Mémoire sur les surfaces elastiques;
Les travaux des géomètres du dernier siècle ont porté la mécanique générale à un degré de perfection qui a fait regarder cette science comme terminée, et comme ne laissant plus à vaincre que des difficultés de calcul intégral, dans chaque problème particulier. Cependant il n’en est pas ainsi, et la mécanique présente encore plusieurs questions importantes , que l’on n’a pas su jusqu’ici assujétir au calcul : la théorie des surfaces élastiques, que je me propose de considérer dans ce Mémoire, en offre un exemple remarquable. Les équations différentielles de ces surfaces en équilibre, et à plus forte raison celles de leur mouvement, ne sont pas encore connues, si ce n est dans le cas particulier où il s’agit d une surface cylindrique, qui rentre alors dans la classe des lames élastiques ordinaires. Jacques Bernouilli est, comme on sait, le premier qui a donné l’équation d’équilibre de la lame élastique, en se fondant sur cette hypothèse, que l’élasticité, en chaque point, est une force normale à la courbe, dont le moment est proportionnel à l’angle de contingence, ou en raison inverse du rayon de courbure en ce point. Depuis ce grand géomètre, plusieurs autres, et principalement Euler et Daniel Bernouilli, ont publié un grand nombre de
^vccvnuM i.v\ H.DEUiE SCIEX7.RÎ V ni roRIXO /
2 MEMOIRE
Mémoires sur les conditions d’équilibres des lignes élastiques ët sur les lois de leurs vibrations ; mais il n a paru que quelques Essais infructueux qui aient pour objet les surfaces élastiques, pliées à-la-fois en deux sens differents. Ainsi Euler a donné, dans les Mémoires de Petersbourg, des recherches sur le son des cloches, où il s est borné a considérer isolément les vibrations de chacun des anneaux circulaires dont une cloche est composée ; ce qui réduit la question à celle des simples lignes élastiques, et conduit d’ailleurs à des résultats qui ne sont nullement d accord avec 1 expérience. On trouve encore dans le même Recueil, annee 1788, un Mémoire d’un autre Jacques Bernouilli, écrit à l’occasion des expériences de M. Chladny sur les vibrations des plaques sonores. Ce géomètre considère une plaque rectangulaire comme composée de deux systèmes de lames parallèles aux côtés du rectangle, qui vibrent comme s’ils étaient collés l’un à l’autre, et sans se gêner mutuellement. En partant de cette supposition, qu Euler avait déjà faite relativement aux vibrations des tambours, M. Bernouilli forme 1 équation aux différences partielles qui doit servir à déterminer les petites oscillations de la plaque sonore ; puis il remarque lui-même que les conséquences qui s’en déduisent ne sont pas entièrement d’accord avec les expériences de M. Chladny; et, en effet, on verra dans mon Mémoire que cette équation 11’est pas la véritable, et quelle manque d’un terme que l’auteur ne pouvait pas trouver d apres son hypothèse.
11 y a environ cinq ans, l’Institut proposa pour sujet de prix, la théorie des vibrations des plaques sonores, vérifiée par la comparaison avec l’expérience ; mais depuis cette époque on n’a reçu qu’une seule pièce digne de l’attention de
la Classe. Au commencement de ce mémoire, l’auteur anonyme donne, sans démonstration et sans qu’on puisse savoir comment il y a été conduit, une équation fondamentale qui renferme le terme dont manquait celle de M. Bernouilli. A l’exemple de ce qu’Euler a fait par rapport à l’équation des lames vibrantes, l’auteur de la pièce satisfait à l’équation qu’ir a posée, par des intégrales particulières composées d’exponentielles, de sinus et de cosinus. Chacune de ces intégrales détermine une figure particulière de la plaque vibrante, qui présente un certain nombre et une certaine disposition de lignes nodales; le son que la plaque fait entendre dépend, en général, du nombre de ces lignes, et l’intégrale établit un rapport entre ce nombre et le son correspondant. L’auteur calcule, d’après ce rapport, le ton relatif à chaque figure; puis il compare le ton calculé à celui que donne l’expérience pour une figure semblable : il trouve un accord satisfaisant entre ces deux résultats, de sorte que l’équation fondamentale dont il est parti, et à laquelle nous parviendrons directement dans ce Mémoire, peut, dès-à-présent, être regardée comme vérifiée suffisamment par l’expérience. Cette comparaison est la partie de son travail qui a motivé la mention honorable de la Classe : elle porte sur un grand nombre d’expériences de M. Chladny,et sur beaucoup d’autres qui sont propres à l’auteur de la pièce que nous citons. Il y aurait une autre espèce de comparaison bien plus difficile à entreprendre, qui serait relative à la figure produite d’après une manière donnée de mettre la plaque en vibration. On pourrait aussi desirer que les résultats du calcul fussent déduits de l’intégrale générale, et non pas de quelques intégrales particulières de l’équation des
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plaques vibrantes : malheureusement cette équation ne peut s’intégrer sous forme finie, que par (les intégrales définies qui renferment des imaginaires; et si on les fait disparaître, ainsi que M. Plana y est parvenu dans le cas des simples lames, on tombe sur une équation si compliquée, qu’il paraît impossible d’en faire aucun usage.
Tels sont les seuls travaux sur les surfaces élastiques qui soient venus jusqu a-p résent à ma connaissance. Cette théorie est une de celles qui méritent le plus l’attention des géomètres, puisque d’une part elle se rattache à la mécanique générale, par la recherche des équations différentielles de l’équilibre et du mouvement, et que d’un autre côté elle comprend, comme application, une des branches les plus étendues et les plus curieuses de l’acoustique. C’est uniquement sous le premier de ces deux rapports que j’ai considéré la question dans le Mémoire que je communique aujourd’hui à la Classe,et où mon but principal a été de parvenir, sans aucune hypothèse, aux équations d’équilibre des surfaces élastiques dont tous les points sont sollicités par des forces données.
Ce Mémoire est divisé en deux paragraphes. Le premier est relatif aux surfaces flexibles et non élastiques dont M. Lagrange a déjà donné l’équation d’équilibre dans la seconde édition de la Mécanique analytique. Je parviens à la meme équation par un moyen différent, qui a l’avantage de montrer à quelle restriction particulière elle est subordonnée : elle suppose en effet chaque élément de la surface également tendu en tous sens ; condition qui n’est pas remplie dans un grand nombre de cas, et cjui serait, par exemple, impossible dans le cas d’une surface pesante et inéga-
lement épaisse. Pour résoudre la question complètement, il a fallu avoir égard à la différence des tensions qu éprouve un même élément dans deux sens différens ; on trouve alors des équations d’équilibre qui comprennent celles de la Mécanique analytique, mais qui sont plus générales et aussi beaucoup plus compliquées.
Dans le second paragraphe, je considère les surfaces élastiques, et je détermine, pour chacun de leurs points, l'expression des forces dues à l’élasticité. Cette qualité de la matière peut être attribuée à une force répulsive qui s’exerce entre les molécules des corps, et dont l’action ne s’étend qu à des distances insensibles; la fonction qui en représente la loi doit donc devenir nulle ou insensible, aussitôt que la variable qui représente les distances a cessé d'être extrêmement petite; or, on sait que de semblables fonctions disparaissent en général dans le calcul, et ne laissent, dans les résultats definitifs, que des intégrales totales ou des constantes arbitraires, qui sont des données de l’observation «-est ce qui arrive en effet dans la théorie des réfractions et mieux encore dans la théorie de l’action capillaire, l’une’ des plus belles applications de l'analyse à la phvsiqne qui soit due aux geometres. Il en est de même dans la question présente, et c est ce qui a permis d’exprimer les forces dues a élasticité de la surface, en quantités dépendantes uniquement de sa figure, tels que ses rayons de courbure et leurs différences partielles. Ces forces étant ainsi déterminées il m a ete facile de former l’équation d’équilibre de la surface e astique au moyen des équations trouvées dans le premier paragraphe. La même analyse aurait pu s’appliquer à des
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surlaces dont l’épaisseur varie suivant une loi quelconque : mais, pour ne pas compliquer la question, j’ai seulement considère le cas d’une épaisseur constante. L équation a laquelle je suis parvenu suppose en outre, que la surface dont il s’agit est naturellement plane; elle ne convient pas aux surfaces élastiques, telles que les cloches, par exemple, dont la forme naturelle est courbe ; la théorie qui m’a guidé ne saurait s’appliquer à ces surfaces, sans quelque modification dont je ne me suis pas occupé.
Par les principes connus de la mécanique, j’ai déduit de l’équation d’équilibre de la surface élastique, l’équation de son mouvement, et en admettant toutes les limitations que les géomètres ont adoptées dans les problèmes des cordes et des lames vibrantes, j’ai trouvé, pour les plaques vibrantes, une équation linéaire a quatre variables, qui ne différé pas essentiellement de celle du mémoire anonyme que j’ai cité plus haut.
Dans un autre Mémoire, j’appliquerai les mêmes considérations aux lignes élastiques, à simple ou a double courbure , d’une épaisseur constante ou variable suivant une loi donnée ; ce qui me conduira d’une manière directe et exempte d’hypothèse , non-seulement à leurs équations d’équilibre, mais aussi à l’expression des forces qu’on doit appliquer à leurs extrémités, pour les tenir fixes et balancer l’effet de l’élasticité.
§. I er .
Équation d’équilibre de la surf ace flexible et non élastique.
(i) Je considère une surface formée d'une matière parfaitement flexible, dénuée d’élasticité, et dont tous les points sont sollicités par des forces données. Je la suppose aussi inextensible, ou du moins très-peu extensible ; de manière que 1 extension qu elle peut subir n’altère pas sensiblement son épaisseur, laquelle peut d’ailleurs être constante ou variable d’un point à un autre de la surface. Les forces qui lui sont appliquées étant données, je me propose de trouver son équation d équilibré.
Pour cela, soient x, y, z , les coordonnées d’un point quelconque m de cette surface, rapportées à trois axes rectangulaires, choisis arbitrairement. Décomposons suivant ces axes, toutes les forces qui sollicitent ce point m, et désignons par X, Y, Z, les composantes dirigées respectivement suivant les coordonnées y, z, et tendantes à les augmenter. Si ces composantes proviennent de la pesanteur, ou d autres forces d’attraction ou de répulsion qui agissent sur tous les points de la matière dont la surface est composée elles seront alors proportionnelles à son épaisseur, et les quantités X, Y, Z, renfermeront, dans leurs valeurs, un acteur égal à (épaisseur qui répond au point m; elles en seront au contraire indépendantes, lorsqu’elles proviendront
ni. force extérieuie, telle que, par exemple, la pression a un Wuide sur la surface.
Partageons la surface en éléments infiniment petits, par
8 MÉMOIRE
des plans perpendiculaires à celui des x, y, les uns parallèles au plan des x, z, et les autres au plan des y, z : l élément qui répond au point m sera, comme on sait, exprimé par k dx dy, en faisant, pour abréger,
dy ■
et comme dans l’étendue de cet élément les quantités X, Y, Z sont censées constantes, il s’ensuit que les forces motrices qui lui sont appliquées, seront égalés a X, Y, Z, multipliées par k dx dy, ou à
X k dx dy, Y k dx dy, Z k dx dy.
Mais, outre ces forces, il en existe d’autres qui naissent de la liaison de l’élément que l’on considère avec ceux qui lui sont adjacents, et auxquelles il est nécessaire d’avoir égard.
En effet, dans l’état d’équilibre, chacun des éléments dont la surface est composée, est tendu par des forces inconnues, dirigées dans le plan même de l’élément, et qui agissent en sens contraires à ses extrémités opposées; ainsi les quatre côtés qui terminent l’élément quelconque k dx dy, sont tirés du dedans au dehors par des forces comprises dans le plan tangent au point m : nous les supposerons, de plus, perpendiculaires à ces côtés ; mais, pour embrasser tous les cas qui peuvent se présenter, nous n’établirons aucun rapport particulier entre les forces qui agissent sur deux côtés adjacents , c’est-à-dire, que nous regarderons chaque élément de la surface comme éprouvant deux tensions indépendantes l’une de l’autre; et, effectivement, on conçoit qu’un même
élément pourrait, par exemple, n’étre aucunement tendu dans un sens, et éprouver, au contraire, une tension considérable dans le sens perpendiculaire.
Cela posé, représentons par T, la force qui tire chaque point du coté parallèle au plan dey, z, et adjacent au point m; la longueur de ce côté est dy 1/7 + ?* ; la force totale qui le tire de dedans en dehors sera donc T dy \/ i + q \ Soient *1 Y •> les angles que fait sa direction avec les axes des x > y> z > ses composantes parallèles à ces axes seront
Tdyi/Y+ q '.co$. a, T dy\y i + y.cos.G , T dy \/T+fXOS. y ;
et elles agiront en sens contraire des coordonnées æ, y, z, cest-à-dire, quelles tendront à les diminuer. Or,en passant du coté que nous considérons a celui qui lui est opposé dans le même élément, la variable y reste la même, et la variable * se change a? + dx; ces quantités deviennent donc, relativement à ce second côté,
T dy l/T+7’. cos. a + dx dy . • cos •«)
J dx »
T dy \S 7 +f • oo s. 6 H- dx dy.
T dy l/TT? . cos. y + dx dy . ).
et comme ces trois forces agiront en sens contraire des précédentes, il s ensuit que 1 élément k dx,dy , sera tiré dans le sens des coordonnées x, y, z, par des forces
IO
MEMOIRE
dx dy rf (' IV ■ + ?’•«»•«)
J dx 7
dx dyS Ii£Z^if2£d) )
^ dx 7
qui devront s’ajouter respectivement aux forces données.
X k dx dy y Y k dx dy , Z À* dx dy.
Représentons de même par T', la force qui tire en chacun de ses points le second coté adjacent au point m, lequel est parallèle au plan des x y z, et égal en longueur à dx\/ i h -p'y désignons aussi par «! , é', y, les angles que fait sa direction avec les axes des coordonnées : nous trouverons, par un raisonnement semblable au précédent, que l’élément k dx dy , est encore tiré par des forces agissantes dans le sens des coordonnées x, y, z, et respectivement égales à
dx dy . </( — vy ~ r + F'- cos - J)
Maintenant si l’on ajoute ensemble les forces qui tirent l’élément k dx dy , parallèlement au même axe et dans le même sens, il faudra, pour l’équilibre de cet élément, que les sommes soient égales à zéro; supprimant de plus le facteur commun dx dy y on aura les trois équations :
d { Tl/i + y 1 . COS. cl)
. d(T'l/T+p .cos. et')
dx
djr *
d ( T 1/ 1 q. q* . COS. 6 )
. V/ i+p’ . cos. g')
dx
+ dy
+ cos. y)
. d{T .cosy')
dy —
qui- devront avoir lieu dans toute 1 etendue de la surface et qui seront ses équations d'équilibre.
(2) Pour les développer, il faut y substituer à la place de cos. a, cos. Ç >, cos. y, leurs valeurs, dont la détermination n’est plus qu’une simple question de géométrie.
Soient donc
les deux équations de la droite passant par le point m, suivant laquelle est dirigée la force T : x, y, z, sont les coordonnées variables des points de cette droite, et a et b, deux constantes inconnues qu’il s’agit de déterminer. La direction de la force T est comprise dans le plan tangent au point m, dont l’équation est
il faut donc que les deux équations précédentes satisfassent a celle-ci, ce qui donne cette première* équation de condition
1 —ap — b q = o.
De plus, la droite que nous considérons, est supposée perpendiculaire au côté de l’élément k dx dy, parallèle au plan des y, z, et la droite indéfinie qui est le prolongement de ce côté, a pour équations
MEMOIRE
or, pour que ces deux côtes soient perpendiculaires l’un à l’autre, il fa£ qu’on ait
De cette seconde équation de condition, combinée avec la précédente, on tire *
parconséquent les équations de la direction de la force T, deviennent
. — Lzlî.
D’après les formules connues, les cosinus des angles a, £, y, que cette droite fait avec les axes des coordonnées, sont :
COS. a — — ,
nous aurons donc, en y substituant pour a et b leurs valeurs et désignant toujours le radical \/ i + p'-+. par k,
COS.olz =— cos. 6 = — T~ y - P
k kV'l+q
Onr trouvera de même pour les angles a, g', y , qui se rapportent à la direction de la force T,
, cos.ë^^L,
•r=rcte
SUR LES SURFACES ELASTIQUES. l3
Je substitue ces valeurs dans les équations du numéro precedent; elles deviennent alors
doc dj -°’
d oc
d oc d y
Si Ion élimine les deux inconnues T et T' entre ces trois équations, il en restera une qui ne renfermera plus que les quantités données X, Y, Z, et les différences partielles de z,
LT.' réqUati ° n générale de surface flexible en équilibré. Ces mêmes équations serviront, en outre, à déterminer les deux tensions T et Tqu éprouvé un élément quelconque de cette surface, en fonctions des coordonnées
ïïst:r sp : nde r Les r,isuitats de «* SO nt
res-compl, q ues dans le cas général; mais, lorsqu’on suppose les deux tensions égales, on trouve pour la sur&J une equatmn fort simple qui mérite une attention particulière.
J: } So,t donc T = T : effectuant les différentiations indiq ees, et ajoutant les trois équations d’équilibre, après avoir
multiplié la première par la seconde par— g, la troisième pari, if vient
-r x -? y + J. [ (1 + f ) g Vf +( ,
MÉMOIRE
en observant que
dp c£z dq dp d'z dq d'z
di — dx' ’ dx dy dx dy 9 dy dy *
Si l’on combine ensemble successivement la première et la troisième, la seconde et la cinquième de ces mêmes équations , on trouve aussi
%'+Zp + ^=:o, Y + Z 9 + g = o;
et comme on a dz =p dx -+- q dy celles-ci donnent.
X dx H- Y dy -+- Z dz dT = o ; (a)
équation qui, à cause de l’indépendance des deux variables a; et y, remplace identiquement les deux précédentes. Or, cette équation présente deux cas distincts a examiner.
10 si la formule X dx + Y dy + Z dz est la différentielle exacte d’une fonction des trois variables x, y, z, regardées comme indépendantes, de sorte que l’on ait identiquement
X dx -+- Y dy -y Z dz = d .f (x f y y £ ) lequation (2) donnera alors
c étant la constante arbitraire. En substituant cette valeur de T dans l’équation (1), elle sera , aux différences partielles du second ordre, l’équation de la surface en équilibre.
2° Si cette formule n’est pas une différentielle à trois variables, il faudra déterminer z de manière quelle devienne une différentielle à deux variables, afin qu’on puisse satisfaire à 1 équation (2). La valeur de z devra donc remplir la condition exprimée par 1 équation
SUR LES SURFACES ELASTIQUES* l5
d (X + Z p) rf(Y-f-Zg) t dj d x ’
par conséquent il faudra que celle-ci s’accorde avec l’équation (i); ce qui n’aura lieu que dans des cas très-particuliers. Donc, en général, il est impossible, dans le second cas, de satislajre à l’équation (2), par aucune valeur de l’inconnue T; mais il n’en faut pas conclure qu’alors l’équilibre de la surface flexible soit impossible : cela prouve seulement que la supposition T = T' 11’est pas permise; car, au moyen de deux tensions différentes, on peut toujours satisfaire complètement aux équations d’équilibre du numéro précédent.
( 4 ) La condition d’intégrabilité de la formule X d x -+- Y d y + Z dz,
n est pas la seule condition nécessaire pour qu’il soit permis de supposer T = T' ; il faut encore que cette hypothèse s’accorde avec les forces données, qui agissent aux extrémités libres de la surface , et qui déterminent les valeurs extrêmes des tensions T et T' : on devra donc examiner, dans chaque cas particulier, si cet accord a effectivement lieu ; mais il en résulte une condition relative à la direction des forces données que l’on peut énoncer d’une manière générale.
En effet, supposons que le point quelconque m appartienne au contour libre de la surface; soit ds, un élément de ce contour aboutissant à ce point ; menons par le même point, un plan parallèle au plan des y, z, et par l’autre extrémité de 1 élément ds, menons un second plan parallèle à celui des x, z; nous formerons de cette manière, dans le plan
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tangent à la surface, un triangle infiniment petit, dont l’un des côtés sera l’élément ds, et les deux autres seront, comme précédemment, dy \/ i + y et dx \/ i+/; or, les tensions extrêmes devront faire équilibre à la force donnée, qui tire aussi du dedans au dehors l’élément ds; et par conséquent elles devront être égales et contraires à ses composantes. Représentons donc par P ds cette force extérieure; dans l’état d’équilibre , sa direction sera nécessairement comprise dans le plan tangent au point m; mais elle pourra être perpendiculaire ou oblique par rapport au côté ds. Si elle est perpendiculaire, et qu’on la décompose en deux forces, qui soient aussi perpendiculaires aux deux autres côtés de notre triangle, on sait, par les éléments de la statique, que les composantes seront proportionnelles à ces côtés, et représentées par
P dy l /i + q' et P dx\/T+J* ;
par conséquent on aura dans ce cas T = T' = P. Mais, si la force P ds est oblique sur le côté ds, ses composantes, perpendiculaires aux deux autres côtés, ne seront plus proportionnelles à ces côtés, et les tensions extrêmes T et T', ne seront plus égales entre elles ; d’où nous pouvons conclure que l’hypothèse de T = T', dans toute l’étendue de la surface, exige que les forces appliquées à son contour libre, soient perpendiculaires en chaque point, à la direction de ce contour.
Il y a un cas particulier dont nous donnerons bientôt un exemple (n° 6), dans lequel la force P ds étant perpendiculaire au côté ds, les deux tensions T et T' ne sont cependant pas égales. Ce cas est celui où le côté ds se trouve parallèle à l’un des deux plans des x, z, ou des y, z; la dé-
composition de la force donnée n’a plus lieu comme nous venons de le supposer : cette force est alors égale à celle des deux tensions qui lui est directement opposée, et l’autre, qui lui est perpendiculaire, en est tout-à-fait indépendante.
On doit aussi remarquer que les parties du contour de la surface qui forment des lignes fixes et capables d’une résistance indéfinie, seront tirées en chacun de leurs points par la résultante des deux tensions T et T' qui s’y rapportent, laquelle force se trouvera détruite par ces lignes fixes, sans qu’il en résulte aucune condition particulière, relativement au rapport ou à la grandeur absolue des tensions extrêmes.
( 5 ) L’équation (1) coïncide avec cela que M. Lagrange a trouvée dune autre manière, dans la nouvelle édition de la Mécanique analytique (*); mais on voit, par notre analyse, qu elle est subordonnée à des hypothèses particulières qui 1 empêchent d’être l’équation générale de la surface flexible eiï équilibre. Nous allons néanmoins en faire l’application aux cas particuliers les plus remarquables.
i° Supposons qu’on ait X = o, Y = o, Z = o; de sorte que les points de la surface, excepté ceux de son contour, ne soient sollicités par aucune force donnée. L’équation (2) se réduira dans ce cas à c?T = o; ce qui montre que la tension T serà constante dans toute l’étendue de la surface. Il faudra donc que la force appliquée en chaque point de son contour libre, ne varie pas d’un point à un autre : cela ctant, la tension T sera égale à cette force constante, et 1 équation (1) de la surface en équilibre deviendra
équation qui est, comme on sait, celle de la surface dont faire est un minimum pour un contour donné.
2° Considérons une surface flexible qui recouvre un corps solide de forme quelconque, sur lequel elle^s’appuie dans tous ses points. Les forces X, Y, Z, seront alors égales aux composantes de la pression inconnue que la surface exerce sur le corps, au point dont les coordonnées sont x, y, z ; soit donc N çette pression; sa direction sera normale à la surface; par conséquent on aura pour ses composantes, suivant les axes des coordonnées,
<7 N rj N
Substituant ces valeurs dans l’équation (2),, elle se réduit à d T = o; la tension est donc constante, et il faut, comme dans le cas précédent, que tous les points du contour libre soient tirés par des forces égales, tangentes à la surface, et perpendiculaires à ce contour.
L’équation (1) devient en même temps
T T / . s d* z d* z , . d* zl
lors donc que la surface du corps solide sera donnée par son équation, celle-ci fera connaître la pression qui a lieu en chaque point, ou plutôt, son rapport à la tension T. Le coefficient de T n’est autre chose, abstraction faite du signe, que
la somme - -+- , p et p' désignant les deux rayons de cour¬
bure principaux de la surface au point que l’on considère
dère ; il s’ensuit donc que cette somme exprime le rapport de la force N à la force T. Ainsi, par exemple, une surface flexible, étendue sur une sphère, exerce en chaque point une pression égale à la tension qu elle éprouve, divisée par le double du rayon de cette sphère.
3 ° Si la surface, au lieu d’être posée sur un corps solide, est pressée en tous ses points par un fluide pesant, ce cas sera le même que le précédent, avec cette différence que la pression N, au lieu d etre inconnue , sera donnée et dépendante de la densité et de la hauteur du fluide. Sa valeur sera de cette forme :
en supposant les ordonnées z verticales, et désignant par a et b deux coefficients constants. L’équation de la surface flexible en équilibre, deviendra donc
et si l’on observe que T est une quantité constante, on voit que cette équation coincide avec celle que M. Laplace a trouvée pour la surface capillaire concave ou convexe (*);d’oii il résulte que quand un liquide pesant s’abaisse ou s’élève dans nn tube capillaire, il prend la même forme qu’une surface flexible, pressée dans tous ses points par un fluide pesant.
4 ° Considérons enfin la surface pesante, et prenons l’axe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur ; nous aurons alors X = o, Y = o, Z =gt, en désignant la gravité
> ) Théorie de 1 action capillaire, pag. 19.
MEMOIRE
par g, et par e , 1 épaisseur de la surface. L équation (2) deviendra donc
g e dz 4 - dT = o ;
or, si s est variable, cette équation sera impossible, à moins que e ne soit fonction que de la seule variable z, c’est-àdire à moins que l’épaisseur ne soit constante dans toute l’étendue de chaque section horizontale de la surface ; d’où il résulte que dans le cas des surfaces pesantes inégalement épaisses, l’hypothèse des deux tensions égales que nous avons faite plus haut, n’est pas généralement permise. L’équation d’équilibre d’une pareille surface doit être déduite des formules du numéro 2 ; mais si e est constant , on aura , en intégrant l’équation précédente, et désignant par c la constante arbitraire
T =c — gt z;
et l’équation (1) deviendra dans ce cas
Cette équation d’équilibre de la surface pesante et également épaisse, doit comprendre l’équation ordinaire de la chaînette y qui s’en déduit, en effet, en y supposant z indépendante de l’une des deux variables x ou y, de y, par exemple. On a alors <7 = 0, et remettant de plus ^ à la place de p y cette équation devient
-h (c ge
\ d 2 z ' dx 2 H- dz 2
multipliant par dz et divisant par c — g ez, on a
g « d z t dzd'z c-gez+ dx 3 -j-dz' ° ’
l’intégration donne ensuite, d. étant la constante arbitraire,
c 1/ dx'-\- dz' = (c — gtz)dx;
et cette équation est celle de la chaînette, telle qu’on la trouve directement (*).
(6) Il est bon de remarquer que 1 équation de la chaînette est aussi comprise dans les équations d’équilibre du numéro 2,sans qu’on soit obligé, pour l’en déduire, desupposer les deux tensions T et T' égales entre elles. En effet, si 1 on a un rectangle formé, par exemple, d’une toile flexible et dune épaisseur constante, et qu’on le suspende en attachant par deux de ces côtés opposés, à deux droites hxes, horizontales, et parallèles, il est évident que cette toile formera une portion de cylindre horizontal, dont la section perpendiculaire à ses arêtes, sera une chaînette ordinaire.
C plus, il est aussi évident que cette surface n'éprouvera aucune tension dans le sens des arêtes horizontales, et que ses éléments en éprouveront seulement une dans le sens des sections perpendiculaires aux arêtes,laquelle variera d’un point a un autre d’une même sectionnais sera la même pour tous les points d’une même arête. La toile étant ainsi suspendue, on ne changera rien à sa figure, en appliquant aux extrémités de chaque arête des forces égales et contraires, dont les intensités varieront comme on-voudra. Alors la surface sera tendue par ses nouvelles forces dans le sens de ses
( ) Voyez mon Traité mécanique, tom. I", pag. 201
MÉMOIRE
arêtes ; de sorte que chacun de ses éléments éprouvera une seconde tension, qui sera la même tout le long de chaque arête, et variable arbitrairement d’une arête à l’autre. D’après cela, si l’on prend le plan des z, x vertical et l’axe des y parallèle aux lignes de suspension de la surface, on devra pouvoir satisfaire aux équations générales du niftnéro 2, en y supposant l’ordonnée z et la tension T, qui s exerce parallèlement au plan des x, z, indépendantes de la variable y y et en prenant pour la tension T', parallèle au plan des y, z, une fonction arbitraire de x : ces suppositions devront donner entre z et l’équation de la chaînette ordinaire, et pour T, l’expression connue de la tension que cette courbe éprouve en ses différents points.
Soient donc
dz d T dT
les équations du numéro 2 se réduisent à deux, savoir :
on aura donc d’abord
c étant une quantité indépendante à la fois de x et de y: substituant cette valeur de T dans la seconde équation,elle devient
multipliant par dz, intégrant et désignant par c une seconde constante arbitraire, on a
c l /dx\ -h dz' = (c — gtz)dx ;
équation qui est la même qu’on a trouvée dans le numéro précédent. La valeur de T devient aussi T — c — gzz, comme plus haut; mais la tension T' reste une fonction arbitraire de x, dépendante des forces qui tirent le cylindre que nous considérons, aux extrémités de ses arêtes, et nulle quand ces forces n’existent pas.
(7) Lorsque l’on connaît les équations d’équilibre d’un système de points matériels sollicités par des forces quelconques, on sait, par les principes de la mécanique, en déduire immédiatement les équations du mouvement du même système. Dans le cas actuel, les points de la surface étaient tirés parallèlement aux axes des coordonnées, par des forces X, Y, Z, il suffira donc, pour avoir fes équations générales de son mouvement, de remplacer ces forces, dans les équations du numéro 2, respectivement par
d u l ~dt ’
-ït d v rj d sv
Y — *dï' Z — *d7’
u, v, w, désignant les vitesses parallèles aux mêmes axes, du point quelconque m; £ l’épaisseur de la surface en ce point, et t la variable qui représente le temps.
Le seul usage que l’on puisse faire de ces équations, est de les employer à déterminer les petites oscillations des surfaces qui s écartent très-peu d’un plan, ce qui offre un problème analogue à celui des cordes vibrantes , que l’on est encore loin d’avoir complètement résolu. Supposons, par exemple, que la surface s’écarte très-peu du plan des x, y; l’ordonnée z et ses différences partielles, seront alors très - petites, et nous négligerons, dans le calcul, leurs quarrés et leurs pro-
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duits; faisons aussi abstraction de la pesanteur, de manière que les points de la surface ne soient sollicites par aucune force donnée ; enfin, supposons que les vitesses u et v, parallèles au plan des x, y, soient nulles ou insensibles, ce qui revient a dire, que chaque point de la surface demeure constamment dans une même perpendiculaire à ce plan. Toutes ces restrictions sont semblables à celles que Ton adfliet dans la théorie des cordes vibrantes; en les adoptant, les équations du mouvement de la surface s’obtiendront en faisant X = o, Y = o, dans celles du numéro 2, et y remplaçant Z
P ar — £ $7 ’ ne g li g ean t en outre les quarrés et le produit de P et q, ces équations se réduisent à
d T dT dw
d* — 0 ' dy —°’ ~ C dï
d/ïp
dx
Les deux premières montrent que T est une fonction de y, et T' une fonction de x; d’ailleurs, à cause que x et y sont
regardées comme constantes, on a remettant
^ onc ~cHc et d} ® la P lace de P et q, la troisième équation deviendra
dt a dx 1 dy*
Si Ion veut dans ce cas que les deux tensions T et T' soient égales entre elles, il faudra quelles soient indépendantes à la fois de x et de y; posant donc T = T=a% on aura cette équation
t ~dr
\dx*
qui coïncide avec celle de la propagation du son dans un plan. C est celle dont MM. Biot etBrisson se sont servis pour déterminer différentes propriétés des surfaces vibrantes (*). Elle suppose, comme on voit, la surface également tendue en tous sens et dans tous ses points; ce qui a lieu, par exemple, dans les tambours, ensorte que la théorie de leurs vibrations est contenue dans l’équation précédente.
On aurait une équation plus générale, en supposant les deux tensions T et T' constantes, mais inégales, c’est-à-dire, en posant T —T '=b 1 ; l’on a alors
.. U Zt J .
a'- 7-7 -h b ax
équation qu Euler a donnée dans les Mémoires de Pétersbourg (*), pour déterminer les vibrations d’une surface rectangulaire, inégalement tendue dans les deux sens de sa longueur et de sa largeur : les axes des x et des y, sont parallèles aux côtés de ce rectangle; a 3 est la tension parallèle a 1 axe des x, et b 1 , la tension suivant l’axe des y.
Au reste, ces cas sont les plus simples que l’on puisse considérer, et cependant les équations qui s’y rapportent ne sont pas intégrables sous forme finie. S’il s’agissait d’une surface dont les limites fussent en partie fixes et en partie mobiles et entièrement libres , il faudrait conserver les tensions T et T, variables et inégales, l’une fonction de x et l’autre de j, et déterminer ces fonctions de manière qu’en tous les
( ) Mémoires de la première Classe de l’Institut, tome IV e , page 91. O Novi commentarii, tôm. X,pag. 247.
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points des limites libres, la tension, dans le sens perpendiculaire au contour,soit égale à zéro. Les valeurs de T et T' dépendraient alors de la forme de ces courbes, et l’équation qu’on aurait à traiter serait encore beaucoup plus compliquée.
