quelconque de facteurs premiers et supérieurs à 3; on doit donc regarder ce théorème général XIV comme démontré.
Corollaire. — Il résulte du théorème X et de celui que nous venons de démontrer que les seules équations algébriques, irréductibles et dont le degré composé ne contient aucun des facteurs premiers 2 et 3, qui soient solubles par radicaux, sont celles qui sont abéliennes ou celles dont les racines satisfont aux conditions du i^ ou du 2^ du théorème XIV.
Cas parliculiers non compris dans le théorème XIV.
Ces cas sont évidemment au nombre de 3 seulement : celui où le degré m de l'équation à résoudre F (ac) = est égal au facteur premier 2 élevé à une puissance entière quelconque, w = 2*; celui où m = 3^; et celui enfin où m = 2^.3^, ^ désignant un nombre entier quelconque.
Premier cas : m = 2».
Si m = 2*, le corollaire du théorème IX démontre que F (x) = est toujours soluble par radicaux, quelles que soient ses racines.
Si m =: 2', ce théorème démontre, n étant égal à 2, que la fonction résolvante y de F (x) = est donnée par la formule (13), que le degré de Téquation résolvante ^ (y) =0 est égal à 35, et qu'avec Tune des racines de cette dernière on décompose Téquation proposée Y {x) = en deux équations d'un même degré 4. Or, ces deux dernières sont toujours résolubles algébriquement; donc pour que l'équation F (ac) = soit elle-même résoluble, il faut et il suffit que il; (t/) = soit également résoluble algébriquement, ou du moins décomposable en d'aulres équations de degrés moindres, celles ci en d'autres de degrés moindres, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on parvienne à des équations résolubles.
Mais, dans le cas actuel, la formule (43) donne
y = Z, = (X„ + aXa+p)%
les quantités X^ et Xo+p étant respectivement égales à la somme des quatre racines de chacune des deux équations en lesqudles se décompose l'équation proposée, se composent chacune de la somme de quatre racines quelconques de F (a?) = 0; et, puisque le degré de l'équation résolvante est égal à 35, le nombre total 40320 de permutations des 2* racines de F (x) = se décompose, théorème III (^), en 35 groupes composés chacuri de (1 . 2 . 3 . 4)* , 2 = 4152 permutations inséparables. Or, dans le théorème IX, les quantités désignées généralement par Xa, Xa+p, ..., Xa+(n~i)p joueut le même rôle que les racines x^, x^+py ..., Xa+(ti-i)p dans le théorème II; donc les groupes de permutations faites avec les racines et relatifs à l'équation résolvant ç (i/) = G étant indécomposables, note du premier mémoire; les groupes de permutations relatifs à l'équation résolvante <J; (i/) =: de l'équation à résoudre F {x) = G seront aussi indécomposables.
Ainsi, dans le cas présent, les 35 groupes relatifs aux racines de f^ (y) =: sont indécomposables ; donc, théorème V, cette équation résolvante est indécomposable elle-même. Mais la résolution de la proposée F {x) = entraîne la résolution de z {y) = 0, donc les
(1) Voir notre Mémoire inséré dans le Journal de M. Liouville, février 1863.
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racines de cette dernière doivent être égales entre elles ; puisque toute autre hypothèse la rendrait décomposable. Mais en échangeant entre elles, soit les racines du groupe des 4 racines qui entrent dans X^, soit celles du groupe des 4 racines qui entrent dans Xa^.p, soit enfin le premier groupe tout entier en le second, la fonction résolvante y ne change pas de valeur; tandis que tout autre échange de ces 8 racines altère cette fonction. Donc, l'équation résolvante devant avoir ses racines égales entre elles, il est nécessaire que les racines, d'ailleurs quelconques, d'un de ces deux groupes dépendent les unes des autres. Or, ces racines étant au nombre de 4, il ne peut arriver que 3 cas ; l'une d'elles peut être en effet une fonction rationnelle d'une seule, ou de deux, ou des trois autres.
Dans le i®*" cas, un raisonnement analogue à celui qui a été fait pour démontrer la première hypothèse du premier cas général ou la deuxième hypothèse du second cas général du théorème X, prouverait que ce 1®"^ cas entraîne les conditions du 1** et du 2» de ce théorème : conditions qui d'ailleurs ont été démontrées suffisantes pour la résolution de l'équation proposée F (x) = 0.
Dans le 2® cas, on a par hypothèse, en désignant respectivement les racines des deux groupes par
a, b, c, dy a\ h\ c\ d\
c = 6 (6, a); et, par suite, ci = ô^ (6, a). En sorte que les quatre racines du 1*»*" groupe sont conjuguées; il en est de même de celles du second. On devrait donc avoir, dans chaque colonne verticale, d'après ce qui a été démontré plusieurs fois, un groupe de 4 racines conjuguées; ce qui ne peut être, puisque l'équation proposée étant du 8® degré, il n'y a que deux racines dans chacune de ces colonnes verticales : ainsi, ce cas est inadmissible.
Par la même raison le troisième cas est également inadmissible.
Il résulte donc, de ce qui précède que si m = 2', pour que l'équation proposée F (a;) = soit résoluble algébriquement, il faut et il suffît qu'elle soit abélienne ou que ses racines satisfassent aux conditions du 2® du théorème X.
Si on suppose actuellement m = 2^; le théorème IX démontre que, n étant égal à 2 et l'équation proposée F (x) = étant irréduc-
tible, cette équation doit être décomposée, pour sa résolution, en deux équations résolubles du 8® degré chacune. Mais, d'après ce qui vient d'être démontré, la résolution de chacune de ces dernières équations exige ou qu'elle soit abélienne ou que les racines de chacune d'elles satisfassent aux conditions du 2® du théorème X. Dans l'un et l'autre de ces deux cas, on démontrerait absolument de la même manière que l'équation proposée doit être abélienne ou que ses racines doivent encore satisfaire aux conditions du 2*^ du même théorème ; et que ces conditions nécessaires sont d'ailleurs suffisantes.
Donc, si m = 2*, pour que l'équation irréductible F(a;) = soit soluble par radicaux, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, ou que ses racines satisfassent aux conditions du 2® du théorème X.
De même que les conditions de résolubilité pour le cas où m = 2* donnent celles du cas où m = 2* ; de même ces dernières donneraient celles où m = 2*; et ainsi de suite. De là ce théorème :
Théorème XV. — Pour qu'une équation algébHque irréductible et de degré 2*, a étant supérieur à 2, soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne, ou que deux quelconques de ses racines soient tellement liées entre elles que Vune puisse s'exprimer rationnellement par Vautre; et que si %x et b^x désignent deux de ses racines distinctes, exprimées Vune et Vautre en fonction rationnelle d'une troisième x, on ait
Deuxième cas : m = 3^.
Soit d'abord m = 3' : le théorème IX démontre, n étant égal à 3, que la fonction résolvante Y de l'équation proposée (1) à résoudre est donnée par la formule (13), que le degré de son équation résolvante ^ (^y) z=zO est égal à 280 ; et qu'avec l'une des racines de cette dernière et celles d'une équation du second degré, on décompose l'équation proposée en trois équations d'un même degré 3. Or, ces trois dernières sont toujours résolubles algébriquement, donc pour que la proposée soit dans le même cas il faut et il suffit que tj; (t/) = soit elle-même résoluble algébriquement, ou du moins décomposable en d'autres équations de degrés moindres, celles-ci en d'autres de
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degrés moindres, et ainsi de siiite jusqu'à ce qu'on parvienne à des équations solubles.
Or il a été démontré généralement et par conséquent pour le cas où m = 3* que Téquation tj; (t/) = est indécomposable, que ses racines doivent être égales entre elles, et que l'égalité de ces racines exige que les trois racines de la proposée, d'ailleurs quelconques, qui entrent dans chacune des trois quantités, X^, X„4.p, Xa+sp relatives à cette hypothèse m = 3', .dépendent les unes des autres. Mais, le nombre de ces racines étant ici égal à 3, il ne peut arriver que deux cas; l'une d'elles peut être en effet une fonction d'une seule ou des deux autres.
Dans le premier cas, on démontrerait, comme dans la première hypothèse du deuxième cas général du théorème X, que cette supposition entraîne les conditions du i^ ou du 2° de ce théorème; conditions qui d'ailleurs sont suffisantes pour la résolution de l'équation proposée F (x) = 0, comme cela a été prouvé.
Dans le deuxième cas, on a par hypothèse, en conservant les notations adoptées, la relation suivante entre les trois racines d'un des trois groupes dont nous avons parlé,
nous dirons que ces 3 racines sont conjuguées. Cette équation étant vraie pour chacun des 3 groupes, c'est-à-dire pour chacune des valeurs 0, 1, 2 de b, les 9 racines de F (x) = se décomposent en 3 systèmes composés chacun de 3 racines conjuguées. Et on prouverait, comme dans le théorème X relatif à deux indices, 1® que l'on doit avoir encore
équation qui fournit 3 nouveaux systèmes composés chacun de 3 racines conjuguées; 2^ que, par suite, les 9 racines de F (x) = se décomposent de 4 manières différentes en 3 systèmes composés chacun de 3 racines conjuguées; 3° que la fonction résolvante y, et aussi que la fonction plus générale
Vi = (Zi + XiZ,)»
dans laquelle Xj est racine de l'équation binôme x* — 1 =; 0, est une
fonction symétrique des racines de F (x) = 0, et dès lors exprimable en fonction rationnelle des quantités connues ; i^ enfin, qu'avec les deux valeurs de i/j, relatives aux deux racines de Téquation binôme, on peut déterminer Z^ et Z^; quantités qui permettent d'obtenir les 3. équations, de degré 3, en lesquelles se décompose F {x) = 0. Or, ces 3 dernières équations sont résolubles algébriquement, il en est donc de même de F (x) = 0. De là ce théorème : si m = 3', pour que l'équation irréductible f(x)=0 soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que cette équation satisfasse une condition soit du 1®, soit du 2«, soit du 3« du théorème X (*).
Soit actuellement m = 3' : dans ce cas, le théorème IX décompose l'équation proposée F (x) = en 3 équations, de même degré 3'. Mais chacune d'elles, devant être résoluble, doit satisfaire, nous venons de le démontrer, aux conditions du 1®, ou du 2», ou du 3*^ du théorème X.
Si ces équations satisfont au 1^, c'est-à-dire si elles sont abéliennes, on prouve comme dans les cas analogues qui précèdent, que la fonction résolvante y doit être symétrique par rapport aux racines de F (x) =0; ce qui exige que les racines de cette dernière satisfassent aux conditions du 4** ou du 2® du théorème X. Et ces conditions nécessaires sont d'ailleurs suffisantes pour résoudre la proposée, comme nous l'avons démontré dans ce théorème.
Si les racines de chacune de ces 3 équations, de degré 9, satisfont aux conditions du 2<* du théorème X, F (x) = est encore résoluble, d'après ce qui vient d'être dit.
Enfin, si les racines de chacune de ces mêmes équations de degré 9, satisfont aux conditions du 3« du même théorème X, un raisonnement analogue à celui qui a été fait dans le cas général où m = n* de ce théorème, démontre que F (x) = est encore résoluble.
Donc si m = 3% pour que l'équation irréductible f (x) =zO soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne ou que ses racines satisfassent aux conditions du 2<» ou du 3® du théorème général X.
Ce raisonnement pouvant être généralisé sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans d'autres détails, on a ce théorème :
(1) La. résolution de l'équation du 9* degré a été trouvée, dans ce deuxième cas, pai* M. Hesse d'une manière très différente. (Voir le 34» volume du Journal de Crelle,)
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Théorème XVI. — Pour qu'une équation algébrique, irréductible et de degré 3^ soit résoluble algébriquement* il faut et il suffit i° qu'elle soit abélienne; 2^ ou que deux quelconques de ses racines soient tellement liées entre elles que Vune puisse s'exprimer rationnellement par Vautre; et que si ôx et ^^x désignent deux de ses racines distinctes, exprimées Vune et Vautre en fonction rationnelle d'une troisième x, on ait OôjX i= G^ôx; 3^ enfin ou que Von ait entre trois de ses racines la relation (49) relative à 3 indices.
Troisième cas : m = 2^.3^.
Pour cette hypothèse nous prendrons n = 2 dans le théorème IX, et nous décomposerons par conséquent Téquation irréductible à résoudre F {x) = en deux équations, d'un même degré ^^"^S^, à Taide des racines y de Téquation résolvante (}* (i/) = 0; l'expression générale de ces racines étant fournie par la formule (13) qui se réduit ici à
1/ = Z4 = (X„ + dXa+py.
On prouverait, absolument comme dans le premier cas, que l'équation résolvante il; (t/) = est indécomposable, que ses racines doivent être égales entre elles, et que cela exige que les racines de F (x) =: satisfassent aux conditions du i^ ou du 2» du théorème X ; conditions qui d'ailleurs sont suffisantes. De là ce théorème :
Théorème XVII. — Pour qu'une équation algébrique, h^^éductible et de degré 2*. 3^ soit résoluble algébriquement, il faut et il suffit qu'elle soit abélienne; ou que deux quelconques de ses racines soient tellement liées entre elles que l'une puisse s'exprimer rationnellement par Vautre, et que si Qx et ô^x désignent deux de ses racines distinctes, exprimées Vune et Vautre en fonction rationnelle d'un troisième x, on ait
