SA
Quant à la seconde inte'grale
T dt
elle sera équivalente à la somme
(dG)
T dt T dt
dont les deux parties représenteront des quantités infinies et de même signe, si m — n est un nombre pair, et des quantités infinies, mais de signes contraires, si m — n est un nombre impair. Par conséquent l’intégrale (55), et la valeur de deviendront infinies dans le premier cas, indéterminées dans le second. De plus, comme la valeur principale de l’intégrale (55) sera'sensiblement égaie à
dt
on voit que, dans le premier cas, cette valeur principale différera três-peu de la fraction
tandis que, dans le second cas, la même valeur sera égale au produit (54) > valeur cori-cspondante de 5 . à zéro.
Enfin, si l’on suppose n = m — i, et que l'on réduise toujours l’intégrale (55) à sa valeur principale, on trouvera
(3t^) i.-, — zf. w 'V-t )
le signe — ou -f- devant être préféré suivant que la quantité ft sera positive ou négative. Il résulte de tous ces calculs, i” que la valeur de la différence A' -\-B' V~ — ( sera
( »fi )
inliiiie, à moins que la nature de la fonction f(aî+/V~) ne fasse disparaître, dans le second membre de la formule (5i), tous les termes dans lesquels l'indice n de la lettre s sera écpilvalent à l'un des nombres
c'est-:i-dire, à moins que l'on n'üit
2" que, si les conditions (Sq) sont l'emplies, on aura
r:— >(a+ivr:)
(fin) y- — VT. ) ^ » -~L VT . , .
pourvu que l'on repre'scnlc par A B VT, non pas la valeur generale de l'intégrale (4), qui, en vertu de l’hypothèse admise, sera indéterminée, mais sa valeur principale. Ajoutons que, pour déduire l'équation (6o) de l’équation (26) , il suffit de supposer, dans cette dernière, la constante f, déterminée, non plus par la formule (20) , mais par la formule (4q) ou (.50).
ÿ 8'. Silafraction f(a:-j rV^) devenait infinie pour plusieurs systèmes de valeurs des variables a; = (p(/) et j = 5(^(/), compris entre les limites x=:Xx,, x = X, y=.yo, y = Y; les valeurs correspondantes de z = x-\-yV~. seraient autant de racines de 1 équation (ly). Appelions z,, z,. . . ces racines, et f, , f. . . . les valeurs correspondantes de la constante f, déter- ^ minée par 1 équation (20) ou par l’équation ( 4 q). En raisonnant comme dans les paragraphes 4 et fi, on établira évidemment, non la formule (29), mais la suivante
((,1) A” -j- ii"v^, — {A' -j- ji’vz. ) = ± 2 »• f, . V-. ± • v~ — ....
Déplus, la valeur générale de l’intégrale (i 4 )scrn indéterminée, si 1 équation (ly) na que des racines simples, ou des racines
égalés, mais pour chacune desquelles des conditions seniLlahlcs aux conditions (Sq) soient ve'rifiées; et, si, dans l’une ou l’autre hypothèse, on réduit l'intégrale dont il s’agit ii sa va. leur principale , oil trouvera, en désignant cette valeur par
( 62 ) ^'-1-5' vi:-(^+^v:) = + -f.v“ =p T
Enfin, si, l’équation (i 9 )ayant des racines égales, les condilioiis (5q) n’etaient point vérifiées pour ces mêmes racines , la valeur générale et la valeur principale de l’intégrale (i 4 ) deviendraient infinies J et l’on devi’ait en dire autant de la différence
C’est ce qui arrivera en particulier toutes les fois que l’équation (iq) aura des racines égales en nombre pair. Concevons en effet que, m désignant un nombre pair, l’équation (iq) admette//* racines égales h l’expression imaginaire a+i Vli. Alors, si l’on détermine la fonction f(z) par le moyen de la formule (3.5), la constante f(a+AVIi) aura nécessairement une valeur différente de zéro , et par conséquent la dernière des conditions (5q)» savoir :
f ( fl 4 - i V~ ) = O ,
ne pouiTa être vérifiée. Pour confirmer le principe ci-dessus énoncé par un exemple, considérons l’intégrale imaginaiie
danslaquelle y(z)= ^ t -• 'J’ et désignons par
valeur qu’on obtient pour cette intégrale en posant
Dans ce cas , I cquation (19) étant réduite h
deux racines de cette équation deviendront égales à zéro, et correspondront à une valeur nulle de t. Ou aura d'ailleurs évidemment
dt
* + Vi: r(i-f ar VU)
+ iL, i' i + ai'v:; S'
Or, des deux intégrales comprises dans le dernier membre de la formule (64), la première, savoir
est équivalente a la somme des deux suivantes :
' dt - dt
et par conséquent elle a une valeur infinie positive. Donc llntégrale (64) aura elle-même une valeur infinie.
§ 9'. Si, entre les équations (7), on élimine t, on en obtiendra une autre de la forme
(C3) F(xtjr) = o;
Pt , si I on suppose que x et y représentent des coordonnées rectangulaires, l'équation ( 6 . 5 ) représentera une courbe tracée dans le plan des x, y, entre les deux points (ar^, j„), (X , V)*.
* Four abréger, nom indiquons les points à Fable de leurs coordonnées renfermées cn'rc pareu’iicscs, et les lignes droites ou courbes à FniJo de leurs éipialions.
( ai )
Concevons en outre que les fonctions x = tp{t), y = x{l) vérifient les conditions énoncées dans le § 2, c’est-à-dire qu’elles croissent ou décroissent l’une et l’autre depuis t—t^, jusqu'à /= T, Dans cette hypothèse, la valeur de y tirée de l’équation (60), et déterminée en fonction de x, croîtra ou décroîtra généralement depuis x = x^ jusqu’à x =X, et la courbe ( 65 ) sera comprise dans un rectangle formé par quatre droites parallèles aux axes, savoir celles qui ont pour équations
Cela posé , chaque forme particulière de la fonction F ( x, y) fournira une courbe particulière et une valeur correspondante de l'intégrale ( 4 ). On doit même observer que cette fonction peut changer de nature, tandis que x varie, et qu'en conséquence la courbe F(x,y) = o peut se transformer en un système de lignes droites ou courbes, qui parte du point (x^,yg ) pour aboutir au point (X.r). Alors, à chacune des lignes dont il s’agit, correspond une intégrale semblable à 1 intégrale (i4),mais dans laquelle les valeurs extrêmes de x et de j représentent les coordoiiuécs des deux extrémités de cette ligne. Si l’on veut qu’une des lignes en question se réduise h une droite menée du point (^, »i„) au point (^, s), il suflira, pour obtenir l'intégrale correspondante , d’assujettir x et y, considérées comme fonctions de t, à vérifier l’équation
puis d'intégrer, par rapport à entre des limites telles, que les valeurs extrêmes de x et y se réduisent à et ^ et On pourra prendre y par exemple ,
alors l’iiilégrale relative it i deviendra Ob) J'^ ]/[(?.+ -.»'— )(i-O+(H-*v'—)0'"-
Si dans cette intégrale on substitué successivement les variables a: et J à la variable /, elle prendra les formes suivantes :
Enfin , si la droite que l’on considère est parallèle à l’axe des ar, on aura « = », , ce qui re'duira l'intégrale (70) à
( 72 ) r f(^x-\-Tn'\/Z,).dx.
Si, au contraire, cette droite est parallèle à l'axe de j, on aura ^ = et l’intégrale (71) se trouvera réduite à
(73) VZ,Jfa+lVZ,)dj.
En général, concevons qu’une des lignes tracées entre le point (••ro.J,) et le point {X, Y) s’étende du point au point ( ^, » ). Si cette ligne a pour équation
l’intégrale correspondante pourra être présentée sous la forme f
(7^) [*++'(*). ■%/!;]/[* 4-4/(*).vi: J. rf*.
Si, au contraire, cette ligne a pour équation
(76) * = '4 'Cr)*
rintegralc (75) devra être remplacée par la suivante :
(77) [ 'P' C J ) + Vd ] /[ + (^- ) +/;V- ] . dy.
§ 10*. Le système des lignes trace'es entre les points (.r»,
{X, Y) peut être réduit à la droite qui joint ces deux points: ou, ce qui revient au même, à la diagonale du rectangle formé ' parles droites (66). La valeur de l'expression (i 4 ), correspondante à cette diagonale, sera ce que nous appellerons la valeur moyenne de 1 intégrale ( 4 ). Cette valeur moyenne sera évi- ’ demment semblable a l’expression (69) ^ et représentée par l’intégrale
( 7 ®) X t + (K— J,) vi: ] /[ (X. +y, yz) ( I — 0 -H CX+ryz) t ]dt.
Si, à la diagonale du rectangle ci-dessus mentionné, on substitue, 1° le système des droites
(79) y=Ji>y X=X,
qui coïncident avec deux côtés de ce rectangle ; 2» le système des droites
qui coïncident avec les deux autres côtés ; on obtiendra, dans l'un et l’autre cas, & la place de l’intégrale (78), une somme de deux intégrales semblables aux intégrales (72) et (73). Les deux sommes ainsi formées , savoir :
(«0 f(.^+J‘VZ.)dx f{X+yVZ,)dj,
et
(«») 7 ^. + yzf^ A^.+jv^r)dy,
sont ce que nous nommerons les valeurs extrêmes de l’lnt(^grale ( 4 ).
§ II. Concevons maintenant que l’on veuille comparer entre elles deux valeurs de l’integrale ( 4 ) correspondantes à deux lignes droites ou courbes très-rapprochées l’une de l'autre, ou, ce qui revient au mfme.h deux fonctions peu différentes successivement substituées k la fonction F{x,y). En vertu du principe établi dans le § 3, ces deux valeurs seront égales, si la fonction y'( x ) ne devient jamais infinie pour
des valeurs des coordonnées x, y, l'elatives k des points situés sur les courbes que l’on considère, ou entre ces mêmes courbes. Si le contraire a lieu, s’il arrive, par exemple, que des points renfermés entre les deux courbes aient pour coordonnées les quantités réelles comprises dans quelques racines de l’équation (iq), la différence entre les deux valeurs de l’intégi-ale ( 4 ) sera déterminée par la formule (Gi). Enfin, si quelques racines 3e l’équation (iq) sont relatives k des points situés sur les deux courbes, la différence entre les deux valeurs de l’intégrale ( 4 ) sera ou infinie ou indéterminée. Ajoutons que, dans le dernier cas, la formule ( 6 i) continuera de subsister, si, aux intégrales repré.scntées par -j- 7?' VZ» B" , on substitue
leurs valeurs principales, et si l’on réduit k moitié celles des
constantes f, , f. qui correspondront aux points dont il
s'agit. 11 est encore essentiel de rapfiellcr que, dans la formule ( 6 i), le signe placé devant cbaque produit de la forme
(S3) aTrf.Y'” on T f ^
sera — ou suivant que la différence aura une valeur positive ou négative. Si, pour fixer les idées, on suppose t < T, la différence ( 27 ) pourra être remplacée par la suivante :
î) rfx S'y — /'X.
Or , il est facile de s’assurer que cette différence conservera le même signe pour tous les points compris entre les deux courbes, lowqu’elles ne se traverseront pas mutuellement. Par conséquent, dans cette hypotlièse , tous les produits de la forme (83 devront être affectés du même signe. Si Ion suppose; par exemple, et l’ordonnée de la seconde courbe
■inférieure à l’ordonnée de la première , alors en nommant A< A'' les valeurs de l'intégi^le (4) relative.s
•à la première courbe et k la seconde,' on aura . t ,
•oa, ce qui revient au même , • . .
(85) A" + B'< V“ = >4' 4- B' VC 4- ait ( f. -b f. -1- •••• ) VC .
On devra d’ailleurs, dausla formule (85), réduire les intégrales désignées par A' B’ VZ,, J» - 4 - B'' vC . à leurs valeurs principales, et remplacer les constantes f. ,f. ... par îf, ,îf.-..i toutes les fois que ces constantes correspondront k des points situés sur l’une des courbes, et que les intégrales A' -t- B' vCi-,
ne deviendront pas infinies.
Si l’on voulait passer d’une courbe donnée à une autre qui n’en fût pas très voisine, il suffirait d imaginer une ti'oisièmc -tourbe mobile et variable de forme, que Ion ferait coincidei successiveineut et k devix é|K>quc6 diftérenlcs avec les deux coui'bes fixes. A l’aide de cette considération, on déterminerait la différence, entre les valeurs de l intégrale (4) relatives aux deux coiu’bes fixes, et l’on prouverait que celte différence ( cfnaad elle conserve une l'alettr finie) est la somme des terrrus de Informe 4: 2 ir rvii T 7“' correspondent à des points renfermes entre les deux courbes , et des termes de la forme ± ir f y/Z , correspondent à
des points situés sur Tune délies. La proposition precedente s étend au cas où chacune des courbes serait remplacée par un
système de lignes droites ou courbes, formant un, contour qui ' partirait du point pour aboutir au point (X,Y), et
subsiste lors même que de pareils contours ne seraient pas renferme's dans le rectangle figuré par les droites (6b). Dans ce dernier cas, chaque système de lignes droites ou courbes fournirait toujours une somme d'intégrales semblables à l’intégrale (i+). Mais cette somme, d’après les conventions admises, cesserait de représenter une valeur particulière de l’intégrale (4).
§ 12. Si, à l’aide des principes que nous venons d’exposer, on détermine la différence entre les deux sommes (8i) et {82) , c’est-à-dire entre les valeurs extrêmes de l'intégrale (4), dans le cas où celte différence conserve une valeur finie, on trouvera
=Jl + vz r f(x.+jvz')‘fy
+ ( f. + f.-l ') 'VZ,,
tes termes f., f. . . . étant relatifs à celles des racines de l’équation (19) dans lesquelles les parties réelles restent comprises entre les limites .r,, X, et les cofficiens de y/Z, entre les limites J., Y. Ajoutons que l'un de ces termes, pris au hasard , devra être réduit à moitié, si, dans la racine correspondante, la partie réelle se confond avec l’une des quantités x,„ X, ou le coefQcie.nt de vli avec l’une des quantités Dans la
même hypothèse, celles des intégrales comprises dans la formule (86), qui deviendront indéterminées, devront être réduites à leurs valeurs principales.'
Si l’on fait J pour abréger,
( 87 ) A ï= an-(f,4-f,4-...)
l’équation (86) deviendra
(88) j; A^+j VZ)djr
— S /(•*+^V^)<^JC +VC f f{x.Aryy/Z,)dy-\-£^.
L'iéqaation (88) coïncide avec l’une des formules générales que }"ai données dans le Journal de l'Ecole royale Polytechnique et dans le Bulletin de la Société Philomathique de novembre 1822. Ellesubsiste nomseulementpour des valeurs réelles, mais encore pour des valeurs imaginaires de la fonction f{x'), et peut toujours être remplacée par deux équations réelles que l'on obtient en égalant dans les deux membres, 1° les parties réelles^ • 2“ les coefficlens de VT, . Ajoutons que , pour éviter toute incertitude sur la valeur des notations employées dans le calcul, il faut, dans l'équation (88), choisir la fonction f{x) de telle manière que l'expression conserve une valeur
unique et reste complètement déterminée pour toutes les valeurs de X et de y comprises entre leslimites des intégrations. Cette condition peut être remplie , dans le cas même où /(jc-hyVIi) renfermerait des logarithmes ou des puissances irrationnelles de quantités variables , c'est-à-dire des expressions de la forme
(89) (u+ v vz y, i(u + '" vz) ,
fl désignant une quantité réelle, et u, v deux fonctions réelles et déteripinées des variables x,y. Effectivement, les expressions (89) satisferont à la condition requise, si la quantité u reste positive pour toutes les valeurs de x et y comprises entre • les limites des intégrations, et sîl'on adopte les conventions que nous avons admises dans le Cours d'analyse algébrique et dans les précédens mémoires. En vertu de ces conventions, la notation arc tang ^ est toujours employée pour désigner le plus
petit arc (abstraction faite du signe) dont la tangente soit <*gale 11 et les notations (8g) pour représenter les expressions imaginaires
(«‘-t-’'*)*[cos (^arciangi)+'\/I| sin (/«arctangp], J /(u'+i>*)+Vn»'‘ci®»'6;»
On peut encore considérer la notation
{u+vvr.y*''^-' >
dans'laquelleAet désignent des quantités quelconques, comme représentant une fonction unique et complètement déterminée, toutes les fois que la quantité variable u reçoit une valeur positive. En effet, comme , dans cette hypothèse , on aura généralement
« + 1, y- = e' ^ on sera naturellement conduit h la formule
qui suffira pour fixer complètement le sens de l'expression comprise dans son premier membre. Si l’on suppose en particulier U = O, on trouvera , pour des valeurs positives de -v,
{vvz,y*'‘'^~ =
j cos[rA-|-in/(î;)] + Vi; ain [ï A -f / (v) ] } , et, pour des valeurs négatives de i/, .
— M/(-v)]-Vr;*n [î A — M / (- v) ] ] -
Lorsque la fonction /( x yi^) s’évanouit pour x = «, quelque soit r, alors en prenant .
C'ag)
x, = o, X=(X>, jr, = o, y=oo, on tire de l'équation (88)
C9®) fi^+^VZ)dx==J'J^f(x)dx~‘\/Zj'^ f{7VZ,)dj~^
Si l’on pose dans celle-ci
m désignant un nombre quelconque, on en déduira deux équations réelles qui comprendront, comme cas particulier, une formule de M. Laplace , savoir :
( 9 *) •-/] ^~^’w»-aèx.dx= e ^ e~“°' djc = i it rè~*‘.
Lorsque la fonction /(x-HjVn) s’évanouit pour j=oo, quel que soit a: , alors , en prenant
Xo = o, X=a, y = co,
on tire de la formule (88)
( 9 ^) 7 ^ = X{f{‘»+jrVZ)^fU VZ)]dj.
Si l’on pose dans celle-ci ,
b désignant une quantité positive, et si l’on remplace ensuite dans le second membre y par | , elle fournira le moyen de convertir les intégrales
>008 ixdx, ^ Ç (x) .siu ix dx J
en d’autres intégrales de la forme
J. +CÎ)«-*^
Pour obtenir des valeurs très-approchées de ces dernières, lorsque le nombre h sera considérable, il suffira de développer
les fonctions 'l' (f ), • • • en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes, entières ou fi’actionnaires, du rapport
On n'aura plus alors à calculer que des intégrales semblables à celles que M. Legendre désigne par la lettre r, c’esl-à-dire , de la forme
et qui sont déterminées, pom* des valeurs entières de n , par l’équation
r (n ) = I .a . 3 .. . (rt — i).
remarque que l’on vient de faire est très-utile dans la théorie des ondes, ainsi que je l’ai montré dans les nouvelles notes ajoutées au mémoire qui a remporté le prix.
Lorsque la fonction /( x V~) s’évanouit pour x = d: oo , quel que soit^, alors en prenant
[x. = — 00 , X=,cc, r^b,
on tire de l’équation (88)
(9^) y*’ fC.^ + l>VZ)dx =
Si l’on suppose, par exemple,
/(x) = (i-xvz:)*-'«-'-,
a dësiguant un nombre rationnel ou irrationnel, A deviendra nul, et l’on obtiendra une formule que j’ai donnée dans le Bulletin de la Société Philomatluque, et qui renferme, comme cas particulier, l’équation (91).
Lorsque la fonction /(x+^ VC) s’évanouit pour * = « , quel que soit y, et pour j' = oo , quel que soit x, alors, en posant
