IL

Équation de la surface élastique en équilibre.

(8) Ayant trouvé les équations d’équilibre d’une surface flexible et non élastique, dont tous les points sont sollicités par des forces quelconques, il est clair que l’on en déduira les équations de la surface élastique, en comprenant au nombre de ces forces, celles qui résultent de l’élasticité; or, quelle que soit la cause de cette qualité de la matière, elle consiste en une tendance des molécules des corps à se repousser mutuellement, et l’on peut l’attribuer à une force répulsive qui s’exerce entré ces points , suivant une certaine fonction de leurs distances. Il est naturel de penser que cette force, ainsi que toutes les autres actions moléculaires, n’est sensible que pour des distances imperceptibles; nous admettrons donc cette hypothèse, et nous supposerons, en conséquence, que la fonction des distances qui représente la force élastique, 11’a de valeur que pour des valeurs extrêmement petites de la variable qui exprime les distances, et quelle devient nulle aussitôt que cette variable devient sensible. D’ailleurs cette action répulsive étant censée venir de tous les points de la matière, et agir sur tous les points matériels qui composent la surface, il s’ensuit que, pour des distances égales, la force répulsive entre deux points devra

être proportionnelle au produit des épaisseurs de la surface qui leur correspondent; mais, pour une raison que l’on verra bientôt, nous nous bornerons à considérer les surfaces également épaisses dans toute leur étendue ; et alors l’intensité de la force répulsive entre deux points quelconques, devra être exprimée par le quarré de l’épaisseur constante de la surface , multipliée par une fonction de la distance de ces points assujétie à la condition que nous venons de supposer.

Appelons donc, comme précédemment, ni le point de la surface qui répond aux coordonnées quelconques x , y, z; considérons un second point m, situé dans la sphère d’activité du premier, et dont les coordonnées soient x, y, z' ; désignons par /■ la distance de m à m, et par fr, la fonction qui exprime la loi de la force répulsive, par rapport aux distances; enfin, soit e l’épaisseur de la surface: l’intensité de la répulsion mutuelle de ces deux points ni et ni, sera égalé à 1 fr; ainsi le point ni sera repoussé par une infinité de forces semblables à celle-ci, et partant de tous les points, tels que ni, qui sont compris dans sa sphère d’activité.

Pour avoir la résultante de toutes ces forces, il faudra décomposer chacune d’elles suivant trois axes fixes, et faire ensuite, par le calcul intégral, la somme des composantes dans chaque direction. Or, les composantes de la force e 3 fr, dirigées suivant les coordonnées x , y, z du point ni, et tendantes a les augmenter, sont respectivement égales à

?fr,

si donc on désigne par X', Y', Z' les composantes totales,

28 MÉMOIRE

suivant les mêmes directions, et par w 1 élément de la surface qui répond au point ni , on aura, d’après les principes du calcul intégral,

XW ff ■ “i

ces intégrales doubles devant s’étendre à tous les points de la surface, situés autour du point m, et compris dans sa sphère d’activité.

Telles sont donc les forces X', Y', Z', qu’on devra ajouter aux autres forces données X, Y, Z, qui agissent sur tous les points de la surface (n° i ). On substituera ces forces, ainsi augmentées, dans les équations du numéro 2, pour avoir les équations d’équilibre de la surface élastique ; éliminant ensuite entre ces trois équations, les deux inconnues T et T', 011 aura l’équation de cette surface elle-même; mais comme les valeurs de X', Y', Z', contiendront , ainsi qu’on va le voir, des différences partielles du quatrième ordre, le résultat de cette élimination conduirait à une équation très-compliquée, qui ne paraît pas devoir être d’aucune utilité : c’est pourquoi nous allons considérer seulement le cas où les deux tensions sont égales entre elles, sauf à prouver que les forces qui proviennent de l’élasticité, satisfont à la condition que cette égalité exige, laquelle consiste en ce que la formule X' dx -1- Y' dy - 1- Z' dz doit être la différentielle exacte d’une fonction de x, y, z.

SUR LES SURFACES ÉLASTIQUES. 2g

(9) Dans le cas de T = T, les équations générales de l'équilibre se réduisent aux équations (i) et (2) du numéro 3 : les forces élastiques X', Y', Z', augmentent le premier membre de l’équation (i),de la quantité 21 — p X' — <7 Y', que nous désignerons, pour abréger, par U; de sorte qu’en substituant à la place de X', Y', Z', les intégrales précédentes, nous aurons"

U = .* JJ ( z - z ')—P ( < JC - x ')—^ir—y) f r ,^ ;

et 1 équation (1) deviendra

z—^x—çY + U+5-p

+ ( T +/ ,, )jp] = o. (O En même temps on devra ajouter la formule X' dx -h Y' dy -h Z ' dz,

au premier membre de l’équation (2). Or, en observant que r’=o— .a?y -h (y—yy h- (*— ziy, d’où il suit

i x x')dx-\-(y — y)dy-\-(z — z')dz ,

-- =dr,

nous aurons

X dx - h Y' dy -4- Z' dz — e ’ . jjfr . w dr :

il s agit donc de faire voir que cette quantité est la différentielle d’une fonction de x, y, z.

Pour cela, si Ion représente par F r, l’intégrale de fr.dr> ou quon fass efr.drz=. d.Fr ", on aura d’abord

MEMOIRE

X' dx + Y' dy H- Z 'dz= e 2 . jj d . F r . w .

Or, par hypothèse ,/> est nulle pour toute valeur de r qui n’est pas extrêmement petite; Fr, ou Jfr. dr se réduira

donc à une constante arbitraire, pour toute semblalje valeur de r; par conséquent, on peut supposer cette intégrale, prise de manière quelle s’évanouisse, comme fr , pour les valeurs de r relatives aux limites de la sphère d’activité du point m y qui sont aussi celles de l’intégrale double

ffd.Fr.».

Ces limites dépendent implicitement des coordonnées x,y, z du point m; mais la valeur de F r qui s’y rapporte, étant égale à zéro, il est encore permis de transporter la caractéristique dy qui indique une différentielle relative à x, y, z, en avant de l’intégrale définie ; de sorte que l’on a

JJ d . F /*. w = d . JJ F r . w ;

et à cause que le facteur e a est constant, il s’ensuit

X' dx H- Y' dy H- Z' dz = d . & 2 JJ Fr. w.

De cette manière l’équation (2) du numéro 3 devient

X d x \ dy -+- Z d z -+- d. e 2 Jj F r . w + d T = o ;

elle ne peut avoir lieu qu’autant que Xdx + Y dy+Zdz est aussi une différentielle exacte ; désignant donc par n son intégrale, on aura

T = — E* jj Fr. <0 —n ;

ou 1 on n ajoute pas de constante arbitraire, parce quelle est censee comprise dans n. C’est cette valeur de T qu’on devra substituer dans l’équation (i).

( io) Il est bon d’observer que la formule X! dxY'd y -h Z dz ne satisferait pas, en général, à la condition d'intégrabilite, si 1 épaisseur de la surface n’était pas supposée constante. En effet,en désignant par e l’épaisseur qui répond au point m, et par e ', celle qui répond à l’un des points circonvoisins, on aurait trouvé

X' dx -+- Y' dy h- Z' dz = t . d . jT Fr . t'w;

Ff représentant toujours l’intégrale jfr. dr, prise de maniéré quelle s’évanouisse aux limites de la sphère d’activité du premier point. Or maintenant a serait une fonction de

ainsi que la quantité fj Fr.e' w ; donc excepté dans

le cas tres-particulier où ces deux quantités seraient fonctions 1 une de l’autre, la valeur de X’ dx + Y dy + TJ dz ne serait pas une différentielle exacte; par conséquent la supposition ^ ^ n est P as permise, en général, dans le cas d’une sur¬

lace élastique inégalement épaisse.

C est uniquement pour cette raison que nous nous sommes bornés a considérer le cas d’une épaisseur constante; car analy se qui V a nous servir à déterminer les forces dues à C ast * c ité, pourrait également s’appliquer au cas d’une épaisseur variable suivant une loi quelconque.

MÉMOIRE

(n) D’après ce qu’on vient de voir, nous avons à déterminer les valeurs de deux intégrales doubles, savoir : de

l’intégrale JJ F r .

, qui entre dans la valeur de la tension

T, et de celle qui exprime la quantité U. Pour les obtenir, il est nécessaire de donner aux axes des coordonnées une direction particulière : menons donc par le point m, trois axes rectangulaires, l’un normal à la surface, et les deux autres dirigés dans le plan tangent en ce point; et soient u, s, s', les coordonnées du point m', rapportées à ces axes, u étant celle qui est parallèle à l’axe normal : ces variables u, s, s', seront liées aux autres coordonnées af, f, z du même point ni, êt l’on aura, par les formules connues.

équations dans lesquelles les neuf coëfficients x, ja, etc., sont les cosinus des angles compris entre les axes des u, s, s et les axes des x, y, z, ou des x, y, z.

Les trois cosinus , X', x" sont ceux des angles que fait l’axe des u, ou la normale au point m, avec les axes des x,y, z; de sorte que l’on a

en faisant, pour abréger,

dz dz - .

dx P’ dj y > ySi+p'+q* K.

Quant aux six autres, leurs valeurs dépendent de la direc-

tion des axes des s et s', dans le plan tangent ; mais il existe entre eux et les premiers, des relations connues qui nous dispenseront d’employer leurs valeurs. Celles de ces relations dont nous aurons besoin par la suite, sont

^ V 4 - |x H— vv' = O ,

^ ~h Vp. \ l^ ,== O ,

lesquelles deviennent, en y mettant pour X, X', X", leurs valeurs précédentes,

Nous citerons encore une autre relation, egalement connue , et dont nous ferons aussi usage, savoir :

( I2 ) ,t ' 1 * on met à la place de x,y, z, leurs valeurs en s> > dans l’expression de ü, on trouve, en vertu des relations précédentes, quelle se réduit à

34 MÉMOIRE

où l’on peut observer que cette quantité divisée par k, est au signe près, la composante normale des forces de répulsion qui agissent sur le point m.

Pour effectuer cette intégration, nous développerons les

quantités comprises sous le double signe jj'j suivant les puissances de s et s'; puis nous changerons ces variaMes en d’autres qui soient plus appropriées aux limites de l’intégrale double.

L’ordonnée u est une fonction de .? et s', déterminée par l’équation inconnue de la surface ; et comme le plan des s , s, est tangent au point m, il s’ensuit que cette fonction et ses

différences partielles ^7 et S? ’ deviennent nulles, quand on

y fait s = 0 et s = o ; par conséquent les trois premiers termes du développement de u, suivant les puissances et les produits de s et s', seront

u = A* 1 -+- A's 1 h- A ss'.

Mais en déterminant convenablement la direction des axes des s et s', dans le plan tangent, on pourra faire disparaître le terme A" ss? ; alors le développement entier sera une série de cette forme :

w=A5 2 + AV’-hB5 3 H-B'sV + B\s5' a + B"V i + Cs 4 + C'5V

-f- C'^ 1 -f- C s s' J *-f- etc. y

dans laquelle les coëfficiens A, A', B, etc., dépendent de la position du point m, et sont par conséquent fonctions de ses coordonnées jc, y, z. Les deux premiers peuvent s’exprimer immédiatement au moyen des deux rayons de courbure principaux de la surface, qui répondent à ce point.

En effet, la direction que nous avons donnée aux axes des s et s, revient à les supposer tangents aux deux lignes de courbure principales, qui se coupent au point m;si donc on désigne par p, le rayon de courbure de la ligne tangente à l’axe des s , et que l’on demande la valeur de ce rayon, relative au point m, on aura, par la formule ordinaire,

i d'u / du'\ — ;

P ds 1 \* ds* )

pourvu que l’on fasse s = o, s’ = o , après avoir différentié : cela donne

d’oii l’on tire

et de même en appelant p', le second rayon de courbure principal, relatif au point m, on aura

Les autres coefficients B, B', etc., du développement de u t s exprimeront au moyen des différences partielles des deux premiers, par rapport à x et jr, et nous en donnerons les valeurs a mesure que nous en aurons besoin.

(i 3 ) Les variables que je vais substituer aux coordonnées s et s' du point m, sont la projection sur le plan des s, s, du rayon vecteur de ce point, c’est-à-dire, du rayon r, et l’angle que fait cette projection avec l’axe des s. Je désigne cet angle par <p , et par a, le rayon projeté qui lui corres-

pond; j’ai alors

s =a . cos. <p, s = a . «ra. ^ ; au moyen de quoi la valeur de u devient

«=P a 2 + Q a 3 + R a 4 + etc.; où l’on a fait pour abréger, *

P = A . cos.* <p -h A'. sin* y ?

Q=B . cos. 3 (p B'. cosSy . sin.y -+- B" .cos. <p . 5m. a <p + B'". sin? y ^

^ == C . cos? ^ -4- C'.co5. ? <p . 5m. ip+ C". cos*y . sin * ^ H- C'" . cos. ^ . sin} ^ etc - +C ,T .iw .^ 1

Les valeurs de a étant toujours très-petites, puisqu’elles sont limitées par l’étendue de la sphère d’activité du point m, il en résulte que cette série sera très-convergente : dans les calculs suivants, nous naurons jamais besoin d’en considérer les termes au-dela du troisième, et généralement nous pouvons négliger la cinquième puissance de cette quantité a.

La projection sur le plan des s, s, de l’élément w qui répond au point m, sera égale à a d«. dy , et cet élément luimême aura pour expression

<t> = ad a dy . \/ l -h ~

Or, on a

du A

— 2 A s-h etc— 2 A a. cos. <p -4- etc.,

2jr == 2 A's'+■ etc. = 2 A' a. sin. <p -4- etc. ;

d’où l’on conclut

u z=za.d a ( I + 2F a 1 + etc.) ,

en faisant pour abréger

P = A 3 . cos . 1 9 + A' 3 . sin. 1 9.

Enfin, le rayon r sera égal a \+ ; en y mettant pourw,

sa valeur, et développant suivant les puissances de «, il vient

r = « ■+■ ~~ h P Qa 4 H- etc.; et développant de mêm e fr, on. a

fi - — — dJ* , p t'\ 4 df «

jr— /« + —’^ + PQ. ' + etc.

Je substitue maintenant ces différentes séries dans la valeur de U; j ordonne, suivant les puissances de a, la quantité comprise sous le signe JJ ;; je néglige la cinquième puissance, en conservant seulement les termes multipliés par * 'VT’ lesquels, après l’intégration relative à «, seront du

mê me ordre que les termes multiplies par «‘/a : tout calcul fait, je trouve

+ Q«/« + (R + 2PP L'^. /x

, P dfx~\ , ,

(' 4 ) Les limites de cette intégrale sont différentes, selon que le point m est très-près du contour de la surface, ou

snb' U ", e dista " Ce P lus S ran<le que le rayon de la

étenT d r CtW,te dCS f ° rCeS ré l )ulsives - Dl,n s le second cas, pour celui nu "‘! eg,a 6 do “ bIe * tous ll ' s points qui agissent sur I e 011 considéré, il faut évidemment intégrer par

MÉMOIRE

rapport à a, depuis a = o jusqua a égal à ce rayon, et par rapport à 9, depuis 9 = 0 jusqu a 9 = 4oo°= 2 7r ; % désignant à l’ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre. A la vérité, le rayon de la sphère d’activité n’est pas une quantité déterminée; mais comme fa est nulle ou insensible, pour toute valeur de a qui n’est pas moindre que ce rayon* il s’ensuit qu’on peut, sans erreur, étendre l’intégrale relative à a , jusqua une valeur de cette variable, aussi grande que l’on voudra et même infinie.

Si le point m est, au contraire, situé sur le contour de la surface, ou qu’il en soit très-peu éloigné, la sphère d’activité de la force répulsive, autour de ce point, ne sera plus complète, c’est-à-dire, qu’une portion de son étendue ne renfermera pas de points de la surface. Alors les intégrales relatives à a et à 9 devront être prises dans d’autres limites ; mais pour trouver l’équation différentielle de la surface élastique en équilibre, il suffit de considérer les points intérieurs, situés à une distance quelconque de son contour; et l’on n’a besoin d’examiner ce qui arrive aux points extrêmes, que pour déterminer les forces particulières que l’on doit appliquer aux limites de la surface pour la tenir en équilibre ; détermination très-délicate, sur laquelle je me propose de revenir par la suite, mais dont il ne sera pas question dans ce mémoire.

En ne considérant donc que les points qui n’appartiennent pas aux limites de la surface, les intégrations relatives à a et à 9 seront indépendantes l’une de l’autre, et comme chacun

des termes compris sous le signe fj, est le produit de deux facteurs dans lesquels ces variables sont séparées, rien ne

SUR LES SURFACES ELASTIQUES. 3g

sera plus facile maintenant que d’achever cette double intégration.

(i 5 ) Relativement aux limites 9 = 0 et 9 = 217, on a

cos. 9 . sin . 9 . d 9 = o,

excepté quand les exposans n et ri sont deux nombres pairs ou zéro. Cette considération fait disparaître le second terme de U; car, d’après la forme de la quantité Q, il s’ensuit

quon a j* Qc?9 = o. Désignons de plus par a' et b% les valeurs des intégrales Jct'fct.dx, j 'prises dans les limites convenables ; de sorte que nous ayons

a ] et b 2 représentant des constantes essentiellement positives. En intégrant par parties, il vient

mais, aux deux limites, le terme « s /«, s évanouit; nous aurons donc simplement

Jet .d.fct = — 5 J a 4 ^/*ia . fl? a = — 5 b'.

Cela pose, la valeur de U du numéro i3 se réduit à

U= 8 - !i a’ .Jv dtf — e’ h b' .f& <l 9 + t ‘k b'.fol? 1 — 2 PPy ? ,

il ne reste plus à effectuer que des intégrations relatives a la variable 9.

MÉMOIRE

En remettant pour P, R et P', leurs valeurs et ne conservant sous le signe ^ que les puissances paires de sin. 9 et cos. 9, on a

J P dy = AJ'cos: y.d'p-\-A'J'sin. i <p.dy,

J R d/9 = C jcos.* <p.d< p -h Cfcos: 9. sin: 9.^9 + C^sin .^. J9, 3P 3 —sPF)c ?9 = A 3 (^3 j'cos. 6 y.dy — o.Jcos.* 9 .d^

-h A' 3 ( 3 Jsin. 6 y.dy — 2jsin* 9.^9^ h- A 1 A ^ 9 J'cos: 9. sin: 9. dy —2 J'cos: 9 sin: 9. df) + AA’’^9 j'sinjy.cos.' y .d<p — ijcos.’ <f.sin.' f.dtp) Si l’on intègre depuis 9=0 jusqua 9 = 21:, on trouve J'cos: <p.dy=j^sin . 2 9. d 9 = x,

Jcos: 9 . sin. 1 9.^9=-,

Jcos.* 9. c?9 =J'sin.* 9. J9 = ^,

Jcos* 9. sin . 1 9 .d^=J'sin.* 9 . cos. 1 9. <^9 = g ,

J'cos . 6 9.^9 == ^ sin. 6 y.d<p =-^-;

d’où il résulte

SUR LES SURFACES ÉLASTIQUES. \l

^Pfi?<p = x (A-h A'),

fRd 9 =?( 3C + C + 3C”),

/( 3 P- 2 PF)^=| ( 3 A 3 h- 3 A' j + 5 A’A'+ 5 AA > );

et par conséquent u== — e a A:« î 7 r(A-h A').

C k b‘ -rc

g ~ (3A 3 4-3A'*H-5A’A'-h5AA'’).

(16) Nous pouvons calculer de même la valeur de l’intégralej^F/ .w qui entre dans l’expression de T(n°q). Nous avons d’abord, comme dans le n° i3,

w=aJaC?9(l+2P'a , + etC.),

br— F. + --^H-etc.;

observant que rf.F«=/ a .rfa, nous en concluons,

//' Fr “-i/'[ F “ + 2 P“’ F « + ^ /-+etc.]a^ df.

Si nous considérons les points de la surface qui ne sont pas très-voisins de son contour, les intégrales devront être prises, comme on l’a vu plus haut, depuis <p = o jusqu’à

^ =2 " 1 et depuis a=o jusqu’à une valeur sensible de a. Or, en intégrant par partie , on a

jFa.a 3 dx = ~. Fa—i.ya 4 /a.rf«;

^2 MEMOIRE

d’ailleurs aux deux limites, les produits a . F a et a 4 . F a sont nuis : à la première, à cause du facteur a, et a la seconde, parce que F a s’évanouit, par hypothèse (n° 9), pour toute valeur de « qui n’est pas extrêmement petite; nous aurons donc simplement

D’après cela, en négligeant la cinquième puissance de a, la valeur de j'J F r.w deviendra

ffFr.d,+ l ~j (P’-P ’)d v

En intégrant depuis 9 = 0 jusqu’à 9 = 2^, on a d’abord j d<? = ait; de plus

y*(P’P') d 9 = A’ ^ J C0S.\ .dy—fcos. 2 ? .^9)