EXPOSITION

I . Lorsqu'on applique les formules de la Géométrie analytique à la solution de divers problèmes, de ceux de Mécanique par exemple, on éprouve souvent le besoin d'en avoir l'interprétation détaillée, et de connaître, pour ainsi dire, toutes les raisons géométriques de leur composition. Cette connaissance n'intéresse pas moins la Géométrie pure, car elle conduit ordinairement aux démonstrations les plus simples et les plus directes de ces formules et des théorèmes dont elles sont l'expression, en même temps qu'elle fixe complètement leur sens.

f ) Les lignes courbes non comprises ^ans un même plan ont été successivement étudiées par Clairaut (Recherches sur les courbes à double courbure, in-4**> '73i)j qui a fait adopter le nom sous lequel on les désigne ordinairement (déjà employé par Pi tôt dans un Mémoire sur la quadrature

J'ai eu à faire une étude de ce genre sur les principales formules de la théorie des lignes courbes non planes, à l'occasion de recherches sur l'équilibre des verges élastiques. J'en présente le résultat dans la première partie de ce Mémoire. Je ramène surtout les démonstrations à des considérations de projections, soit de lignes, soit d'aires infinitésimales formées sur les éléments consécutifs de ces courbes. Cette considération me paraît féconde, et j'en donne, parla suite, plusieurs autres applications.

Dans une Note renvoyée à la fin du Mémoire (Note 1), j'appelle l'attention sur quelques particularités qui intéressent la mécanique des solides, et qui peuvent en même temps servir à fixer la terminologie relative aux deux affections principales des lignes dans l'espace, dérivant des inclinaisons mu-

d* une courbe j Acad., 1724)9 et qui a donné les équations ou expressions des projections de ces courbes, de leurs tangentes, de leurs normales , de leur arc , etc.; par Monge [Mémoire sur les dévc- * loppées, les rayons de rourbure, etc., présenté en 1771 et inséré au tome X, 1785, des Savants étrangers, ainsi que dans son Application dé l 'analyse à la géométrie) , qui a donné les équations et expressions da plan normal, du centre et du rayon dit de première courbure, des développées, des droites dites pçlaires et de la surface développable formée par leur ensemble , du centre de la sphère osculatnce, enfin un caractère pour reconnaître les points de '\imple inflexion, où la seconde courbure est nulle , et ceux de double inflexion, où c*est la première courbure qui s'anéantit ; par Tinseau [Solution de quelques problèmes relatifs à la théorie des surfaces courbes et des courbes à double courbure, présenté en 1 7749 Savants étrangers, tome IX, de 1 780), qui a considéré , le premier, le plan osculateur et la surface des tangentes d'une courbe donnée ; par Lacroix [Calcul différentiel)^ qui a rendu, le premier, les formules symétriques en y introduisant les différentielles des trois coordonnées ; par Lancret , ingénieur des Ponts et Chaussées, mort à trente-trois ans en 1807 [Mémoire sur les courbes à double , courbure, lu le 26 avril 1802 et inséré en i8o5 au iomtlàe!& Savants étrangers deTInstitut; Mémoire sur les développoïdes, inséré au tome H du même Journal) , qui a donné Fexpression de ce qu'on appelle la seconde courbure, en faisant voir qu'elle est indépendante de la première, et que l'angle infinitésimal qui en dépend est celui des éléments plans consécutifs de la surface développable formée par les tangentes à la courbe ; qui a donné la position des génératrices de la surface rectifiante formée par des plans perpendiculaires aux rayons de courbure , les inclinaisons mutuelles de ces plans ; par MM. Cauchy, I*îavier, Duhamel, qui, dans leurs cours à l'École Polytechnique (publiés en 1826, en i84o> en i84i) » ont simplifié les calculs ou généralisé les formules. On peut encore citer M. Vallée [Géométrie descriptive, 1819), auquel plusieurs remarques importantes sont dues; M. Th. Olivier [De la courbure et de la flexion d'une courbe à double courbure, 28 mars i835, 24* cahier du Journal de l'École Polytech' nique) y qui a donné des expressions générales pour Phélice et pour la sphère osculatrices, et démontré que l'on ne peut pas obtenir, en général , avec une hélice^ un contact d'un ordre supérieur à celui du cercle osculateur; enfip l'illustre Fourier^ qui a communiqué verbalement à Lancret une propriété intéressante, mais souvent mal énoncée (conune Ta remarqué M. Transon, Bulletin de la Société philomatique, 3 août i844> ou journal l'Institut), de Paréte de rebroussement de la surface polaire.

SUft LES LIGNES COURBES NOK PLANES. 3

tuelles de leurs éléments et de celles de leurs plans osculateurs successifs. Les noms,de^xion, de torsion, qui leur sont donnés par quelques auteurs, me paraissent devoir être rejetés comme susceptibles d'amener de la confusion et de méprises, car ces mots désigneront souvent tout autre chose, dans la statique des verges courbes, que les deux affections en question, ou que les changements qu'elles éprouvent. Les expressions /^remîèr^ et seconde courbure n'ont pas ces inconvénients," mais elles en ont d'autres qui déterminent plusieurs auteurs à les repousser; aussi je propose aux géomètres un mot nouveau pour la deuxième affection, en réservant pour la première celui de courbure.

Dans la seconde partie, je déduis analytiquement, des formules de la première, d'abord quelques résultats dus à Lancret, puis un certain nombre de théorèmes et de résultats nouveaux. Les calculs relatifs aux lignes courbes dans l'espace, et aux surfaces qui ont avec elles des rapports intimes, se présentent ordinairement avec une très-grande complication, et Lancret semble reculer (*) devant le développement de l'un d'eux, effectué depuis d'une manière heureuse par Navier (**). Tous ces calculs deviennent faciles, même dans le cas général où l'oil fait varier la différentielle de l'arc comme les autres, au moyen d'un certain choix de notations abréviatives qui. répondent géométriquement à quelque chose, et en se faisant d'avance un tableau de formules de transformation et de réduction. Je donne dans une Note (Note II à la fin) ce tableau, facile à dresser, mais fort utile. Il me sert à donner des expressions simples des coordonnées du centre de la sphère osculatrice, pour lesquelles on n'avait encore que les formules compliquées de Monge (***), et des expressions nouvelles, très-simples aussi, du rayon de cette sphère ainsi que de l'angle qu'il fait avec le rayon de courbure. Je domie encore une expression simple de la plus courte distance de deux rayons de courbure consécutifs, un théorème sur la position des points où ]?k petite ligne qui la mesure coupe ces rayons, et qui, par leur ensemble, forment la courbe de gorge ou de striction de la surface gauche composée

(*) Art. XI de son pœmier Mémoire.

(**) Leçons d'Analyse, 2!è^.

(***) Mémoire sur les défeloppées, etc.. XXIV.

avec les rayons de courbure. Ces points sont aussi des centres* de courbure de la surface développable appelée rectifiante par Lancret, et qui contient elle-même tous les centres de courbure de la surface développable. formée par l'ensemble des tangentes à la courbe donnée. Je donne aussi les équations des génératrices rectilignes de la surface rectifiante, qui sont les axes de cônes osculateurs à la surface des tangentes; les angles que ces droites forment deux à deux, la position des points oii elles se rencontrent, les longueurs et les directions des éléments de la courbe des centres de courbure, de la courbe des centres de la sphère osculatrice, appelée par Lancret désfehppéepar le plan (*) , de F arête de rebroussement de la surface rectifiante, etc. Dans la troisième partie, qui peut être lue séparément, je donne des démonstrations simples et purement géométriques des résultats obtenus analy-

tiquement dans la deuxième. Plusieurs formules du tableau sont aussi vérifiées et interprétées géométriquement à la fin de la Note II.