PREMIÈRE PARTIE

Démonstration des formules fondamentales . Définitions et notations.

2. Une ligne tracée dans l'espace n'a, en général, ses éléments successifs ni dans la même direction, ni dans le même plan. Il y a inclinaison mutuelle, non-seulement des éléments, mais encore des plans que forment les éléments pris deux à deux.

Soient donc M, M', M'', M'^ une suite de points de cette courbe non plane; * x^ y^z les coordonnées du premier; X -\- dx, y 4- dy^ z -\- dz celles du second, etc.; ds = \/dx'-hdy'-{~dz* l'élément MM';

(*) Je ne m'occuperai pas des développées par le fil, qui ont été suffisamment étudiées ; on sait que la courbe des centres de courbure d'uneiigne non plane n'est pas une de ses développées.

— l'angle infiniment petit de deux éléments consécutifs MM', M'M'^, ou, ce

qui revient au même, des deux tangentes menées aux points M, M' dont la distance est ds\ angle qui doit bien être proportionnel à ds si la courbe est continue, quand, le point M restant fixe, le point infiniment

voisin M' varie, et qui peut être, en conséquence, exprimé par le rap-

port de ds à une ligne finie p ;

— l'angle, aussi infiniment petit et proportionnel à ds^ du plan MM' M'' de

ces deux éléments, et du plan M'M'^^M'^, ou Tangle des deux plans osculateurs à la courbe, aux points M et M'. ' On peut déterminer, de la manière simple qui suit, les deux afiëctions

~ 5. ^ de la courbe non plane , et les autres particularités relatives à son

point M, en fonction des différentielles des coordonnées de ce point.

3. Construisons un parallélogramme infinitésimal MM'M'^'N [PL I, Jig. i ) sur les deux premiers éléments MM^ M' M", et cherchons les aires de ses projections sur les trois plans coordonnés.

Comme les deux côtés MM', MN adjacents en M ont pour projections sur les trois axes, le premier dx^ dy^ dz^ l'autre dx + rf^x, dy^d^y^ dz-+-d^z. on aura •

pour les projections de la petite diagqnale M'N sur les mêmes axes.

Soit mnini^n la projection du parallélogramme MM'M^N sur le plan xy^ par exemple. Son aire, que nous (cherchons, est la même que celle d'un autre parallélogramme mnlnp construit sur le. côté mnl et sur la petite diagonale m'n; elle est, par4:)onséquent, égale à la différence de celles de deux autres parallélogrammes /7/^^^, mrrîrq formés sur des lignes égales et parallèles à mm\ et sur les deux projections m'r = d^Xy tn = d'^y de rrin^ parallèlement aux X et aux j; car, si Ton ajoute, au premier /^/^rgr de ceux-ci^ le petit triangle mqp^ et si Ton. retranche le triangle égal mV/^, on a précisément la somme du second parallélogramme mm'rq et de celui mm'np^ dont ?îOus voulons avoir Taire. Les deux parallélogrammes /?/îr</, mrrirq^ dont* on vient de voir que celui-ci est la différence, ont respectivement pour aires dxd^yy et dyd^x^ puisque l'on peut prendre leurs petits côtés pour leurs bases. Donc la projection, sur le plan xy^ du parallélogramme MM'M^N des

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deux éléments consécutifs de la courbe , a pour superficie

±:{dxd^y — dyd^x).

On aura de même

± {dyd^ z — dzdy) , ± {dzd^ x — dxd^ z)

pour les projections de ce parallélogramme infinitésimal sur les deux autres plans coordonnés yz et zx.

Les signes hors des parenthèses ne peuvent être déterminés qu'autant que Ton a choisi, entre les deux faces opposées du parallélogramme MM' M" N, celle dont on veut avoir les projections, et que l'on a fixé aussi la situation respective des coordonnées a;, y^ z. Supposons, comme à l'ordinaire, qu'en se plaçant à l'origine, dans l'angle trièdre des trois demi-axes positifs, on voie, sur le plan ay, le demi-axe des x à gauche et celui des j à droite, et, sur les deux autres plans, y à gauche et z à droite, z à gauche et ^ à droite. Le premier des trois binômes entre parenthèses aura constamment une valeur positive lorsqu'en se plaçant en m sur la projection mninl^n dont ce binôme donne l'aire, et à l'intérieur de l'angle trièdre, on verra non à sa gauche et mn à sa droite; on le voit sur la figure, qui représente le cas où les quatre différentielles dx^ dy^ d^x^ d^y soçt positives, et l'on peut s'en assurer ,.si l'on veut, pour tous les autres cas, en faisant tourner mnim'^n de toutes les manières possibles autour A^m sur son plan. Semblable chose peut être dite des deux autres binômes entre parenthèses, quels que soient, du reste, les signes et les rapports de grandeur des différentielles qui y entrent.

Supposons donc' que Vaire du paraUélogramme MM'M'^N non projeté soit constamment prise du côté de son plan, oîi [•on voit à gauche le premier élément MM', et à droite la parallèle MN au second élément, en se plaçant en M, les trois binômes entre parenthèses auront des valeurs positives quand une normale au plan, élevée de ce côté-là, se projettera positivement sur les trois axes, c'est-à-dire précisément dans- le cas oii les trois projections de l'aire sur les plans coordonnés seront positives.

H faut, par conséquent, prendre toujours les trois signes supérieurs.