SUR

LES INTEGRAJLES DEFIISIES,

PÎUSES ENTBE DES UMITES IMACraAIRES;

Par M. Augustin - Louis CAUCHY.

§ 1. Dans un M<?moire présenté à l'AcadAnie des Sciences le 28 octobre 182s, ainsi que dans le 19” cahier du Journal de l’École royale polytechnique, et dans le résumé des leçons données à cette école, j’ai fait voir comment on pouvait parvenir à fixer, dans tous les cas possibles, le sens que l’on doit attacher à la notation

destinée à représenter une intégrale definie, prise entre des limites réelles 27., X, quelle que fût d’ailleurs la fonction réelle ou imaginaire, désignée par y( 2:). J’ai prouve qu’une intégrale de cette espèce, lorsque la fonction J' (x) devient infinie entre les limites de Imtégi’ation, est en général indéterminée, en sorte qu’elle admet une infinité de valeurs, parmi lesquelles il en existe une qui mérite une attention particulière, et que j’ai nommée valeur principale. Enfin, j'ai montré que la considération des valeurs principales des intégrales indéterminées , jointe à la théorie des intégrales singulières que j’avais exposée pour la première fois dans un Mémoire de i 8 i 4 > suffisait pour établir une multitude de formules générales, à l'aide desquelles

t)u pouvait évaluer ou du moins transformer les intégrales définies. Je me propose aujourd’hui d'appliquer les principes qui m'ont guidé dans ces recherches, aux intégrales prises entre des limites imaginaires. On sait que l’emploi de ces dernières intégrales a conduit M. Laplace à des résultats dignes de remarque. Dans ces derniers temps, M. Brisson nous a dit s’ètre servi avec succès de ces mêmes intégrales et'de leur transformation en intégi'alcs définies ordinaires, pour développer des fonctions données en séries composées de termes proportionnels à des exponentielles dont les exposants suivent des lois connues. Enfin, un jeuneRusse, doué de beaucoup de sagacité, et très versé dans l'analyse infinitésimale , M. Ostrogi'adsky, ayant aussi recours à l'emploi de ces intégrales, et h leur transformation en intégrales ordinaires, a donné une démonstration nouvelle des formules quej’ai précédemment rappelées, et généralisé d'autres formules que j'avais présentées dans le dix-neuvième cahier du Journal de l'Ecole royale polytechnique. M. Ostrogradsky a bien voulu nous faire part des résultats principaux de son travail. Mais ni ce travail , ni aucun des Mémoires publiés jusqu'à ce jour, sur les diverses branches du calcul intégi'al, n'ont fixé le dégré de généralité que comporte une intégrale définie, prise entre des limites imaginaires, et le nombre des valeurs qu'elle peut admettre. Telle est la question qui va faire l'objet de nos recherches. On verra que sa solution dépend du calcul des variations, et de la théorie des intégrales singulières , et qu’elle fournit immédiatement un grand nombre de formules propres, soit à l’évaluation, soit à la transformation des intégrales définies. Ces formules comprennent, comme cas particuliers , celles cjue j’ai déjà mentionnées , et celles que cjuelques géomètres ont obtenues depuis peu par d’autres voies.

5 2 . Pour fixer généralement le sens de la notation

a?oi désignant des limites réelles, et f (a;) une fonction réelle ou ima^naire de la variable a;, il suffit de considérer l’intégrale définie représentée par cette notation , comme équivalente b la limite ou li l'une des limites vers lesquelles converge la somme

( 2 ) ( — JC. )/(«.)+(•*.-“*.)/(*.)+••• 4- ,)/( JC. - .) •

lorsque les éléments de la différence X — x, savoir,

étant des quantités affectées du même signe que cette différence, reçoivent des valeurs numériques de plus en plus petites. Donc, pour embrasser dans la même définition les intégrales prises entre des limites réelles, et les intégrales prises entre des limites imaginaires:, il convient de représenter par la notation

X^YV~

vr.

la limite ou l’une des limites vers lesquelles converge la somme des produits de la forme

[ ( X. — X. )-f- Cr. — J. ) VIT ]/ ( X, 4-j. v. ),

[ ( *. - X. ) + (7, -/. ) V“ ]/ ( X. -f 7. VT. ) ,

etc.

[ ( x.. ) -f ( r-7.. ) VIT]/ ( JC,. +7.-.

lorsque, chacune des deux suites

étant composée de termes qui aillent toujours en croissant ou en décroissant depuis le premier jusqu’au del’nier, ces mêmes termes se rapprochent indéfiniment les uns dfsmtrcs. <»t que

leiu' nombre croit de plu» en plus. Pour obtenir deux suites de cette espèce , il &oi£t de supposer

(7) • 3e=sp{i),

(0» X (0 1 étant deux fonctions continues d’une nouvelle variable t, toujours croissantes ou décroissantes depuis t — t, jusqu’à / = r, et assujetties à vérifier les conditions

puis de représenter par

' J'tf Xl t • • • 'Xm—tt

les valeurs de a; et de y correspondantes à des valeurs de t, qui composent une série croissante ou décroissante et de la forme

Admettons cette hypothèse, et désignons par yf -f-jB la valeur correspondante de l'intégrale (4) : on aura, à très peu près ,

et par conséquent l’expression imaginaire ^ -j- B V- . sera sensiblement égale, en vertu des principes ci-dessus établis, à la somme des produits

S (^. - O [<p’ ( ‘0+ vr. r (O ]/ [«> ( ‘.) + v“?c ( ‘. )] »

('.-O t<P' (O -I- VZX' ( <.)]/ [4> (A)4- V- X (O ] .

etc.

( r-/, -f vr: X' 0 . -.)]/[<? (O + V” X a- .)].

ou, ce qui revient au même , U l'int(^^ale définie

Jt, [?'(0+ VCTjc'COl/LÇCO + VCrxCOl'i'-

On aura donc

(I a) J + B VT. = "1 <P' ( 0 + V-T %' ( 0] /:[<p ( 0+ Vi: % ( 0 ] dt :

et, si l'on fait, pour abréger ,

on trouvera simplement

§ 3. Concevons maintenant que la fonction f( x +r vTi) reste finie et continue, toutes les fois que x reste comprise entre les limites a?,» X, et / entre les limites Y. Dans ce cas par-

ticulier, on prouvera facilement que la valeur de l’hüégrale (4), c’est-h-dire, l’expression imaginaire -f- S VTT , est indépendante de la nature des fondions

En effet , si l’on attribue h ces fonctions des accroissements infiniment petits et de la forme '

(i5) tu, tv,

t désignant un nombre que l’on supposera infiniment petit du premier ordre, etu, tr deux fonctions nouvelles de la variable /, qui devront s’évanouir pour les deux limites t=t„, T l’intégrale ( 12 ) ou (i4) recevra un accroissement coirespondant que l’on pourra développer suivant lea puissances ascendantes de e, de manière k obtenir une série dans laquelle le

terme infiniment petit do premier ordre sera le prôdait de f par Tinte' grale

(*6)^ {(“+î'Vi;)C^'4-j'Vi:)/'(-ï4Trvt>K“'+^'vz)Ajf+/v^ \dt.

Or, comme on trouvera, en int<5grant par parties ,

Jl ld^v'v:::)A-^+jv:::)dt^-jJin+vvz)Cx>+y^ di,

il est clair que l’intégrale (i6) se réduira d'elle-môme à zéro, et l'accroissement àe A B VTT , a un infiniment petit du second ordre , ou d’un ordre plus élevé. Il est aisé d’en conclure que, si chacune des fonctions x, y, reçoit successivement des accroissements infiniment petits du premier ordre dont la somme présente un accroissement fini, l’accroisL-sement correspondant àc A B sera infiniment petit du premier ordre, c’est-a-dîrc nul. On peut remarquer d’ailleurs que l’intégrale (i6) n’est autre chose que la variation totale de Tin- , tégi’alc (i4) par rapport aux variables x, y, considérées comme des fonctions hiconnucs de t. Si, en adoptant les notations de Lagrange, on posait

Tintégi'ale (ifi) se présenterait sous la forme

\ / 'vro +fi^-\-yvZ) S' (.^^-hryz)] dt

^ /j,x’-[.yyz.)f(x^yvr.)di.

Ainsi la démonstration du principe ci-dessus énoncé repose sur cette seule observation que la variation de l’intégrale ( i4) est nulle, ce qu’on pouvait prévoir, d’après les principes du calcul des variations, attendu que la fonction sous le signe se réduit, dans cette intégrale, à une différentielle exacte.

5 4* Supposons maintenant que la fonction devienne infinie pour le système des valeurs

x = a, jr=b,

correspondantes à la valeur

de la variable t\z = c+AVIT sera une racine de l'équation

Désignons d’ailleurs par f la limite vers laquelle converge le produit

[x-a + Cj-i)V^) /(*+JV“) .

tandis que x converge vers la Kmite o , ety vers la limite J; et soit toujours i un nombre infiniment petit : on aura, sans erreur sensible ,

(ao) f=e/(a + *Vi: + ‘)

Si, déplus, on nomme ce que devient ,

quand les variables a; , y, reçoivent les accroissements infiniment petits « U , I 2 /, on aura encore

= f. [•*'+*“' +C/'+*î^')vir:]/[*4-‘“+(j + *^’)vr:] dt - f\ + f VT.) /(x-l-y ) dt.

Co

Or, la différence entre les intégrales comprises dans le second membre de l’équation (ai), sera toujours sensiblement nulle , excepté lorsque x différera très peu de a, et y de i, c’est-àdire, lorsque t différera très peu de t. Onpouixa donc, sans

altérer cette différence, substituer aux fimites des deux intégrales d’autres limites très rapprochées de t, et remplacer,' en conséquence, les intégrales dont il s’agit par des intégi'ales définies singulières. Cela posé, faisons

(aa)

Désignons par

les valeurs de

t = T-1- ftV.

x' , J) ' , ti, V,

correspondantes à ^=t. Enfin soient a, [x, deux quantités réelles déterminées par l’équation

de laquelle on tire

On aura sensiblement, pour des valeurs très petites de nv.

et, comme, pour renfermer la variable t entre des limites peu différentes de t, U suffit de renfermer w entre les limites

vr V.

on tirera de l'dqnatioh (ai)

On doit observer que l’intégrale

dm

dans laquelle la fonction sous le signe / devient infinie pour to=o, est indéterminée; mais, si l’on réduit cette intégrale h sa valeur principale, c’est-à-dire, à zéro , et si l’on pose en outre e = o, l’on trouvera

ou, ce qui revient au même,

pans cette dernière formule , le signe supérieur ou inférieur devra être préféré , suivant que la quantité /4 , et la différence

seront des quantités positives ou négatives, c’est-à-dire, en d’autres termes, suivant que l'expression

obtiendra une valeur positive ou négative en vertu de la supposition particulière /=t. Donc, si les accroissements des fonctions j, savoir, e?/, £?./, viennent à changer de signe, le second membre de l’équation (26) en changera lul-mème; et si l’on nomme A" -j- B"VZ, l’expression imaginaire qui .remplacera dans cette hypothèse on aura

(28) v“— (^ -f i5 v~)==±’r f. vr:,

Ajoutons quo, dans les formules (26) cl (28), VCT désigne,

non pas la valeur générale de l'intégrale (i4)r qui, en vertu de l’hypothèse admise, est indéterminée , mais sa valeur principale (Voyez le liëmmé des leçons données à l'école Royale polytechnique).

Si l'on combine l'équation (28) avec l'équation (26), on obtiendra la suivante

(ao) =

dans laquelle .A' ^ B' VU, A” -|5""VI|» représentent deux intégrales complètement déterminées.

$ 5. La formule (26), que nous avons déduite de la considération des intégrales singulières, peut encore être établie par une autre méthode que nous allons indiquer. Supposons

et concevons de plus que la fonction

représentée par une fraction dont les deux termes s’évanouissent en vertu de l’hypothèse z = a + A Vü, ne devienne point alors infinie : on tirera des équations (21) et (3o)

5" + tu' -t- (.r' -f tv' ) i/rr X' 4-/ vcr: )

a- — t»4-tu + (7 — ■ “ a: — J

n?) ,[* 4. «4- (5* W ) rZ7 J — («' +k’/'~)« (»«- j»'~) jrf/.

Or, la fonction w{z) conservant une valeur hnie, lors même qu’on suppose z = a + i V~ , les deux intégrales

/ ( *' +y VC ) ar ( X -\-jr y— ) ,

seront, équivalentes entres elles, puisqu'elles représenteront la valeur unique de l’intégrale

çxjrry — ^ ** ^T7

w ( s ) <fs.

D autre part, il est facUe de s'assurer que l'intégrale

x' + iu'^ (y + ,v ' ) »/—

X — a4-£u + ()- — b+tv) V~

-T ^ [(x — û + t“)’4-(j' — i-f-jv)’] r^[(*‘-a)’4-(j’ — i>]

+ '“"e- -jEr 3 '

étant prise entre les limites < = /,, /= T, et réduite à>a valeur principale, sera équivalente au produit

q=’rvc:.

En eiïet, puisque les fonctions u et v s’évanouissent aces deux limites, la partie réelle de l’intégrale (34), savoir:

se réduira, pourjune et l’autre limite , à -f / ( i ) = o. Quant

coefficient de V-. dans l'intégrale (34), il peut être présenté sous la forme

Arcang. ( i (»-«)» -( y-*)» 1

Or , U est aisé dejvoir que ce coefficient produira un terme de a forme :ç:-fV-. dans l’intégrale (34) prise entre les limites t ~~ t ~ T ^ et un second terme de la forme zf. — VZ~, ^ dans

la mrime intégrale prise entre les limites t = —T. La somme

(le ces deux termes sera ^ et par suite, l'écpiation (3a)

se trouvera réduite à la formule (afi).

§ (>. Les formules (pie nous venons d'étalilir, supposent que la constante, désignée par f, conserve une valeur finie; ce qui n'aurait plus Heu , si l'é(|uation (u)) acquerrait plusieurs racines égales :i l’expression imaginaire a-\-ù V~. Admettons cette dernière liypothèse , et désignons par ni le nombre des racines dont il s’agit. Soient, on outre, A' V~, yl' + B" VI',, les deux expressions dans lesijuelles se transforme, l'intégrale (i4)i quand les variables .T, y, reçoivent, les accroissements infiniment petits tw, e/i; 2° les accroissements — tu , — Enfin posons, pour abréger,

L’équation (29) devra être remplacée par la suivante (3G)

Oi , la dlffeience entre les intégrales comprises dans le second membre de l(ûpiation (3f»j, sera très petite, excej.té dans le cas où la variable a; différera très peu de a, et la variable y de 6 ; Dans ce dernier cas , les expressions

O7) a:—a—tu-{-(r~b—tv)VI, x—a^iu-\-{y—b-\.iv)VI.,

seront elles-mêmes fort rapprochées de zéro , et si l’on développe les fonctions

f [x — (M-f-O — ) Vli] , f «« (y -f- tv) VZ]

suivant les puissances ascendantes des expressions dont il s’agit, on pourra, sans craindre qu’il eu résulte des erreurs sensibles, suppi imcr, dans les développements obtenus , les termes qui

f ( X — IP))/,» , ]

renfermeront des puissances d’un dëgré supérieur à m. Ceüe seule considération suffit pour évaluer le second membre de l'équation (56). Si, pour plus d’exactitude, on pose

la fonction w(z) conservera en général une valeur finie, et l’équation (36) donnera

^ ^ ^ (sr’ J*

^ »'-4- *u' y' +*ii ) I ] » (œ ip) ^

s, représentant une intégrale déterminée par la formule

Or le dernier terme de la formule ( 39 ) s’évanouit, aussi bien que le dernier terme de la formule (3a). De plus, l’intégration indiquée dans l’équation (4o) peut s’effectuer, et l’intégrale définie, qui en résulte, est toujours nulle, excepté dans le cas tn'i l’on suppose r»- — « — i, 1 , auquel cas om

trouve

(40 .=.*:awV~

On arrive encore li la même conclusion, en observant que la fonction sous le signe /", dans l’intégi'alc s», n’a de valeur sensible qu’entre des limites de t fort rapprochées de t, d’où il suit .que cette intégrale peut être considérée comme une intégrale singulière. Dailleurs, si l’on fok, comme dans le 5 4, eiv, la fonction dont il s’agit, sera sensiblement

équivalente, pour de très petites valeurs de uv, an produit

1 C M~i- CW-, )

et , comme, pour des valeurs sensibles de iw = t — t, ce produit se réduit à très-peu près à

(.+cvr)“- ( (i-r)-

c’est-à-dire, à zéro, nous conclurons que, dans l’équation (4 o), on peut substituer ce produit à la fonction sous le signe J~. On aura donc à très peu près

( 44 ) s. = 1 r 1 ; ‘ Ut

(a+Sy—.)' ■-/'. <l<-T-i(A.*,«V/— )] — Lt.T-ve(A.v^V/^)]—

De plus, comme on trouvera généralement, en supposant m — « > I,

! f * I l -f (’orist. ,

et que la fonction de t, comprise dans le second membre de l'équation (45), s’évanouira sensiblement aux deux limites t = f^, t = T, il est clair que le second membre de l’équation (44) pour toutes les valeurs de n Inférieures à

m — I. Si l’on y suppose maintenant nr=m — i, on aura simplement

(46) s.. = /^ 5 : r î l dt

(t — T— lA-p</«l^~ t — r-f-lA — lfty~, \ ■ '

(< — r— iA)*4.(i/u)> (f r-t- iA)- 1

Or il est ûtcile de s'assurer i** que la partie re'elle de l’intégrale (46) est sensiblement nulle, 2° que la partie imaginaire, savoir ,

(4/) ^ ^ ^ — t-I-sA)* -1- (eft)’ J

^ (h' — A)’ + ft‘ V«- + a)' + P‘ ^

se réduit à

± a T vi: -

On aura donc

s.-, = ± air VIT;

le signe étant déterminé, comme dans la formule (2ql; et l'équation (39) donnera

Il en résulte que la formule (29) subsistera encore, dans le cas des racines égales, si l’on y suppose la constante f déterminée, non plus par l'équation (20), mais par la suivante

ou, ce qui revient au môme, par l’équation ^ 1.2.3... ( m — i)

e désignant un nombre infiniment petit, qu'on devra réduire à zéro, après avoir effectué les différentiations.

S 7. Concevons maintenant que , l’équation (19) ayant des racines égales, on veuille calculer, non plus la différence entre les deux intégrales -f- B' VIT , -j- B" VIT , mais la dif-

férence qui existe entre la première de ces inlégi-alcs et I infé-

grale(i4i)- U faudra évIdenuaent-substiitu^'iiJ'iéquation ( 3 <j(y imc autre ('guarion de la forme

( 5 () W' + B'V- — (^ + BVr,) =

s.rc^ + i V ->+ ^ P («H- 1 y-) .. -7- : 3'7^, —

f— 5(a|iy-)

•) »'~1 •[«-*- 1 » * tx * (x» |/ ~) « ,

et dans laquelle s„ représentera une intégrale déterminée par la formule

^ r' «'-hrv-> ?

De plus, on démontrera, par des raisonnemens semblables à ceux dont nous avons fait usage dans lejJ 6', 1° que le dernier terme de la formvtle ( 5 i) s’é^Twmuît ; 2“ qoe'Tcqoatbm t 5 a) peut être remplacée par la snivante :

Or, si l'on suppose d abord tz < w — 1., on aura

m -*n — , 1 ['r — r~Ht I

d’où il résulte que, pour de irèsqîefrlcs valeurs de «, la première des intégrales compristTS dans le second menïbre de l'équation ( 53 ) se réduira sensiblement à