ADDITION
Nous avons remarqué [page 35] que les formules (io3), (io 4 ) fournissent les valeurs de presque toutes les intégrales définies connues, et d'un gi-and nombre d’autres. Nous allons indiquer ici quelques applications de ces mêmes foi-mules.
Si Ion désigne par a et r des quantités positives, par m un nombre entier, et par f (.r) une fonction telle que l'expression ((x+j-yz.) ne devienne point infinie pour des v.ileurs positives de y, on tlrei-a de la formule (io3)
pourr <i
” 'te-')
fCx)
ffÆ)
~ djc xa-~ IC C(o) ,
pour r> I ,
et de la formule (io4)»
(ü. /" i^^iTfCo), (7)/f ^^+!ï::f)Lx=„f(-0.v--
‘^o ttyzi JC a (r4^Æ /-jr5
° a *■+/•• aV^ x‘+r‘~Z
f /-* f(x) + f(— x) r^/x iTr,/^ ,,
y. ^ — :^.=4[f(')-f(-'-)jv-.,
I r” fW— f(— —‘^rrr'Lir' m
î dx = -a.r(V-) , ..c -
' uw-ïVH^iW + ïvr; 5
Si, dans l’équation ( 7 ), ou pose r=i, f(x)=(— xV^)""' » trouvera
(-vc)-//^*- +( VT. )*-•// ( vc;)* ,
puis, eu multipliant les deux membres par (— V^i )* * ayant égard à l’équation
{-Vr,Y
on aura
= (eo5: -y" «nî )*''■’
; sili air + y, cos ait ,
r* ^ (Ix .
(i\nart+yZcosait)J^ —
et par suite
(la)
dx
dx
= cos AIT
I — jt ” i-^x taiig ait ‘
La formule (la) a t^tc donnc^e par Eulor. La formule (i 3 ) a pour premier membre une inlrgrale définie dont la valeur générale est indéterminée. Mais, dans le cas présent, cette intégrale doit être réduite h sa valeur principale, que l’on peut transformer de manière à faire coïncider l'équation (12) avec une autre équation établie par l'illustre géomètre qu’on vient de citer. Si dans les formules (8) et (9J on pose f(x) = e"*'~’ , on obtiendra les suivantes :
^ ,, ; rota,r . ^ “ X fin ax , ..
('<) / — Tl — Tdx=. J — — rfx =-e“" ,
^ ' «Xo Æ-t-e '-'O x 4 -; 2
^^rcosax , ir , ^^x^xnûx ir
/ rfj; sm ar , / — rfa; = -
xJ „ X * — f 2 ' %j 9 X — /* a
La formule (i 4 ) a été donnée par M. Laplace. On en tire, en réduisant /• à zéro , l’équation
(iG)
• sm ax , 'ft ■■■. ax = —
qui est elle-même un cas particulier de la formule (6). Les formules (i 5 ), données pour la première fois par M. Bidnne, géomètre italien 4 sont de la même nature que la formule (i 3 ), et
fournissent les valeurs principales des intdgrales quelles renferment. Mais il est facile de transformer ces valeurs principales en intégrales définies, dans lesquelles la fonction sous le signe f cesse de devenir infiniment grande pour des valeurs particulières de la variable. Ainsi, par exemple, en posant r = i , on tire de la première des équations (l."})
I X' 2\ Xj 2\ X J X' 1 2
Si dans les formules (5) et (ii) on pose f(x)=-(, — ^ a désignant toujours une constante positive , on trouvera
[ I — e dx 2ir V-.
pour r<i ,
•vr;
y-» t(r—xVZ.') X
pour r> X ,
et
Z' 7 ( ' — ) — si" f^xJ (x) dx
On tirera encore des formules (i), ( 2 ), (6), (8) et (y), en désignant par a, b, r, s, des quantités positives,
\ / r — X VZi
J'j—vzr' ‘ ( ■+ î v: );
dx
= awr—
(aa) ' r JC—' sin/ £2^ — — ;-r— ■e-**’,
y; *- 5În(^ix)^^ = îr-cos(Ç-
^ (^CC ir
J a *>n( flsinèx) “ 2 >
e*"'‘* Mn(fl8inèj:)
“ ''a • jc*+r* a ’
Si, dans les formules (20) et (21), on pose «=i, A=xo, on en conclura
fl. '(.+5VO,-^:^=../(,+;),
et par suite
puis, en difl?rentiant n— i fois par rapport à r.
J- (r-rVr^- - (^+x VZ)- -^ U') ( ' n
De plus, si dans les équations (y) on' remplace f{x) par ^(*+jVC^), on en tirera
etc.
Ajoutons que, si l’on , pose r=i et s=i, dansla seconde des formules (29) , on en de'duira sans peine celles qui suivent :
Z' * y “ .rdx
( 3 i) (arccotx)* 2 arceotx-^ = ir/(2).
X arc ung-— - arcUogo;
Il peut an’ivep . en TCrtu de ce qui a été dit ( page 36), que les formules (i), (2),etc. , subsistent dans certains cas nù la fonction f(a:+jVIi) deviendrait infinie pour des valeurs positives de y. C’est ce qui aura lieu en particulier pour les formules (8) et (9) , si, a étant < ô, f (*) se réduit au quotient de sin a® ou cos ax par sin àx ou cos 6x. Alors on trouvera '
cos ax rdx coibx «•q-r’
cos ax xdx sin bx **-+■/■'
ir
p'^smax xdx n e"— e“"
sinéx a:‘4'r* 2 ’ .
y*sinflx xdx .
J ^ co»bx x*+r* »
Ces dernières formules, que j'avais données dans le mémoire de 1814, en y remplaçant x par l’unité, ont été citées par M. Legendre dans le rapport fait sur ce mémoire, et dans la 5 * partie des exercices de calcul intégral.
On pourrait, aux exemples qui précèdent, en ajouter une infinité d’autres. Je me contenterai d’en indiquer quelques-uns. Si l'on représente, comme ci-dessus, par a, b, r, s , des quantités positives ; si, de plus, on désigne par 9 un arc renfermé entre les limites o, -n-, et par (.r) une fonction rationnelle de la variable x\ on déduira sans peine de la formule (lo'l) les valeurs des intégrales
— rx y/ZX) . <? {.t)dx , J Jt [r»in 6 +{r cos 0 — x) V~] • 9 (^) < ***'"“ y(.ryar, X'
'0+ÏV-).v(*Vo.,
yi, « <f(x)dx, V{^)dx,
K^+re ) 9 {x)dx, fl O*'*'-' / ( I ) y (:c) dx ,
r' cosax , , , sin rtj; , . J r“ cos <sx /\j
J J V>(x)rf.r, etc.
COS bx ^ • sm bx
et par suite les valeurs des intégrales
v(*)rfa:, j^^coibx.tf{x')dx, bx .<f{x) dx ,
arc lang ; . 9 (x) da: , J' ave cal x . <o (x) dx ,
IQ"! — ^rx cos9-f--®*)‘ '? arc ung — V (•*) dx ,
J' e" CQi{ai\nbx)<f (^x)dx , ^ c‘’'*‘*^sin (flsinijc) 9 (x) dx.
yi.^o 4- a r cos bx +r‘) , y (x) dx are tang
y; x--'sm(^~bxyj^!ù±p^dx,
r sin bx I 4- rcosbx
• ip (^) dx ,
dx ,
file....
Nous observerons, en finissant, que les constantes renfermées dans quelques-unes des intégrales ci-dessus déterminées doivent être resserrées entre des limites telles que les valeurs de ces intégrales restent finies. Ainsi, en particulier, on reconnaîtra sans peine que la constante a doit rester comprise entre les limites o et i , dans les formules (12) et (i 3 ), et entre les limites 0,2, dans les formules (22), ( 23 ) , (26). Ajoutons que , dans plusieurs formules, on pourra remplacer des constantes supposées réelles par des constantes imaginaires: Par exemple , la constante a peut devenir imaginaire dans les formules (12),' (i 3 ), (22), ( 23 ), (afi). Seulement la partie réelle de a doit alors être renfermée entre les limites que nous venons d’indiquer.
mninmiB o'flxrroLTTB rntutOf»
rue de le Harpe, no
