PREMIÈRE PARTIE

Description générale et théorie des roms verticales à aubes courbes^ mues par-dessous.

i. L* Jig. t, PI. 1"., représente une roue verticale à aubes courbes, disposée de façon à éviter, autant qu'il est possible, le choc de Tcau et la perte de vitesse qui a lieu d’ordinaire après qu’elle a agi ; ces aubes sont encastrées, par leurs extrémités, da'ns deux plateaux annulaires, A la manière des roues à augets , sans néanmoins recevoir de fond comme celles-ci ; elles peuvent être composées de planchettes étroites lorsqu’on les exécute en bois ; autrement elles doivent être d’une seule pièce , soit de fonte de fer, soit de tôle , et alors on peut se dispenser de les encastrer dans les plateaux annulaires , en y adaptant des oreilles ou rebords cloués ou boulonnés sur ces plateaux. Dans certains cas , on trouvera plus à propos de supprimer les anneaux et de les remplacer par des systèmes de jantes , ainsi que cela se pratique ordinairement pour les roues eu dessous : les aubes courbes devront alors être soutenues par de petits bras ou braçons eu fer, dont la partie inférieure soit boulonnée sur la jante après l'avoir traversée ; le reste du braçon , plus mince et plié suivant la courbe qui sera examinée plus loin , desTa être percé , de distance en dbtance, de petits trous pour recevoir les clous ou boulonnct» destinés à fixer l’ailette. Dans le cas dont il s’agit il sera d’ailleurs utile, pour l'cfTct^ de placer des rebords en saillie sur les ailettes, suivant le g'stèmc de Morosi: ces rebords pourront avoir de a à 3 pouces j mais il sera préférable, sans contredit , de fermer entièrement les côtés des aubes par des platicbcs ou feuilles de tôle mince , qui prendront très-peu de place dans le coursier et seront soutenues par les jantes et les courbes.

a. Voici maintenant les principales dispositions du coursier et du vannage.

Le coursier BC est incliné ici an ù , dans la vue de restituer à l’eau la perte de vitesse occasionnée par le frottement contre les parois j son inclinaison peut , sans inconvénient , être beaucoup moindre lorsque la lame d’eau est épaisse ou que la vitesse est petite comme il arrive dans la plupart des cas.

la MÉMOIItE SUR LES ROUES A AUBES COURBES.

La laideur du coursier doit être égale , ou , ce qui vaut mieux encore , un peu moindre que celle des aubes de la roue. A cet effet, il convient de creuser dans les parois latérales des rcnfonccmens circulaires REC (Jig. i, a et 3), propres à recevoir les anneaux et une portion des aubes de la roue : il doit exister le moins de jeu possible entre les nouvelles parois et les anneaux \ enfin , il faut pratiquer un ressaut ou seuil FF à une certaine distance au-delà du plan vertical [Kissant par l'axe de la roue , afin de donner du dégagement à l'eau après sa sortie des courbes; le coursier doit en outre être élargi {Jig, a) le plus possible aux enviions de ce seuil, dans. la vue de faciliter davantage ce dégagement. Quant à la retenue ou tête d'eau 60, il est nécessaire de l'incliner en avant , de façon à rapprocher le pertuis de la roue , et ,■ sous ce rapport , il conviendrait peut-être aussi , quand les parob de ce pertuis sont très-larges, de placer là vanne BR en dehors , en la composant d'une feuille de tôle forte, ou d'une plaque de fonte mince, glissant avec peu de jeu dans une feuillure pratiquée sur les joues du coursier : la manœuvre peut s'effectuer aq mojen d'un cric ou de toute autre manière.

Nous reviendrons plus tard sur ces diverses dispositions , quand nous anrons établi , par la théorie et l'expérience , les données particulières de la question : il nous suffit , quant à présent , d'en avoir donné une idée générale.'

3. Pour établir la théorie de la roue dont il s'agit, nous admettrons que Peau, en sortant du pertub, prenne une vitesse dont la direction soit, à peu de chose près , tangenticlle à la circonférence de cette roue : de sorte que , si l'on suppose le premier élément de la courbe des aubes tangent luimême , ou à peu près tangent à cette circonférence , il n'y aura pas de choc sensible lors de l'entrée de l'eau dans la roue. L'eau glissera donc le long de cluque courbe , suffisamment prolongée , avec une vitesse relative égale à sa vitesse propre diminuée de la vitesse uniforme de la roue, et s’élèvera, en pressant la courbe , a une hauteur sensiblement égale à celle qui répond 4 cette vitesse. Par conséquent, si le seuil F ou ressaut du coursier est tellement placé que le bord inférieur de la courbe y soit précisément arrivé au moment où l’eau va parvenir à sa plus grande élévation , celle-ci redescendra le long de la courbe , en la pressant de nouveau , et s'échappera par la partie inférieure avec une vitesse relative sensiblement égale à celle qu’elle possédait en y entrant, et qui aura pour direction celle de l’élément inférieur de cette courbe. Quant à la vitesse absolue conservée par l'eau , elle sefa égale à la différence de sa vitesse relative le long de la courbe et de la vitesse pro]^

r*. PARTIE, DESCRIPTION GÉNÉRACE ET THÉORIE. l3 de la roue , puisqu’on peut encore supposer ici le dernier e'iément de la courbe sensiblement tangent à la circonférence de cette roue : or , pour qu’il n’y ait point de force perdue , il faudra , comme on sait , que cette vitesse absolue soit nulle.

D’après cela, nommant V la vitesse de l’eau à fendroit du coursier où elle commence à monter sur la roue , U la hauteur duc à cette vitesse , m la masse d’eau écoulée pendant une seconde , g la gravité , enfin v la vitesse uniforme que doit prendre la roue, V — v sera la vitesse relative avec laquelle

Peau s’élèvera le long de la courbe , et i sera la hauteur à laquelle elle

parviendra le long de cette courbe: d'après ce qui précède, elle acquerra de nouveau , en descendant le long de cette même courbe , la vitesse V — r; ainsi (V — v) — »»=V — a r sera sa vitesse absolue au sortir de la roue : cette vitesse devant être nulle pour la production du maximum d'effet , on aura V-; — a*’=o, d’où c’est-à-dire que la roue devra prendre la moitié

de la vitesse *du courant, précisément comme cela a beu, d’après la théorie, pour les roues à aubes ordinaires.

II est d’ailleurs évident , d’après le principe des forces vives , que la quantité d’action fournie par la roue sera alors Üiéoriquemcnt égale à mgÜ , c’està-dire à celle que possède l’eau à l’instant de sou entrée dans les courbes j ce qu’on peut constater directement ainsi qu'il suit (’’).

4. Le mouvement de la roue étant supposé parvenu à Puiiiformité, et P étant rclfort constant exercé à sa circonférence, lequel peut toujours être censé représenter un poids égal élevé par une corde enroulée sur un tambour de même diamètre que la roue, Pv sera, dans l’unité de temps, la quantité d'action qui correspond à cet effort ; celle qui aura été dépensée pendant le même temps par la chute sera d’ailleurs ainsi m^ll — Pv sera la' quantité

d’action totale communiquée au système. D’un autre côté , la vitesse absolue qui reste à l’eau après avoir agi sur la roue , est , d’après ce qui précède , V — 3 v : donc la force vive qu’eUe aura acquise au bout du temps en question, sera m (\ — et par conséquent on aura, d’après le principe des forces vives, m(\ — as>)’=a(mgfll — Pv): »

(*) Le lecteur qui délirerait de plni amplei explicatious lur l’applicatiort du principe dei Ibrcei Tires aux roues hydrauliques, les trouvera dans les excellentes notes de Y Arc/iinutan Hydraulique de BiUdor, tome t»., liv, a, chap. I, rédigées par Al. Nairier. •

l4 MÉMOIRE Sük LES ROÜES A AUBES COURBES,

d’où l’on tire,

Vv=mgM —

ou , à cause de Y*=a^II ,

Pr=:2m(\^ —

Telle est la quautitc d’action thcoriquemeut transmise à la roue dans runit^ de temps, lorsque son mouvement est parvenu à runiformité. En la diflë.* rcnciant par rapport à ou trouve, comme ci-dessus, pour la vitesse qui correspond au maximum d’elTet, v=îV, et la quantité d’action communiquée à la roue dans ce cas est

Pf=m—

c’est-à-dire qu'elle est égale à la quantité d’action totale possédée par l’eau ellemême , ù l’instant où elle entre dans la roue.

En nommant D la dépense d’eau dans une seconde, exprimée en volume, et observant que g'=9“,8o9, on aura, comme on sait, 7n^=ioooD“-j d’après quoi, les formules ci-dessus, qui expriment la quantité d’action transmise à la roue , deviendront , pour le cas d'une vitesse quelconque v.

IV=^D(V-r.>=ao3,894DO-v>,

et pour le cas du maximum d’elTet ,

P»'=ioooDH.

Les pressions ou cHbrts exercés , dans les mêmes circonstances , à Pextréinité du rayon de la roue, seront ainsi respectivement.

P = 1 oooD = t oooD - = 1 0 1 ,947 D V .

D'après cela , on voit que , théoriquement parlant , i". la roue dont il s’agit produira un effet double de celui des roues en deious ordinaires, et égal au plus grand de tous les effets possibles ^ 3". la pression ou l’effort exercé sur la roue sera pareillement double de celui qu’éprouvent les roues en dessous , pour les mêmes vitesses , avantage précieux dans tous les cas où la résistance à vaincre

I”. PARTIE, DESCRIPTION GÉNÉRALE ET THÉORIE. l5

au départ est considérable ; 3°. enfin la vitesse de la roue qui répond au maximum d'efTet sera moitié de celle du courant , et par conséquent la même que celle qu’indique la théorie pour les roues à palettes ordinaires.

5. Différentes Circonstances empêchent que les choses se passent tout-4-faii ainsi dans la pratique : il convient donc de les examiner avant d'aller plus loin , tant pour connaître leur influence respective sur les résultats , que pour en déduire des règles sur la meilleure dispoâtion à donner aux diverses parties ♦ du système.

La théorie qui précède suppose en effet q\ie l’eau entrera dans la roue sans choquer les courbrâ , et qu’elle en sortira avec une vitesse dirigée en sens contraire de celle que possède la circonférence de la roue ; or, ces deux conditions sont trèa-difliciles à réaliser en toute rigueur dans la pratique ; ou peut même dire qu’elles s'excluent réciproquement.

La dernière exige en effet que la courbe des aubes se raccorde tangentiellement avec la circonférence extérieure de la roue, et pour satisfaire à Fautre, il conviendrait d’incUner son premier élément d'une certaine quantité par rapport ê cette circonférence.

Considérons , par exemple (Jtg- 4) , AI®* quelconque ah de la lame d’eau , et proposons-nous de rechercher quelle doit être la direction du plan bd pour que ce plan ne reçoive aucun choc de la part du filet fluidé abf a cet effet, partons la vitesse V de ce filet de h eu c , dans la direction de son mouvement , et pareillement la vitesse correspondante v de la circonférence de la roue de h en cf, sur la tangente en h & cette circonférence; la droite cd ou sa parallèle b d exprimera évidemment (*) la direction à donner au plan pour remplir le but proposé. On voit doue que l’angle dbd du pbn et de la circonférence de la roue doit être encore très- appréciable , et qu’il varie i®. avec la position particulière du filet fluide ab f a°. avec le rapport des vitesses t' et V; 3°. enfin avêc U grandeur de la circonférence de lu roue.

6. Relativement à la position particulière du filet fluide à l'égard de la lame d’eau dont il fait partie, on voit que l'angle dbd devra être nul pour le filet inférieur de cette lame , et qu'il sera le plits grand possible pour le filet supérieur, dans une même roue et pour les mêmes vitesses r' et V. Supposons , par

C*) On peut, en efl«ty conrid6rer la V ou bc de l*cau comme composé de

deux autres, dont Pune bd est celle p que la maue fluide prendra en commun avec 1a circonlerence extérieure de la roue, et dont la aeconde néccasairemont dirigée suivant U parallèle bd k cd^ ne pourra ainsi agir pour presser ou choquer U courbe.

l6 MEMOIRE SUR LES ROUES A AUBES COURBES,

exemple, que l'arc embrassé par la lame d’eau du coursier soit de a5°, ce qui convient en particulier au cas où cette lame aurait une épaisseur de a5 centim. et la roue 5 met. de diamètre ; l'angle cbd correspondant au filet supérieur sera donc aussi de a5°; et, si l'on prend pour la vitesse v celle qui convient au maximum d’efiet , elle sera sensiblement' égale à i V ; or, on conclut de ces valeurs respectives, par le triangle bcd, que l'angle c* bd supplément de bdc, est d’environ 47° 5 c’est donc entre o® et 47° que devra se trouver l’angle d’inclinaison moyctmc le plus convenable pour le plan b d} en prenant a4° pour cet angle , on ne s’écarterait probablement pas beaucoup de l'inclinaison qui donne le minimum du choc ; du moins , on peut s’assurer directement que là perte de forces vives due à ce eboe serait alors peu de chose relativement à la force vive totale possédée par l’eau.

Nommons en effet a l'angle t/iti que forme la tangente bd avec la direction de la palette plane supposée dans une position quelconque^ puis b Fangle c2><2formé par cette même tangente avec la direction du filet fluide fre; la force vive perdue pourra être censée proportionnelle à J’épaisseur de la lame d'eau qui choque directement le plan bd, et au carré de la différence des vitesses V et v, estimées suivant la perpendiculaire à ce plan , c’est-à-dire à [y sin. (a-b) — V sin. a^* : m étant la masse totale de fluide qui s’écoule dans Punité de temps, celte force sera moindre que m [Vsin. (a-b) — vsin. a]’, puisque cette expression suppose qu’en général la masse d'eau dépensée m choque le plan bd sur toute la hauteur qu'elle occupe dans le coursier, circonstance qui arrive tout au plus pour la position où l’extrémité inférieure b de ce plan atteint le fond de ce coursier. Or, en donnant à é et a les valeurs ci-dessus îV, a4°, et faisant varier Panglc b ou cbd depuis zéro jusqu’à sa limite à5°, on trouvera que les valeurs de la formule précédente demeurent comprises entre O et o,o5mV*. I.a force vive perdue par l’effet du choc n’est donc pas meme le È de la force vive m\' *, possédée par la masse d'eau afll^cntc , et il est probable que moyennement elle n'est pas la moitié de cette quantité , toujours dans les hypothèses précédentes , qui sont défavorables , puisqu’il arrive rarement , dans la pratique , que la lame d’eau choquante embrasse la roue sous un arc de plus de aS® (*).

On remarquera , d'après l'eapressioa trouvée cî-deslua , que , dans certaines positions de la paleue plane id, la pression de l’eau peut devenir négative, ctest-à-dire agir en sens contraire du mouvement de la rouet or, ai l'on te reporte aux aultes courbes , on reoonnaitra aisément que cet cQét n’a lieu que pour une très-petite portson

r*. PARTIE, DESCRltTIOÎI GÉ?fÉRALE ET'TnÉORlE. 17 Dans réiat -actuel d’imperfection de Phydraiilique, il serait, je crois, trèsdinicile d’estimer en toute rigueur la force vive perdue par le choc dans la question qui vient de nous occuper 5 les raisonnemens qui précèdent pourront suffire pour en assigner grossièrement les limitas, et pour rassurer sur les effets qu’on aurait été tente d’attribuer à ce choc.

■ 7. Recherchons maintenant la perte de force vive qui résulterait de ce que l’eau, au Keu de. sortir de la roue ta'ngentiellement à sa cireonfërencc extérieure, s’en échapperait sous f angle de s4“ adopté ci-dessus pour fin- ' clinaison du premier clément des courbes. La vitesse absolue, conservée par l’eau après sa sortie de la roue,' sera évidemment la ré.suliautc de la vitesse *'=;;V de cette roue, et de sa vitesse propre le long des courbes., vitesse que nous Supposons ( 3 ) différer peu de la première : or, ces vitesses formant un angle de i 50 ”, supplément, de 34“, auront évidemment pour résultante la vitesse a ccos. j i 56 “=tV sin. ia"=o,ao8 V5 donc la force vive ronscrvcc par feau après sa sortie des courbes, et par conséquent perdue pour l’effet, sera égalé à m (0,308 V)’=o,o 433 mV’ ou au i environ de la force vive totale pos-^ sédée paé feati avant qu’elle ait agi sur la roue ; cette perte , jointe à celle qui est due an choc , d’après ce qni précède , ne s’élèvera pas comme on voit, à 0,07 mV’, quantité encore assez jictito relativement aux autres causes de perte inséparables de toutes les espèces de roues hydiauliques. La perte en question diminuerait d’ailleurs avec l’amplitude de Tare de roue embrassé par la lame d'eau afUuentc; mais alors aussi fangle formé par le premier élément de la courbe avec la circonférence de la roue pourra être moindre que 34”, tel qu’on Pa supposé précédemment.

Ces divers raisonnemens , qu’pn peut répéter sur d'aptres exemples , montrent l'influence de la- détqrminadon de l'angle en question sur la perte de forces vives, soit à l’entrée de feau dans la roue , soit à sa sortie : on voit que cette influence est en général plus grande pour le second cas que pour le premier, de sorte qu’il y aurait moins d’inconvéniens à diminuer cet angle qu’à fagrandir ^

4« leur étendu» à pertir de U. drconlereBoe extérieure de le rouet non-eeulement donc In lame d*eau qui cHoque cette^ partie aéra une fraction trèe>petite de la lame totale de l*eau introdnite dane le courrier , de sorte que Timpreedon normale sera extrêmement &ible, mai* encore le bras de levier de cette impreseiony par rapport au contre de la roue y aéra beaucoup moiztdre qiie ie rayon qui repréaente le bras de levier moyen de l*impreasion totale ou de Pelïoct tan^ntiel exercé aur cette roue« Cette iupreaiion eat donc tout^fait à négliger poui la pratique.

l8 MÉMOIRE SCR LES ROCES A ACRES COURBES.

mais comme , d'un autre coté , son agrandissement facilite l’accès de Fean dans les courbes et diminue le choc qui s'exerce contre leur partie inferieure ou convexe , en sens contraire du mouvement de la roue , il. conviendrait d'adopter un juste milieu^ ce qui ne parait pas facile sans recourir à l'expérience. Cependant, il est permis de croire qu’on ne s'éloignera guère de la meilleure disposition, en adoptant pour l’iuclinaisou du premier élément des courbes , sur la circonférence extérieure de la roue , un angle d'environ la moitié de celui qui rend ■ nul le choc de l'eau , à l'instant où cet élément j pénètre. Cet angle est d'à peu près a4", comme nous l'avons vu (6), pour le cas où la lame d’eau embrasr serait la roue sons un arc de a5°. . ,

Eu général, ou peut s'assurer, soit par la construction du n*. 5, soit par

Téquation V sin. (a — b) — vsin. a=o, ou sin. (n — b) — ^î^^-^ = o,à cause

de (' = iY, laquelle exprime qu'il n'y pas de choc, on peut s'assurer, dis-je, que l'angle d'inclinaison dont il s’agit est un peu moindre qûe celui qui répond i l'arc de roue embrassé par la lame d'eau j mais ce dernier augle est précisément égal à l'angle formé en E par le filet supérieur DE de l’eau avec la circonférence extéiieiire de la roue, lequel, à son tour, est égal à l'angle A EK de la perpendiculaire EK à ce filet èt du rayon AE répondant au point E; donc on pourra prendre pour l'inclinaison des courbes , sur là circonférence de la roue , un angle un peu moindre que celui A E K dont il s’agit.

8. Ou pourrait justifier le choix de cet angle par d'autres considérations encore que nous passerons sous silence, pour ne pas trop alonger, et que le lecteur devinera sans peine avec un peu de réflexion. Quant à la forme même de la ' courhe des aubes, il semble résulter du principe de la conservation des forces vives , qu'elle est jusqu'à un certain point arbitraire, pourvu qu'elle soit continue ét qu'elle présente sa concavité au courant ; mais il u’en est |>as de même de sa hauteur au-dessus de la circonférence extérieure de la roue ou de la largeur des anneaux ^ cette hauteur doit être assez grande pour que l'eau afiQuente puisse pcixlre toute sa vitesse en montant sur l’aube.

Nous avons vu (3) que la vitesse d’arrivée de l’eau sur les courbes était V — v ,

et qu’elle s’y élevait à peu près à la hauteur — j elle est donc variable avec

la vitesse v de la ixùie , et la plus grande possible pour le cas où la roue est

immobile; cette hauteur étant alors — , on voit qu’il faudrait donner anx ’ -

• r*. PARTIE, DESCRIPTION GÉNÉRALE ET THÉORIE. ^9

conrbes une haulear presque égale à celle de la chute , si Ton voulait profiter de toute la vitesse de l’eau à l’instant du départ de la roue j mais comme celte dimension des aubes serait souvent exorbilanle çl inexéculable dans la pratique , que d’ailleurs on peut , sans beaucoup d'inconvéïiiens , sacrifier une pitrüe de l’efTel de la chute à l’instant dont il s’agit, nous croyons qu’il suflira, dans la plupart des cas , de se borner à donner aux courbes la hauteur qui correspond à la vitesse v=iV du maximum d’effet.

L’expression ci-dessus de cette hauteur devient alors j c’est-à-dire qu’elle

est précisément le quart de celle de la chute totale. Pour les chutes au-dessus de 3 mètres, on jugera quelquefois convenable , par motif d’économie , de s’en, tenir à celte proportion, tandis* que pour les chutes beaucoup plus petites, on pourrg sans inconvénient l’augmenter, en la portant, par exemple, au tiers ou meme. à la moitié de la hauteur totale de chute. On devra donc, à cet égard, se régler sur le genre de construction qu’on se propose d’admcllre, et d’aprèi la nature des matériaux qu’on veut y emploj’er, sans oublier qii’il y a toujours un certain avantage attaché à l’agrandUscmeot des courbes ou des anneaux qui les contiennent; car, outre qu’il arrive souvent, dans la pratique, que la vitesse des roues s'éloigne plus ou moins de celle qui répond ait maximum d’effet, ôn a encore à craindre, en restreignant la’ hauteur des courbes, de diminuer la force d’impulsion de l’eau au départ de la roue. Au surplus , si l’on adopteune disposition telle qu’au moment où l’eau s'élève au-deSsns des courbes, sa direction ou celle du dernier élément de ces courbes soit à peu près perpendiculaire à la direction dn mouvement de la roue , la perle d’effet qui résultera de ce que Peau abandonne les aubes, sera peu de chose, puisqu’elle cesserait alors de les presser, et qu’en retombant, elle agira de nouveau par son poids et sa vitesse acquise snr l’eau inférieure. '

9. D’après toutes ces considérations, et pour la facilité de Texécution, nous nous sommes arrêtés au tracé suivant des courbes. Ayant mené un rayon quelconque kb (Jig. 4). roue et déterminé la largeur b b' des anneaux qui doivent renfermer les aubes, largeur qui doit être au moins le quart de la hauteur totale de chute , on mènera , du point b de la tirconfcrence extérieure , une droite bo inclinée sur le rayon A b , vers la vanne , d’un angle A bo égal on un peu moindre (7) que l’angle A E K formé par la perpendiculaire E K âu filet supérieur DE de la lame d’eau qui doit être introduite dans Ife coursier, avec la direction AE du rayon qui répond au point E où ce filet rencontre la circonfe-