INTRODUCTION

Les recherches de Kummer sur les unités complexes et sa découverte des nombres premiers idéaux qui, considérés comme les éléments extrêmes de cette théorie, occupent la même place que les nombres premiers dans la théorie générale des nombres rationnels, furent étendues à la théorie générale des nombres algébriques par Dedekind d'une part et par Kronecker de l'autre.

Dedekind, en considérant ces quantités simplement comme des nombres abstraits, a donné leurs propriétés fondamentales et caractéristiques et a établi ainsi une théorie pour ces nombres, comme l'avait fait Gauss pour les nombres rationnels ordinaires.

Kronecker, en employant ces nombres algébriques comme coefficients de fonctions d'une ou de plusieurs variables, a inauguré une théorie qui est la généralisation de la théorie des nombres rationnels et des nombres algébriques. Le domaine de rationalité le plus général n'est plus pour lui celui des nombres rationnels ou algébriques, c'est le domaine qui contient les fonctions rationnelles d'une ou de plusieurs variables à coefficients algébriques, ces coefficients appartenant à un domaine algébrique donné. Dans ce domaine, ce sont les fonctions de plusieurs variables à coefficients algébriques qui prennent la place des nombres rationnels dans la théorie ordinaire des nombres. Dans les domaines de Kronecker ce sont les systèmes modulaires pre-

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miers qui remplacent les entiers rationnels premiers de la théorie ordinaire les nombres.

Il y a beaucoup de points communs à la théorie de Dedekindetàcelle de Kroneckcret qui sont dus, à vrai dire, h ce qu'il y a de commun aux domaines dé rationalité d'où elles tirent leur origine; et c'est pour cette raison que dans la première Partie de cet Ouvrage, après avoir donné un historique du développement de la théorie des nombres algébriques, nous traitons brièvement quelques-uns des points essentiels des domaines algébriques de rationalité, en cherchant surtout l\ mettre en évidence les propriétés caractéristiques qui sont communes à la fois aux modules et aux idéaux de Dedekind d'une part et aux systèmes modulaires de Kronecker de l'autre. Nous pouvons ainsi étendre beaucoup de théorèmes sur les modules et les idéaux à la théorie des systèmes modulaires. En nous servant des idéaux premiers, nous pouvons effectuer la réduction des systèmes modulaires généraux d'une manière simple et tout à fait analogue h la réduction déjà donnée (Journal de Crelle, t. 119, p. i48) pour les systèmes dans lesquels les coefficients des éléments sont exclusivement des entiers rationnels.

Nous avons jugé qu'il était nécessaire de faire une digression sur la théorie des équations afin d'acquérir quelques notions sur les systèmes d'équations des différentes espèces (Slu/e)^ auxquels la définition des systèmes modulaires des différentes espèces et des diviseurs des différentes espèces se trouve intimement liée.

Nous pouvons de cette façon avoir une notion plus précise des systèmes modulaires premiers.

L'auteur ne veut pas laisser échapper cette occasion d'exprimer à M. George Frobenius toute sa gratitude pour la courtoisie dont il a fait preuve en lui permettant de faire un libre usage des leçons sur la Théorie générait des nombres algébriques qui furent faites à Berlin par ce distingué professeur et qui lui ont été un guide précieux dans le présent Ouvrage, tout particulièrement dans l'exposition de la théorie de Dedekind.

Dans la seconde Partie de l'Ouvrage, nous nous occupons des systèmes modulaires dans le domaine algébrique général ù. Ces systèmes sont réduits à leurs formes les plus simples et nous avons pu en donner

SUR LES SYSTEMES MODULAIRES DE KRONECKER. 5

les formes canoniques par des méthodes analogues à celle donnée dans le Journal de Crelle (loc. cil.), ces formes étant de telle nature que, de quelque façon que Ton ait effectué la réduction du système initial, la forme finale qui est équivalente à la forme canonique lui est identique.

Les systèmes modulaires premiers ont, vis-à-vis des systèmes modulaires, les propriétés caractéristiques des nombres premiers dans la théorie ordinaire des nombres, et ces systèmes modulaires premiers ont aussi, vis-à-vis des domaines de rationalité dans lesquels ils entrent, des propriétés caractéristiques analogues à celles dont jouissent les entiers rationnels premiers relativement au domaine des nombres rationnels.

Après avoir déterminé les systèmes premiers dans chaque domaine, nous en déduisons quelques théorèmes, en particulier ceux qui sont les analogues du théorème donné par Fermât et de celui donné par Wilson pour la théorie ordinaire des nombres rationnels.

Si M désigne un système modulaire premier dont les éléments sont des fonctions irréductibles des variables a?, j, 5, ... à coefficients entiers appartenant à Û, et si rest une fonction quelconque entière des variables a;, j, z, ..., à coefficients entiers appartenant à il, le théorème de Fermât consiste en ce que, élevée à la puissance />*, p étant un entier rationnel premier déterminé et k un entier rationnel fixé d'une manière déterminée, la fonction r satisfait à la congruence

rP^= r(modM).

Si h est le plus petit entier positif tel que

//'*=r(modM),

h peut être appelé la hauteur de la fonction r relativement au système modulaire M.

Nous avons le remarquable théorème suivant :

/•^'•— r = !!/(/• — /•/) = HP (r, J7,y, z, . , .) (mod M),

où le premier produit doit être étendu à un système de p^ fonctions incongrues r,(i = i, 2, .. ., p^) suivant le'modM, qui sont de hauteur h ou de hauteur d, d étant un diviseur de A; et où le second

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produit s'étend k un nombre déterminé de fonctions irréductibles P(r, ar, j, J5, ...) qui sont entières en toutes les variables. Ces fonctions sont de degré A ou û? en r, de degrés déterminés par rapport aux variables a?, j, s, . . ., les coefficients des plus hautes puissances de r dans ces fonctions étant l'unité, tandis que tous les autres coefficients sont des entiers rationnels qui ont été réduits suivant le modp.

Je désire exprimer ici ma respectueuse reconnaissance à M. Emile Picard pour l'aide bienveillante qu'il m'a accordée, et en même temps remercier M. Gaulhier-Villarspour les soins apportés à l'impression.