H q' d 1 R ipq d * R 1-f -p* d 'R

A* dx' k 1 dx dy k' dy'

/jR^/R 7R //R R,^ v R Asf* z d'z / d % z V 2 \

k dx k dy~^ 2' ' 2Æ 4 \d x* dy * \dx dy) )

équation dont il est aisé de reconnaître la coïndence avec celle du numéro 20, quand on supprime dans celle-ci les forces X, Y, Z, et qu’on y remplace la quantité n par une constante arbitraire.

Au reste, 1 intégrale j'j'lkk dx dy n’est pas la seule qui

jouisse de la propriété du maximum ou du minimum; elle appartient aussi aux intégrales

ffQ + 7T id * d3r ’ fKî + -b) l ** d *’

et généralement à toutes celles qui se déduisent de la première, en y ajoutant l’intégrale fj - d ** jr , multipliée par

un coefficient constant. Cela tient à ce que l’on a identiquement

lorsque l’on a seulement égard aux termes qui, après les in-

SUR LES SURFACES ÉLASTIQUES. 6l

tégrations par parties, restent sous le double signe jfj^etque

l’on fait abstraction de ceux qui passent en dehors. On vérifiera, sans peine, cette assertion, en partant de la valeur k

connue de la quantité—, savoir:

1 pp

JL (— — ( — y

k 3 \dx a dy a \dxdyj

La propriété de la surface élastique que nous venons de démontrer comprend celle de la lame, qui fut d’abord imaginée par D. Bernouilli, et qu’Euler a ensuite vérifiée à la fin de son Traité des isopérimètres , cité plus haut (*). En effet, dans le cas de la lame, l’un des deux rayons de courbure principaux, par exemple, le rayon p' devient infini; de plus l’élément de la surface se change dans celui de la courbe élastique, que nous appelerons ds, et l’intégrale double

jy R k dx dy,

devient l’intégrale simple j laquelle doit être effectivement un minimum, d’après le principe de D. Bernouilli.

{*) Voyez aussi sur ce point la note qui suit le Mémoire de M. Laplace, sur la Double réfraction. Mémoires de l’Institut, année 1809.