etc

f[9(f,Q,r..'^+y^diP,Q.r..)]dr

Ainsi la différence entre deux somines de cette espèce pourra être facilement déterminée k l’aide des principes; établis dam le paragraphe ii.

Si l'on réduit les variables p, ^, r, auk ideux suivantes la somme <i6&) deviendra

dp

fb>{P>r.) + \rr,x{p,r.)]dp I

( P.-/ ) ] /[y ( P, r) + v::x( P. r )]dt.

Si , dans cette dernière formule , on échange entre elles les vâria-

somme qui, étant compa-

bles /J, r, on obtiendra une nouvelle somi rée à la précédente, fournira l’équatioh'’'

-^Jiiî ; ; l.MT, . !

il :i

A étant composé de termes relatifs à celles des racines de l’équation (19), qui représentent des valeurs particulières de l’expression imaginaire

correspondantes h des valeurs de p renfermées entre les limites />,, P, et à des valeurs de q renfermées entre les-limiles q^, Q. L'équation (170) co'incide avec la formule générale que j’ai donnée dans le 19* cahier du Journal de l’Ecole royale Polytechnique [page 574 ]• On en déduit immédiatement celles que j’ai rapportées dans les pages SyS et suivantes du môme cahier, et dans le Bulletin de la Société Philomatique de 1822. Sj l’on fait en particulier

/( />> O = ^ ^ + V” sin /') »

l’équation (X70) deviendra

Jr. •/.O'’ ^Sf.

/ )rfr-!-Vr, +

et l’on aura

(17a) ■ A = — airCf. + f. + ^OV^i

les termes f, , f, . . . étant relatifs aux racines de l’e'quation (19) qui peuvent reprcsentei’ des valeurs de l’expression imaginaire

r(cos/j-f- VCI si»/»)

correspondantes k des valeurs de r comprises entre les limites r. , R, et k des valeurs de p comprises entre les limites p,, P. Si, dans l'équation (171), on pose

r, = 0, iî=i, p. = o, P =

on en tirera

(* 73 ) S f/( 04 -/(— r) ]<</•=— Vi; S —

ou , ce qui revient au même ,

(‘"4) S )^P — VZ S A-VC;.

Cette dernière formule , que j’ai donnée dans le Bulletin de la Société Philomatique, comprend, comme cas particulier , une équation du môme genre que^. Vernier a démontrée k l’aide du développement en série. i Si l’on supposait

r. = 0, R=i, p. — — P=.-K, on tirerait des formules (i7i)et(i72)

ou, ce qui revient au même,

« PV-*

dp = ir [f.+ f,+... ]

La formule (17a) coïncide avec l’équation (17) des additions au dernier de» mémoires insérés dans le 19* cahier du journal de l'École Polytechnique. De phis, si l’on désigne par r, , r. . . .

celles des racines de réqualion^r^ = o, qui ont pour valeur numérique ou pour module un i^ombre inférieur à l’unité, et si, dans la formule (176), on remplace f{z) par on en

conclura

chacune des constantes f , , f,,... devant être réduite à moitié toutes les fois que la racine correspondante aura l'unité pour module. Enfin , si dans l’équation précédente on écrit au lieu de on en tirera

Soit maintenant s une quantité positive ; et f (ar) une fonction de X, choisie de telle manière que l’expression

Cf rK-i.

f(ra )

reste finie et continue entre les limites r=o , r=f, /? = — „, P ='it. Si l’on pose successivement

/w=(ïiî- 7 r 7 )'W-

on tirera de l’éqaation (178) I® pour 5 < I,

O 1—35 COS 2/> + i* 2 ^ ,

* 1 — scosnp ’)4-f(«

• i—as cos a/? 4- i’ I . I ' > a 2* pour 5 >1,

s siii sp ' ') —

“ aV-:

— >rv-

“ 1 — ascos 2/>4 -s’

r\ i —scosap jie' ‘)+r(tf~ ^

i-'. r-i-co-fiï — ^ '''' =,

On trouverait, au contraire, en réduisant s à l’unité, et la première des intégrales^ (179) ou (180) à sa valeur principale.

• P « ,-cdso/» . -aV”’>

Les équations {*79), (180), (i8i)^péuvé*ft être 'déduites dü-etteincnt du théorème de Mi Parseval «ur la sommulion des sé-

ries. Elles s’accordent avec une formule donnée par M. Guillaume Libri dans le tome 28 des Mémoires de l'Academie des Sciences de Turin, et avec celles que noos avons insérées, M. Poisson et moi, dans le Bulletin de la Société Philomatique de 1822. Si l’on remplace dans ces équations la lettre s par la lettre r, et si l’on y pose successivement

on retrouvera précisément les formules de la page 3y.

J- 17. Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que des intégrales simples. Mais les principes que nous avons établis sont également applicables h la détermination et à la transformation des intégrales doubles ou multiples, prises entre des bmites réelles ou imaginaires. Nous ne nous étendrons pas ici sur cet objet, que nous nous proposons de développer une autre fois, et nous terminerons le présent mémoire en indiquamt l'usage de quelques-unes des formules que nom avons obtenues dans le problème relatif à la propagation des ondes.

§. 18. Concevons qu’un liquide pesant soit renfermé dans un canal très étroit , et que l’on prenne pour axe des x la droite horizontale qui marque dans ce canal le niveau naturel auqotd le liquide s'élève. SupposiMis de plus que t désigne le temps, et qu’à l'instant où l’on compte < = o, on fesse naître le mouvement, en altérant le niveau, de manière que l'ordonnée verticale correspondante a l’abcissc x devienne

On pfbuviéhà'sahs peine ^ù‘àu bout d’un temps quelconque / ,

la même ordonnée sera déterminée par l'équation . - , .

(i83) ^ <).cosf«(jr— ar). F(»)

[voyez le Recueil des Mémoires couronnés par. l’Institut , concours de i8i5, page 3n J. Si, dans la formule précédente, on pose

[(a— ar)-y

et, si l’on fait , pour'abréger ,

[(r — sr)']*

on trouvera

(>S4) tt.cos J’* /T).cosa.*. F(g-) ‘la-tlvr

Pour calculer cette dernière valeur de y, il faut d'abord déterminer, au moins par approximation , l’intégrale

'i8j) a . C0S(2 P* Ct').CO5 0t*,<i<t.

On y parviendrait facilement, si la quantité P devait toujours conserver une très petite valeur numérique. Alors il suffirait de développer cette intégrale en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de P, et de réduire la série obtenue , savoir.

(apy

' etc...

a 4 « 5.6 ‘0.7.8.9.10 [voyez la page iSa du Mémoire sur la Théorie des ondes, inséré

dans le recueil d<^jk,cité ] k xjn petit nombre de termes , en négligeant les autres. Mais, comme, pour des valeurs croissantes de t, P croît au-delk de toute limite, ainsique les différents termes delà série, le moyen dont nous venons de parler est le plus souvent impraticable , et l'on ne peut s'en servir généralement, ni pour déterminer la valeur approchée de l'intégrale (i85>, ni même pour trouver des limites entre lesquelles cette intégrale demeure comprise. Heureusement l'équation ((j4) permet de transformer l'intégrale dont il s’agit en une autre dont le calcul ne présente pas les mêmes difficultés. En effet , si l'on pose dans cette équation *

A s’évanouira ; puis , en écrivant dans les deux membres la lettre a au lieu de x et de j, on trouvera

e-“'dx.

et par suite

(l 87 )^y acosa.*.cos««.<i«= etsin«*.»ina5l.<fet — «.cosx'.e^"' dx ,

et»in«*.cosaet.</ct = — etcosa'.sîuaa.rfct-l-^^ *sln ,

D’ailleurs on tire de l’équation ( 161 ), en y posant f(x) = e~‘\

/o " ^=~vr J.

On aura , en conséquence ,

• , i-pVZ w* .

e dx= -

VT

puis, én ÊiisÀtit jci=:o^+î, on en conclura

i+VCJ

Si maintenant on diffe'rentie par rapport k la quantité a , l'on aura

en.) r

flca sxnaa.acL

--Lzzy^j

OU, ce qui revient au même,

«.in<**.8iiiaaM/«î= JLl /"cos^+sin^ \

Cela posé, les formules (187) , (i88) deviendront

(' 93)^ “ »‘.COSflOt f/x=: —

* cos

et la première donnera

/’-a).cnsx*f^ci.= ^ ^ ^cos- + gin^^‘

a e. cos d* f/ct ,

11 csl aise de s'assurer que l intt^grale comprise dans le second membre de l'cquation pre'cddente est sensiblement nulle , pour de gi’andes valeurs de P, et que, dans tous les cas, sa valeur numérique est Inférieure h celle de l’intégrale

aJr

Ajoutons qu’il suffit de remplacer et, par n~ pour faire coïncider la formule (igi») avec l’équation ( 7 ) de la page 180 du mémoire sur la Théorie des ondes.-