HISTORIQUE

Les recherches relatives à la théorie des nombres n'ont porté, jusqu'au commencement de ce siècle, que sur les nombres rationnels, c'est-à-dire sur les nombres qui dérivent de l'unité par les opérations de l'addition, de la soustraction, delà multiplication et de la division, et qui ont la propriété de se reproduire par ces opérations. L'introduction de nombres algébriques dans de telles recherches est due à Abel qui, dans l'introduction au Mémoire \n\\i\x\é Sur la résolution algébrique des équations {Œuvres Sylow-Lie, t. II, p. 219) se demande: « D'abord qu'est-ce que cela veut dire que de satisfaire algébriquement kune équation algébrique? » Comme réponse à cette question, il écrit: « Lorsqu'il s'agit d'une équation générale, dont tous les coefficients peuvent, par conséquent, être regardés comme des variables indépendantes, la résolution d'une telle équation doit consister à exprimer les racines par des fonctions algébriques des coefficients. Ces fonctions

(») Donnant un exposé des recherches faites sur les nombres algébriques jusqu'à la publication de l'Ouvrage de Kronëcker : Grwidzuge einer arithmetischen Théorie der algebraischen Grôssen {Festschrlft zu Herrn E.-E. Kummers's funfzigjàlirigen Doctor- Juhilàum), Berlin, Reimer; 1882.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 7

pourront, selon la conception vulgaire de ce mot, contenir des quantités constantes quelconques, algébriques ou non. On pourra y ajouter, si Ton veut, comme condition particulière, que ces constantes seront de même des quantités algébriques : ce qui modifierait un peu le problème. En général, il y a deux cas différents selon que les coefïicients seront des quantités variables ou non. » La classe spéciale d'équations résolubles qu'Abel traite dans son Ouvrage est celle des équations appelées par Jordan et Kronecker équations abéUennes .

Une quantité \ est appelée nombre algébrique lorsqu'elle satisfait à une équation de la forme

>/l — 1 I r* /T'Il — S

j;" H- c, o?'*-* -+- Cj^^-'-f-. . .H- Crt=o,

OÙ lesc sont des nombres rationnels; lorsque les c sont des entiers rationnels, Ç est un entier algébrique ; lorsque les c sont des fonctions rationnelles d'un certain nombre de variables w^ z, z\ 5", . . ., Ç est dit ww^ fonction algébrique de ces variables; et lorsque les c sont des polynômes entiers par rapport aux variables qu'ils contiennent, \ est un entier algébrique fonction de ces variables. Parmi les variables qui entrent dans les c nous pouvons en regarder au moins une, soit w^ comme indépendante. Outre ces variables qui entrent dans l'expression des racines, il peut apparaître certaines espèces dénombres constants algébriques ou rationnels. Il semble résulter des remarques faites dans le Mémoire mentionné plus haut {voir aussi Kronecker, Werke, édité par Hensel, t. Il, la première Note de la p. 253) qu'Abel désirait, dans la solution générale des équations, considérer aussi des quantités qui n'étaient pas algébriques, les quantités transcendantes. Les résultats qui ont été obtenus dans l'étude de ces quantités sont, comme leur définition, de nature négative (*).

(*) Consulter sur ce sujet Liou ville, Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques (Journalde Math,, t. XVI; i85i).

Ch. Hërmite, Sur la fonction exponentielle {Comptes rendus, t. LXXVH, 1873).

LiNDEMANN, Ueber die Zabi u{Mat/t, Ann,, t. XX).

Weierstrass, Zu Lindemann's Abhandlung : Ueber die Ludolph'sche Zakl {Sitz, der Ber, Jkad.; 3 décembre i885).

roir aussi les OEuvres de Hilbert, Hlrwitz et Gordan dans le 43' vol. des Math. Ânn.

8 IIARRIS HANCOCK.

Abel mourut sans avoir fait avancer beaucoup la théorie des nombres algébriques.

Ce fut Gauss qui, le premier, fit faire un grand pas à cette théorie en « élargissant le champ de l'Arithmétique » par l'introduction des quantités algébriques de la forme a-k-ib (voir Theoria residuorum biqua- (Iraticorum, commenlatio secunda, i83i). Les quantités a et b sont des nombres rationnels et i = yj— i.

Plus tard il considéra les nombres algébriques plus généraux qui sont composés des racines de l'unité. De tels nombres sont spécialement étudiés par Cauchy ('), Jacobi (^) etEisenstein (^)-

Ces mathématiciens rencontrèrent bientôtce résultat inattendu que, dans le domaine d'investigation considéré, deux nombres n'avaient pas toujours un plus grand commun diviseur et que des produits de facteurs irréductibles pouvaient être égaux sans que les facteurs simples fussent égaux.

KuMMER [Gratulationsschri/t des Breslauer Vniversitât, etc. (Breslau, i8/|4)] écrit : « Maxime dolendum videiur, quodhcec numerorumrealium virtus^ ut in factures primos dissohi possint qui pro eodem numéro semper iidem sint, non eodem est numerorum complexorum^ quœ si esset tota hœc doctrina, quœ magnis adhuc difficultatibus laborat^ facile absolvi et adfinem perduci possei . »

Un entier algébrique peut être décomposé en un produit d'un nombre fini d'entiers algébriques irréductibles; mais cette décomposition n'est pas unique et il n'est plus vrai que si un produit est divisible par un nombre irréductible, un de ses facteurs au moins doit être divisible par ce nombre. Kummer [Zur Théorie der comptexen Zahlen (Crelle, 35)] imagina un moyen de surmonter cette difficulté par l'introduction d'une nouvelle conception,, celle des facteurs premiers idéaux, et montra que les facteurs premiers rationnels n'étaient pas

{ * ) Cauchy, Mémoire sur la théorie des nombres ( Comptes rendus, 1840). — Trois Notes dans les Comptes rendus, p. 3\y, 407, 1120; 1840.

(') Jacobi, Œuvres complètes, vol. VI, p. 233, 240, 254, 275.

(•) EiSENSTEiN, Ueber eine neue Gattung Za/dent/ieoretislier Fonctionen, et Beweis der allgemeinsten Reciprocitàtsgesetzte zwUchen reellen und complexen Zahlen {Ber. der K. Akad. der Wissen, zu Berlin, i85o) et de nombreux écrits dans le 27* et le 28* vol. du Journal de Crelle,

SUR LES SYSTEMES MODULAIRES DE KRONECKEU. 9

les éléments extrêmes (aussersle). Kummer n'appliquait ces principes qu'aux nombres algébriques qui sont dérivés des racines de l'unité. Les facteurs idéaux qu'il a introduits ont servi à écarter beaucoup de dilemmes qui avaient déjà été rencontrés par les mathématiciens cités plus haut, et ont été le point de départ des recherches plus générales de Kronecker et Dedekind.

Les nombreux écrits de Kummer sur les unités complexes sont donnés par Lampe dans le Nachruf fur Ernst Eduard Kummer {lahresbericht der Deutsch. math. Vereinigung, t. III, p. 23); cf. aussi Her- MiTE, Notice sur les travaux de M, Kummer (^Comptes rendus^ iSgS, p. 1 163).

La théorie des fonctions analytiques fut développée par les savants de Técole française. Pendant son séjour à Paris, Dirichlet avait pu se mettre très au courant de ce sujet, et de retour en Allemagne, par ses leçons sur la théorie des équations aux dérivées partielles, il répandit dans l'école allemande cette théorie déjà bien connue en France, grâce surtout aux efforts de Fourier, Poisson, Ampère et Monge. Riemann l'apprit de Dirichlet, et c'est sur cette base qu'il fonda la théorie de Riemann.

Appliquant ses connaissances des méthodes analytiques aux problèmes qui se posent dans l'étude des quantités complexes, Dirichlet trouva un moyen simple et direct de les résoudre. Sa première communication sur ce sujet est une lettre adressée à Liouville et insérée dans les Comptes rendus de i84o.

Les résultats principaux de ces recherches se trouvent dans les Monatsberichte de l'Académie de Berlin (octobre i84î, avril 1842 et mars 1846). Fo/r aussi les références sur ses ouvrages dans le onzième supplément à la Théorie des nombres de Dirichlet, par Dedekind.

Kummer [Gedàchtnissrede ouf Lejeune-Dirichlet (Abhandl. der Kônigl. Akad. der Wiss. zu Berlin, 1893, p. i)] dit que l'application faite par Dirichlet de l'analyse à la théorie des nombres fait époque dans cette théorie en créant dans celte branche une nouvelle discipline mathématique comme le fit en Géométrie l'application de l'analyse par Descartes.

Antérieurement aux ouvrages de Kronecker, nous pouvons citer ici H. 2

lO HARRIS HANCOCK.

Selling, qui [Ueber die idealen Primfactoren welche aus den Wurzeln einer heltebigen irreductiblen Gleichung rational gehildet sind ÇSchlôm.

Zeits., t. X, p. 17)] s'occupe de la réduction (les racines pi, P2» •••»?/! d'une équation algébrique irréductible

OÙ les a sont entiers, en facteurs premiers idéaux et suit une marche analogue à celle suivie par Kummer dans cette théorie, pour les nombres formés des racines de l'unité; Zolotareff, qui discuta des questions semblables dans la brochure Sur la théorie des nombres complexes (^Journal de Liom^ille, 3* série, t. VI, p. 5i et p. 129).

Ceux qui s'occupèrent de la théorie des congruences supérieures et dont les recherches semblent avoir été utiles a Kronecker sontSchônemann (•) et Serret Ç).

Après Gauss le grand maître dans la théorie des nombres fut Kronecker. Il semble qu'il ait voulu en faire la base de toule la Science mathématique.

Ce fut Kronecker qui généralisa les principes de Kummer et qui sentit la nécessité de définir les facteurs premiers idéaux pour les quantités algébriques les plus générales, en comprenant à la fois dans ces quantités les nombres algébriques et les quantités algébriques définies à la page 7. Frobenius, dans sa Gedàchtnissrede aiif Leopold Kronecker (^AbhandL der KônigL Akad. der Wiss, zu /ferlin, îSqS, p. i), dit : « Par la manière dont le génie de Gauss traita les nombres cyclotomiques l'Algèbre fut redevable à l'Arithmélique, et la force conquérante de Jacobi déposa à ses pieds (de l'Arithmétique) les immenses trésors de formules de la théorie des fonctions elliptiques et au service de Dirichlet elle s'introduisit dans les méthodes les plus subtiles de l'analyse. Ce sera toujours la gloire de Kronecker d'avoir rendu cette science, qui se suffisait à elle-même, utile à la fois à l'Algèbre et à la

(*) ScHONEMANN, Jllgemeine Sàtze ûher Congruenzen, etc, (Journal de C relie, t. 19, p. 23 1 et p. 289).

ScHÔNEMANN, Grundzûge einer allgemeinen Théorie der hôheren Congruenzen, etc. {Journal de C relie j t. 31, p. 269).

(*) Serret, Compter rendus , i865, p. 918, et Chapitre III de son Cours d' Algèbre supérieure, t. II, 1866.

SUR LKS SYSTÈMKS MODULAIRES l)K KRONECKER. II

Théorie des fonctions; » et Kronecker, dans ses Aniriusrede-à l'Académie de Berlin, dit : « Die Verknupfung dieser drei Zweige der Mathematik erhôht den Reiz und die Fruchtbarkeit der Untersuchung, »

Les recherches sur les nombres complexes formés des racines des équations abéliennes conduisirent Kronecker au problème algébricoarithmétique de la formation de toutes les équations abéliennes pour un domaine quelconque de rationalité. Il communiqua la solution de ce problème à l'Académie de Berlin en i853.

Depuis cette époque on attribua à Kronecker une habileté toute spéciale à traiter les questions d'Algèbre à un point de vue arithmétique et. en s'occupant de ces problèmes, il conçut l'idée d'étendre la notion, due à Gauss, de congruences ayant pour module un entier à la notion de congruences ayant un système arbitraire de modules, notion dont Schônemann et Serret avaient déjà eu tous deux une première idée.

Hensel, dans la préface du premier Volume des Kronecker s Werke, écrit, sous le nom iï Arithmétique générale : « Kronecker étendait l'application des conceptions et des méthodes de la théorie des nombres à la recherche des fonctions rationnelles d'un certain nombre de variables. Ce très vaste champ de recherches embrasse l'étude des systèmes de nombres entiers, la théorie des nombres dans son entier, les recherches sur les svstèmes linéaires, la théorie des déterminants, les formes bilinéaires et quadratiques et finalement la théorie générale des nombres algébriques et des fonctions d'une et de plusieurs variables. » La théorie générale permettant de traiter ces questions fut présentée par Kronecker sous une forme condensée et excessivement difficile, à l'occasion du cinquantième anniversaire du doctorat de Kummer dans les Grundzùge einer arithmetischen Théorie deralgebraischen Grôssen.

Dans cet ouvrage, Kronecker employa systématiquement la méthode des coefficients indéterminés dans la définition des quantités idéales et, en se servant de plusieurs variables dans la mise en formules de ces fonctions, surmonta les difficultés et évita les imperfections rencontrées dans l'emploi d'une seule variable.

Au lieu d'associer des espèces plus élevées d'irrationnelles algébriques, il élargit la dimension du domaine initial en associant des

12 HARKIS HANCOCK.

formes de plusieurs indéterminées et donna surtout de nouveaux points de vue pour les domaines de rationalité qui contiennent non seulement des nombres et des fonctions d'une variable mais encore de plusieurs variables indépendantes. Au moyen d'un nombre fini de quantités algébriques entières il peut exprimer toutes les quantités de cette sorte qui appartiennent au domaine. I.e plus grand commun diviseur deplusieurs quantités entières n'est pas la seule cbose commune à ces quantités, c'est seulement un diviseur commun de première espèce (Sfu/e); elles peuvent avoir aussi des diviseurs communs d'espèce supérieure.

Dedekind fit k la même époque des recherches semblables et indépendantes de celles de Kronecker, qui le conduisirent k une théorie générale du calcul des nombres algébriques. Dans ses idéaux premiers il a trouvé, pour les nombres algébriques généraux, les éléments extrêmes comme Kummer l'a fait dans le cas plus spécial des nombres algébriques qui sont formés avec les racines de l'unité. Dans le onzième Supplément à la Dirichlet's Zahlentheorie et dans d'autres ouvrages cités dans ce volume, Dedekind a fondé pour b théorie générale des nombres algébriques de véritables Disquisitiones arilhmeiicœ.

Domaine de rationalité.

Une fonction donnée de degré n

où a^, a^ , . . . , Un sont des nombres rationnels, peut toujours être décomposée en n facteurs linéaires, de sorte que l'on ait

Xq, ^2, . . ., ir,4 étant les n racines de réquation/(a:) = o.

Cette décomposition en facteurs n'est plus possible si nous assujettissons les coefficients à certaines conditions; par exemple, si nous voulons que les coefficients des facteurs en lesquels la fonction f{x) doit être décomposée soient aussi des nombres réels, f{x) ne pourra en général être décomposée qu'en facteurs du premier et du second degré puisqu'un trinôme du second degré à discriminant négatif

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. l3

ne peut pas être décomposé en deux facteurs linéaires à coefficients réels.

Nous pouvons aussi nous proposer de décomposer une fonction F(x) à coefficients entiers en des fadeurs qui aient aussi leurs coefficients entiers. Nous savons que cela est souvent impossible.

Nous appellerons rfomam(?(*) un système de nombres ou de quantités en nombre infini ; par exemple, nous avons le domaine de tousles entiers, le domaine de tous les nombres rationnels, qui comprend tous les entiers et toutes les fractions; etc.

Nous avons déjà dit que les nombres rationnels fournissent des nombres rationnels en les faisant entrer dans des opérations rationnelles. Ceci est encore vrai pour les nombres algébriques, c'està-dire qu'une fonction rationnelle d'un certain nombre de nombres algébriques est un nombre algébrique. Nous appelons domaine de rationalité {') un système de quantités tel que toutes les quantités du système aient la propriété de se reproduire par des opérations rationnelles de sorte que, par exemple, la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux nombres quelconques du système soient un nombre appartenant au système.

Soient R^*^ R^^^ R^*\ ..., des quantités, où le terme quantité doit être pris dans le sens arithmétique et algébrique le plus large. Le domaine de rationalité de ces quantités comprend toutes les fonctions rationnelles de ces quantités dont les coefficients sont des nombres rationnels. On peut le désigner par P = (R^*\ Rf^\ R^'\ ...). Après avoir fixé le domaine de rationalité nous pouvons supposer que les coefficients d'une fonction entière d'un certain nombre de variables appartiennent (') à ce domaine. Cette fonction est dite décomposable en facteurs, lorsqu'elle est égale au produit de deux ou plusieurs fonctions entières de deux variables dont les (coefficients appartiennent au même domaine de rationalité; sinon la fonction est dite irréductible.

(*) Je traduis le root de Kronecker Bereich par le mot doniaùiey parce que ce mot éveille moins l'idée d'espace que tout autre mot {voir Kronecker, t. II, p. 249)*

(*) Ce qui correspond à ce que Dedekind appelle Kôrper von Zalilen ou Zalilkôrper et Kronecker, Rationalitàtsbereich.

(') Une quantité appartient à un domaine lorsqu'elle est l'une des quantités qui constituent ce domaine.

l4 IIARRIS HANCOCK.

Soit P = (R<*\ W^\ . . .) un domaine de rationalité déterminé ( * ). La quantité ^ est dite quantité algébrique (ou fonction algébrique jdes quantités W*\ W^\ . . . dérivée du domaine P si ^ satisfait à une équation algébrique dont les coefficients appartiennent au domaine P. Toutes les quantités algébriques qui sont dérivées d'un domaine P forment elles-mêmes un autre domaine de rationalité.

A chaque quantité algébrique \ correspond une équation irréductible /(i) = o qui est satisfaite par cette quantité. Si la fonction /(^) est de degré n, les /i — i autres racines $^*\ $^^^ .. ., 5^""*^ sont appelées racines conjuguées de Ç. Ce n'est donc là qu'une notion relative, puisqu'elle se rapporte au domaine P. Nous pouvons appeler P le domaine fondamental (Stammbereich). Nous dirons que le domaine P est le domaine naturel de rationalité lorsque les R sont tous indépendants. Dans ce cas, les fonctions entières de R^*\ W^\ ..., à coefficients entiers constituent un système de quantités qui forment une partie ou un rf/mewr du domaine P. Le domaine formé par ces quantités entières est apipelé domaine d'intégrité et est désigné par [R^*^ R^^^ . . .].

Une quantité Ç est appelée fonction algébrique entière des quantités R^'^ W^\ . . ., ou quantité algébrique entière, lorsqu'elle satisfait à une équation dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de la variable est Tunité tandis que les autres coefficients sont des quantités appartenant à (R^*\ R^^\ . . .). Puisque les fonctions algébriques entières des quantités algébriques entières sont des quantités algébriques entières, il en résulte que toutes les quantités algébriques entières qui sont dérivées du domaine d'intégrité [R^*\ R^^\ . . .] forment ellesmêmes un autre domaine d'intégrité.

Il existe un domaine de rationalité qui ne comprend que la quantité zéro. Nous ne considérerons pas ce cas trivial et nous supposerons toujours que le domaine comprend au moins une quantité a difierente de zéro. Il comprendra donc toutes les quantités que l'on déduit de cette quantité par des opérations rationnelles, et par conséquent la

quantité - = i. Par suite tous les entiers positifs et négatifs ainsi que

( * ) Nous écrirons domaine au lieu de domoitte de rationalité quand il ne pourra pas en résulter de confusion.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. |5

les fractions appartiennent k ce domaine. L'ensemble de ces nombres rationnels forme un domaine de rationalité que Kronecker appelle le domaine absolu de rationalité. Ce domaine est contenu comme diviseur dans tout autre domaine, sauf dans le domaine trivial que nous venons de mentionner.

Si, au domaine de rationalité

nous adjoignons une quantité ^ dérivée de ce domaine, nous avons lin nouveau domaine

Toute fonction rationnelle de Ç, c'est-à-dire de la forme — 7l^> peut,

au moyen de l'équation irréductible du n**"™* degré /(^) == o, qui détermine Ç, être transformée en une fonction entière de \ dont le degré est, au plus, n — i (tmir V Algèbre de Weber, t. I, p. 49>^)« Paï* suite, nous aurons toutes les quantités appartenant au domaine P(^) si, dans l'expression

nous prenons pour les a toutes les quantités du domaine P, et chacune des quantités de P(?) est obtenue une fois seulement lorsque Ton substitue ces valeurs dans la forme linéaire.

P(^) peut donc être appelé un domaine du n'^""^ degré. Si Ç^*^

^^''K . . . , ^^^ *^ sont les racines conjuguées de ^, P(5^'0' PC^^'^O» • • • • P(^""*^) s'appellent les domaines conjugués de P($), et le produit des domaines P(^), P(^^*0' •••» ^i^^"'*^) s'appelle le norme du domaine P($).

Lorsque toutes les quantités appartenant à l'un des domaines se trouvent aussi dans un autre domaine, on dit que ce dernier domaine contient le premier domaine et le premier est appelé un diviseur du second.

Par exemple, le domaine d'intégrité [R^*^ R^^^ . . .] est un diviseur

du domaine (W*\ W^\ . . .) et le domaine P($) contient le domaine

jondamentalV. Toutes ces quantités algébriques, qui appartiennent

au domaine P(^), forment un genus {Gattung) de quantités algé-

l6 HARUIS HANCOCK.

briques, et le domaine P(?) peut s'appeler le genus \ lorsqu'on veut le distinguer d'un autre domaine.

Plus petit commun multiple ou produit de plusieurs domaines.

Soient $, r^, ^, . . . , des quantités algébriques dérivées du domaine

Pz=(Rt« ), R^'), ...)

et qui satisfont, par conséquent, aux équations algébriques

respectivement de degré a, 6, tr, . . . , et dont les coefficients sont des quantités appartenant au domaine P. Formons les domaines P(i), P (y]), P (2^), .... Le plus petit commun multiple de ces domaines est un domaine composé du système de nombres le plus petit possible qui contienne tous les nombres appartenant à ces domaines; c'est-à-dire que c'est le domaine qui contient la totalité des fonctions rationnelles de $, Y], î^, . . . . Nous pouvons donc dire que P ($, y), ?^, . . .) est le plus petit commun multiple ou le produit de -ces domaines P($), P(tq)>

Si maintenant il est possible de déduire une quantité co telle que CD soit une fonction rationnelle de toutes les quantités E, r^ J^, . . . et, en même temps, que chacune des quantités ^, r^ C, . . . soit une fonction rationnelle de (o, le domaine P(^, y], u, ...) est identique au domaine P(od) = û.

Pour montrer que l'on peut avoir une fonction telle que co, il suffit de choisir pour w une fonction rationnelle de S, y), JI, . . ., telle que les a.b.c... valeurs que co prend lorsque nous remplaçons Ç, y], ^, • . . par leurs valeurs conjuguées, soient toutes différentes.

Le cas le plus simple d'une telle fonction est l'expression linéaire

sv — l -^pn H-7Ç + . . .,

où, d'après la méthode de Cantor {Math. Ann., t. V, p. i33), les quantités p^ q, ... ont été choisies de manière à remplir les conditions voulues. La proposition peut être alors démontrée, par exemple, par la méthode de Weber(i4/g^., 1. 1, p. 5oo).

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER, I7

Conception plus précise d'un domaine du rv^""^ degré.

Domaines algébriques ou finis.

Nous dirons que n quantités Ç©» ^i» • . ., L-i du domaine P(5) sont linéairement indépendantes quand il n'est pas possible de trouver n quantités a^, ««♦ . . ., ««-» du domaine P telles que l'on ait

Un domaine est d'il Jini du /i'^"''^ rfc^re lorsqu'il contient n quantités linéairement indépendantes, mais que n-h i quantités quelconques du domaine sont linéairement dépendantes.

Par exemple, les quantités i, i, ^*, Ç', , . ., ^"-^ du domaine P(^) sont linéairement indépendantes, mais une autre quantité y] du domaine P(Ç) peut être exprimée par une expression de la forme

où ezo» ««» . . . , a,i-f sont des nombres du domaine P.

Dans un domaine du /i'*"® degré, chaque système de n quantités linéairement indépendantes forme une base du domaine. Si l'on multiplie par tous les nombres rationnels les n quantités d'une base d'un domaine et si l'on ajoute les résultats, on a toutes les quantités du domaine, et chacune d'elles n'est obtenue qu'une fois.

Nous pouvons donc ainsi définir le degré d'un domaine à l'aide du domaine lui-même sans employer la quantité particulière ^ de ce domaine.

Relativement aux domaines infinis, nous ne pouvons donner que des résultats négatifs comme, du reste, leur définition, qui doit s'énoncer d'une manière négative.

Un domaine fini peut ne contenir que des nombres algébriques; un tel domaine sera, en conséquence, appelé un domaine algébrique. Lo seul domaine du premier degré est le domaine des nombres rationnels. Nous le désignerons par P(i) ou P. Ce domaine est contenu dans tous les autres et peut être nommé le domaine absolu P.

Si nous adjoignons au domaine P les racines d'une équation irréductible, le domaine qui en résulte est fini, et nous obtenons tous les H. 3

l8 HARRIS HANCOCK.

domaines finis possibles si nous adjoignons à P les racines de toutes les équations irréductibles possibles .

Pour démontrer ce théorème, il nous suffit de montrer que dans tout domaine fini A de degré n il existe une quantité algébrique au moyen de laquelle le domaine algébrique est complètement déterminé.

Si u est une quantité arbitraire du domaine A, elle satisfait à une équation irréductible de degré /?, par exemple, dont les coefficients appartiennent au domaine P. Nous pouvons former le nouveau domaine P(w) qui contient les/? quantités linéairement indépendantes I, M, . . ., m''""'. Si /i >/?, le domaine A contient au moins une autre quantité u' qui est linéairement indépendante des quantités i, £/, ..., w^~'. Nous adjoignons cette quantité au domaine P(«) et nous avons P(w, u') = P(^), par exemple, où i^ satisfait à une équation irréductible de degré q^n. Si q<in^ nous continuerons à opérer de même jusqu'à ce que finalement nous arrivions, par un nombre fini d'opérations, à un domaine P(^) du /i'*™* degré.

11 peut y avoir plusieurs de ces quantités x, et qui soient différentes. Soity une autre de ces quantités qui vérifie aussi une équation irréductible du /i**™* degré.

On voit par la manière même dont ces quantités ont été formées que X Qiy peuvent être exprimées rationnellement en fonction Tune do Tautre. De telles quantités sont appelées quantités /?A///«/iVe5 dans le domaine A qu'elles déterminent complètement. Le domaine P(-r) est identique à V{y), La méthode suivante, donnée par le professeur Frobenius, peut être employée pour rechercher si la quantité j du domaine P(a;) est primitive ou non.

Soient x^^\ x^^\ ...» x^"~^^ les quantités conjuguées de x. Soit y = '^{x) OÙ ç désigne une fonction rationnelle, et formons l'expression suivante, dans laquelle t est une quantité variable :

g{t) est une fonction entière de / dont les coefficients appartiennent au domaine P, puisque les fonctions symétriques élémentaires de x, x\ , . . peuvent être exprimées en fonction des coefficients de l'équation irréductible à laquelle x satisfait. En posant

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 19

l'équation ci-dessus devient

équation du /z**"** degré qui a y pour racine. Si y est une quantité primitive, elle satisfait à une équation irréd^uctible du n}^""^ degré; et dans ce cas les n — i fonctions ?(a?'). . .<p(j?^"~*^) peuvent donner 71 — 1 valeurs différentes y*^y'^^ . . .,y^""*\ conjuguées de j^.

Il est clair que les domaines (x, W\ W\ . . .), ( j, K'^ K'> • • •) sont identiques puisque les éléments de l'un des domaines peuvent s'exprimer rationnellement en fonction des éléments de l'autre et que, inversement, les éléments du second domaine peuvent s'exprimer rationnellement en fonction des éléments du premier. De plus, une fonction rationnelle des éléments d'un domaine peut être adjointe au domaine sans l'altérer, et, puisqu'un élément d'un domaine de rationalité peut s'exprimer rationnellement en fonction des autres éléments, on peut l'écarter du domaine.

Diviseurs d'un domaine donné.

Nous pouvons énoncer le lemme suivant :

Lemme. — Si/{x) est une fonction entière irréductible de x dont les coefficients appartiennent au domaine de rationalité déterminé P, et si g (a;) est une autre fonction de x dont les coefficients appartiennent aussi à un domaine P, je dis que, si g(x) a avec f(x) une racine commune ^ chaque racine de f(^x) est une racine de g(x) et, par conséquent, que g (^x) est dii'isible parf(^x) si nous négligeons un facteur constant.

il en résultera aussi que :

1° Une équation irréductible ne peut avoir aucune racine commune avec une équation de degré inférieur;

2° Une équation irréductible ne peut pas avoir de racines multiples;

3^ Deux équations irréductibles ne peuvent pas avoir de racines communes;

4"* Lorsque le produit de deux fonctions entières est divisible par

une fonction irréductible, un des facteurs est divisible par celte fonction;

5** Une fonction réductible ne peut être décomposée en facteurs irréductibles que d'une seule manière.

Soit A (s) une équation irréductible de degré c dont les coefficients appartiennent au domaine fondamental P, et soient z\ z^^\ ..., z^*'-*^ les quantités conjuguées de z. Formons le genre s,

et soit X une quantité appartenant à ce dernier domaine, de telle sorte que, cependant, assoit une fonction rationnelle de z, soit x = <f(z), et formons les expressions

Nous allons maintenant former la fonction

fonction entière de degré c dont les coefficients appartiennent au domaine P.

Je dis que Y(t)estf soit une fonction irréductible, soit une puissance d'une fonction irréductible.

Car si F(/) est résoluble, soit/(/) un de ses facteurs irréductibles de degré a, qui devient nul pour t= 9 (5) par exemple; on a

Cette équation a donc une racine commune avec Téquation irréductible h{z) = o; par conséquent,

de sorte que chaque racine de l'équation F(/) = o satisfait a l'équation irréductible/(r) = o.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 21

Des lors, en négligeant un facteur constant, on a

OÙ n est un entier positif.

Formons maintenant le genus x,

où X satisfait à une équation irréductible /(x) = o de degré a, dont les coefficients appartiennent à P. Puisque x est aussi une quantité appartenant au domaine F, nous voyons que x est une fonction rationnelle de z, et nous dirons que le domaine A est un dimeur du domaine F. De la relation c = a,n, on déduit que le degré du domaine A est un diviseur an degré du domaine F, lorsque A est un diviseur de F. Si n= I, la fonction F(/) est irréductible, et toutes les racines x, x\ . . ., a?^"""*^ de F(/)=: o sont différentes. Dès lors, x satisfait à une équation irréductible de degré n, et les quantités i, x^ x^^ ,.., x*""* sont 6* quantités indépendantes appartenant au domaine F. Donc toute autre quantité z du domaine F peut être exprimée rationnellement en fonction de x, de sorte que l'on a z z=zyj^x), où y^ désigne une fonction rationnelle. Dans ce cas, les domaines A et F sont identiques.

Si /i :^ I , les c quantités ?(-), 9(^')» • • •» çC^^^'^'O Peuvent être distribuées par groupes, dans chacun desquels il y a /i quantités égales, de sorte que

X =9(5) =9(5,) =9(5j) rr. ..=:(p(c„,),

les quantités 9(2^') désignant les quantités ç(z), . . ., 9(5'''^*^), quel que soit leur ordre.

Formons maintenant la fonction '|(/, :r) = o(/) — x^ fonction qui s'annule pour les n valeurs r = 5, s,, . . ., 5^.,.

Soit

le plus grand commun diviseur de la fonction ^{t^x) et de la fonction

de degré c, h(t), de sorte que, dans le domaine A = P(it?), z satisfait

à une équation g{t) de degré n= --

Nous pouvons montrer que, dans le domaine P (a?), la fonction gr(/) est irréductible. En effet, si g(t) était réductible, supposons que le facteur irréductible de g(t) qui contient la racine z soitG(/,rr). Puisque x = 9(5), on a

Mais, comme les coefficients de cette équation appartiennent au domaine P, l'équation G = o s'annule aussi pour les autres valeurs / = j,, . ..,/ = 5,,, pour lesquelles^(ir) s'annule, et, par conséquent, à un facteur constant près, G(x)= g(x), et g(t) est irréductible dans le domaine P(^).

Ainsi, le de<^ré de F relativement au domaine A est-» s'il était c rela-

tiçement au domaine P.

Soit y une seconde quantité appartenant au domaine F, et formons le genus P(j) = B. Supposons qu'il y ait une nouvelle distribution des quantités c correspondant au domaine F, soit

y =^^{Z) =^{Zi) =^(-,) —..,= ^{Zn-x)f

On peut montrer que y est une fonction rationnelle de x dont les coefficients appartiennent au domaine P. Si, de plus, les quantités j, y', . . . , y^-*î sont toutes différentes, x est aussi une fonction rationnelle de y dont les coefficients sont aussi des quantités du domaineP, etles domaines A et B sont identiques. Nous avons ainsi la notion de Videntité de deux gênera V{x) et V{y) qui tous deux sont diviseurs du genus P(5).

Nous avons vu que, si le degré a d'un domaine diviseur A est plus petit que le degré c du domaine F, il correspond à ce diviseur une distribution des c quantités x^ x^^\ .. .,0?^*^-*^ en un groupe de /i quantités égales. Mais les c ne peuvent être distribués en un système de n parties égales que d'un nombre fini de manières. Il peut se faire qu'à plusieurs de ces distributions il ne corresponde aucune division du

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. :23

domaine F; mais à chaque division il correspondra une seule distribution.

Donc un domaine algébrique n'a qu'un nombre 6ni de divisions différentes; et Ton peut voir, réciproquement, que, si un domaine n*a qu'un nombre fini de divisions, il est algébrique (w/r, par exemple, Bachmann, Math. Ann,, t. XVIII, p. 449)«

Réduction d'un domaine de rationalité lorsque, au lieu du domaine fondamental P, on prend pour domaine de rationalité un autre domaine P(j) dérivé du domaine fondamental.

La quantité x étant une quantité primitive de P(^) = A satisfait à une équation irréductible fa{oc) = o de degré a. Soit y une quantité dérivée de P et une quantité primitive du domaine P(j) = B de degré b. Soit, de plus,

r:r.P(^)xP(7) = P(^)

de degré c le plus petit commun multiple de A et B.

Dès lors, puisque A est un diviseur de F, a; = ç(s) est une fonction rationnelle de z et l'on a c = a.n où /i est un entier; de même c = b.m où m est un entier.

De plus, puisque P(z) = 'P(x,y), z est une fonction rationnelle de X et de j telle que z = -^(x, y), par exemple.

Si maintenant nous adjoignons y au domaine fondamental, dans le domaine résultant, en vertu des équations a? = (p(3), js = y(a;,r), X sera une fonction rationnelle de z et aussi z sera une fonction rationnelle de X. 11 résulte par suite que, puisque z est une fonction primi

tive du domaine jt» x est aussi une quantité primitive de ce domaine e( satisfait à une équation irréductible de degré -r que nous avons appelée

Dès lors, si P est le domaine de rationalité, le domaine A est de degré a. Mais si P( j) = B est choisi pour domaine de rationalité, A est

de degré a'= t; et dans ce dernier cas A peut être représenté par une

2^ IIARRIS HANCOCK.

expression de la forme

où les p sont les quantités rationnelles du domaine P(y). Si, d'autre part, A était ajouté au domaine fondamental P, le degré de B serait

Des lors, b' et a' sont reliés par la relation c = ab'z= ha'. Soi t B = P(r) un domaine dans lequel y est une quantité primitive, et soit y' une quantité conjuguée de y. Si F(M,y), G(i/, j), sont deux fonctions telles queF(w, y) soit divisible parG(«,7), il en résulte que F(//,y) est divisible par G(w,y).

Nous avons dit plus haut que, dans le domaine P, x satisfait à l'équation irréductible/(M) = o, et que, dans le domaine P(y), x satisfait à l'équation irréductible G^(w, y) = o. Il en résulte quey«(w) est divi-

sible par G^(^,j) et, par conséquent, aussi par G,.(a, y'), puisque

/.(") ^^s^^ invariable quand y' est remplacé par y.

Dès lors, chacune des quantités G(M,y), G(w, y), ..., G(w,y*~*^) contient au moins une des racines de/(ii). Et puisque les coefficients du produit de ces fonctions apparliennent au domaine P, il en résulte que ce produit est égal à une puissance (\e/(u) et par suite à la puis-

sance -• a

Plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs domaines.

Soient A et B deux domaines dérivés du domaine fondamental P. Ces deux domaines ont, en général, en plus des quantités qui appartiennent au domaine P, d'autres quantités en commun. Toutes les quantités qui sont communes aux deux domaines forment un autre domaine qu'on appelle le plus grand commun diviseur des deux domaines. Si A et B sont des domaines finis, D est aussi fini ; et si / est une quantité primitive de D telle que D = P(/), / est une fonction rationnelle de x et y

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 25

Considérons les quatre domaines définis plus haut A, B, T, D de degrés respectivement égaux à a, é, c et d.

La quantité u = x satisfait à l'équation irréductible /^(w) = o relativement au domaine P et à l'équation irréductible G^.(w, j) = o rela-

tivement au domaine P(j). Soit maintenant D le domaine de rationalité donné. Dès lors, relativement à ce domaine, u = x satisfait à l'équation H^(w,/) = o, où les coefficients appartiennent au domaine D et,

puisque D est un diviseur deB, aussi au domaine B. Par suite, a? satisfait dans B à l'équation H^(w, /) = o et, comme nous l'avons dit plus

haut, X satisfait aussi dans B à l'équation irréductible Gç(a, j) == o.

Dès lors Ha(w, /) considéré comme fonction de u doit être divisible par Gc(M,y) et par conséquent

Sous certaines conditions, cd=iaby par exemple dans le cas des domaines normaux (GdXo'i^) {voir Çé. Jordan, Afa/A. Ann., t. I, p. i4i> ou Bachmann, Math. Ann., t. XVIII, p. 46o).

Si A est un domaine normal, d'après la définition d'un tel domaine les racines x^^\ x^^\ ..., x^"^-^^ de l'équation irréductible fa(u) = o peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de x, quantité primitive à laquelle, dans ce domaine, elles sont conjuguées.

G((/,j), étant un diviseur de /(m), contient quelques-unes des racines de/(a), de sorte que, par conséquent.

Les coefficients de G(u,y) appartiennent au domaine B; mais puisque x\ x", y . . . , sont des fonctions rationnelles de x^ ces coefficients appartiennent aussi au domaine A et, par conséquent aussi à D, le plus grand commun diviseur de A et B. Mais dans D la quantité u=^x satisfait à l'équation irréductible H(a)=o; dès lors G est divisible par H et, puisque, d'après ce qui précède, H était divisible par G, il en résulte que G = H ou a6 = cd,

Égalité relative de deux domaines.

Supposons que du domaine fondamental P on ait dérivé le domaine P(œ) = K dans lequel la quantité primitive x satisfait à l'équation irréductible /j(«) = o, de sorte que chaque quantité appartenant au domaine A peut être mise sous la forme

les quantités R appartenant au domaine P.

Supposons maintenant que d'un autre domaine fondamental P' on ait dérivé le domaine P^*^) = A' dans lequel la quantité primitive x satisfait à la même équation irréductible /«(^^) = o, de sorte que les coefficients de cette équation appartiennent aussi au domaine P'.

Nous dirons que les deux domaines A et A' sont relativemenl égaux.

Les coefficients de/^(w) = o appartenant aux deux domaines P et P'

appartiennent au plus grand commun diviseur de ces domaines. Dès

lors, toutes les quantités du domaine A' peuvent être mises sous la

forme

Rj4-Rîx-h...-+-Ri,.r«-»,

où les quantités R^, ... appartiennent au domaine diviseur. Nouspouvons maintenant établir comme il suit le théorème démontré plus haut.

Si c^ = «6, les deux domaines n et ^ sont relatwemeni égaux.

Car dans -g la quantité x est une quantité primitive qui satisfait à l'équation irréductible Ha(w) = o, et o? est aussi une quantité primi-

tive du domaine ^r satisfaisant à l'équation irréductible Gc(w, j) = o.

De plus, puisque G^Cw, j) = H^(tt), comme nous Tavons montré

plus haut, il en résulte que les domaines g et ^ sont relativement

équivalents.

Sur les domaines relatifs de rationalité, voir Hilbert, Jahreshericht der Deuts. Math. Vereinigung, t. IV, p. 2o3.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 27

Extension de la notion de division. Modules et idéaux.

Nous pouvons dire qu'un nombre entier algébrique [x appartenant au domaine ù est décomposable en facteurs, s'il existe dans ù deux entiers algébriques [x, et [x, différents des unités algébriques de ûtels que

Cette définition correspond à la définition de la divisibilité des entiers rationnels.

Car si (JL = jjL, [Xj, si, de plus, nous désignons le norme de [x par /w, et si nous écrivons N([x,) = /w,, N([X2)==/W2, on a m^= m^m^^ de sorte que la divisibilité de [x par les deux facteurs [x^ et jXj correspond à la décomposition de l'entier rationnel m en deux facteurs qui sont ici /w, et m^\ aussi, correspondant au cas où les normes sont des nombres premiers, il est clair qu'il existe des entiers algébriques qui ne sont pas décomposables en facteurs.

Mais ici nous rencontrons une difficulté : La décomposition d'un nombre algébrique en fadeurs irréductibles nest pas unique. Prenons, par exemple, le domaine (2 = P(0), où

Dans ce domaine 6 = 2.3 == (i -f- 6)(r — 0) et, dans les deux cas, les facteurs sont irréductibles [t^oirDEDEKiND (' ), p. /pï].

Pour surmonter la difficulté, nous ferons usage de la notion de division généralisée comme il suit par Kummer.

Dans le domaine des nombres rationnels P, nous savons ce que l'on appelle le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres a, 6, c, Ce diviseur d peut être mis sous la forme

où a?, j, s, ... sont des entiers déterminés.

(1) Nous n'indiquerons que le nom de M. Dodekind lorsque l'on devra se reporter à la Dirichlet's Zti/tlentheorie, par Dedekind, 4* édition.

:28 HARKIS HANCOCK.

Nous pourrons dire qu'un nombre rationnel m est divisible parle complexe a, b, c, ..., lorsque nous pourrons déterminer des entiers Jo\y, z\ ... tels que

Mais il est clair que, tant que nous resterons dans le domaine P, cette conception de la divisibilité sera superflue, puisque tout nombre divisible par le complexe a, 6, c, ... est divisible par le plus grand commun diviseur d des nombres a, 6, c, . . ., et tout nombre qui est divisible par d est divisible aussi par le complexe a, b, c, .... Dès lors, tant que nous resterons dans le domaine des nombres rationnels, la notion de divisibilité par le complexe a, &, r, ... est identique à celle de la divisibilité par d.

L'entier m est divisible par rfs'il existe un entier x tel que m = dx.

Nous avons encore le tbéorëme suivant : Si le produit de plusieurs entiers est divisible par un nombre premier p, au moins l'un de ses /acteurs est dinsible par p \ de là, il résulteque tout entier est décomposable en un produit d'un nombre fini de facteurs entiers et cela d'une seule manière.

Mais si le domaine û est un domaine algébrique arbitraire, on dit encore qu'un nombre algébrique jjl de ce domaine est divisible par un entier algébrique S appartenant à ù si l'on peut déterminer dans û un entier algébrique \ tel que l'on ait [x = S^.

On dit de même que le nombre algébrique [x est divisible parle complexe formé des nombres algébriques a, p, y» • • • de û si l'on peut déterminer dans û des entiers algébriques ^, y], C, ... tels que

/jL = «^ -4- (3y} -+- yÇ 4-

Cette conception n'est plus superflue. Car supposons que S soit un autre nombre algébrique par lequel les nombres algébriques a,p,y, ... soient divisibles, chaque nombre qui est divisible par le complexe a, p, y, ... est aussi divisible par S. Mais la proposition inverse n'est pas vraie; tout nombre qui est divisible de S n'est pas forcément divisible par le complexe a, p, y, ... ; car, dans ce cas, S doit avoir la forme

= a|' -f- (3y}' -f- yÇ' -+-... ,

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 29

OÙ ^', Y)', C» . . . sont des entiers algébriques de ù, et, dans cette hypothèse, S est divisible par chaque diviseur commun aux nombres a, ^, Y, ... et doit être, par conséquent, le plus grand commun diviseur de ces nombres dans le sens qu'on lui donne ordinairement dans la théorie des entiers rationnels.

Mais, dans ce sens, le plus grand commun diviseur des nombres algébriques a, p, y, ... n'existe que tant que nous restons dans le domaine infini des entiers algébriques. Si nous ne considérons plus le domaine ù, il existe quelque chose qui est l'analogue du plus grand commun diviseur des nombres rationnels. D'autre part, à moins que nous ne prenions un domaine fini de rationalité déterminée auquel toutes nos quantités doivent appartenir, il n'existe rien d'analogue au nombre premier, et la notion de décomposition unique d'un entier en facteurs premiers n'existe plus. En effet, tant que nous resterons dans le domaine infini de tous les nombres algébriques, si a est un entier algébrique, ai = yfôiyja et ^ol est aussi un nombre algébrique. Par conséquent tout entier algébrique est décomposable en facteurs ad infinitum.

Dès lors, la notion de divisibilité par le complexe des nombres algébriques a, p, y, . . . n'est plus superflue lorsque nous nous limitons à un domaine fini déterminé û; et nous pouvons, par conséquent, dire (\\x'un nombre algébrique \k est divisible par le complexe a, p, y» • • • ^'*' est possible de déterminer des entiers algébriques Ç, y], ^, ... tels que

^ = «^ 4- (3yi -h yÇ 4- . . . ,

où toutes les quantités introduites appartiennent au domaine £2.

Par cette définition, nous arrivons à la théorie des formes linéaires

«1 -I- (3yî -h yÇ

OÙ les variables ^, y], ^, . . . , sont des entiers algébriques de û, tandis que les coefficients de la forme linéaire a, p, y, .. . sont des nombres entiers ou fractionnaires du domaine û.

L'ensemble des nombres algébriques qui sont représentés par la forme linéaire

où les coefficients sont des nombres de û et ^, j, z, ... des entiers

3o flARRIS HANCOCK.

rationnels, est appelé par Dedekind (p. 494)'worfMfe (*) et désigné par [a, p, y, . . . ] =r. a, par exemple. Les quantités a, p, y, . . . s'appellent les éléments du module.

La définition suivante du module est plus générale et plus abstraite en ce qu'elle ne fait pas inlervernir la conception de la forme linéaire : Un module est un système de nombres ayant la propriété suivante : la différence de deux nombres quelconques du système est un nombre qui appartient au système.

Un nombre (x est divisible par le module [a, P» y, . . .], lorsque l'on peut déterminer des entiers rationnels x, y, z, . . . , tels que

et le module

est divisible par le module

lorsque P,(« = i, 2, 3, ...) est divisible par a, ou, ce qui revient au même, lorsque tout nombre divisible par b est aussi divisible par a.

Si tous les nombres divisibles par le module a peuvent être mis sous la forme

OÙ x^, X.2 x„ sont des entiers rationnels et les coefficients a,,

ag, ..., oLn des nombres divisibles par le module a, le module a est appelé module f ni de rang n, et les quantités a, ,aj, . . . , a„ s'appellent base de ce module.

Le produit ûb de deux modules a et b peut être défini comme le complexe de nombres formés en ajoutant de toutes les façons possibles les produits a^ où Ton doit prendre pour a tout nombre divisible par a et pour p tout nombre divisible par b.

(1) Comme le fait Dedekind (p. 540, i^^us appellerons cet ensemble de nombres un module pour ne pas confondre avec le mot modulus de Gauss. Ces mots ont respectivement modules et moduli pour pluriels.

SUR LES SYSTÈMES MODILAIRES DE KKONECKER. 3l

En particulier le produit de deux modules finis

a = («,,«„ ...,a,,) et b=:(p,,(3„ ...,p,„)

est

Le quotient des deux modules a et h peut se définir comme étant le complexe k de tous les nombres k, tels que ko > b où, avec Dedekind (p. 49^), nous emploierons > comme symbole de la division ; de sorte que ka > b signifie que ka est divisible par b.

Si Ton a ktt > b, on a aussi k > - et vice versa : si k > - on a aussi

ka>b.

Soit b un module et désignons par a* le module -• Dès lors le module a" est formé de tous les nombres k qui sont tels que kû>a. Il est clair que l'unité est comprise parmi ces nombres et par conséquent

Si maintenant k est un module et si ka>a, on a k>a^; et si k>a*', on a ka> a.

Sur le module a'\ on peut démontrer les théorèmes suivants

Un^nodule £ qui a les deux propriétés

I" Se > e,

est appelé par Kronecker un Art ou Species (Grundzuge, p. i5); par Dedekind (p. v^o5) un ordre (Orc/nung).

Puisque i > £, on voit que tous les entiers rationnels sont divisibles par un species.

Nous pouvons donc appeler a^ le species de module a. Ce module a? a, pour le module a, les mêmes propriétés que Yuniié dans le domaine des nombres rationnels.

Modules de rang n dans un domaine de degré n, — Les modules qui appartiennent k un domaine û de degré n peuvent être soit linis, soit infinis. Dedekind (p. 497) donne un exemple de module infini. Dans un domaine de degré n le rang d'un module fini ne peut être plus grand que n\ sinon le domaine contiendrait plus de n quantités indépendantes. Si donc a = | a, , a^, . . . , a^] est un module dans û et de rang/^, et si les éléments a,, aj, .. ., a,, forment une base de ce module, tous les nombres qui appartiennent au module peuvent être mis sous la forme

OÙ les X sont des entiers rationnels; et tous les nombres appartenant au domaine û sont de la forme

où les rsont des nombres rationnels.

Supposons que ^ soit une quantité arbitraire du domaine £2, telle que

[3 — a, p, H- a, Pj 4- . . . -h «„ p„

et supposons que Tentier p soit le plus grand commun diviseur des entiers qui entrent dans les dénominateurs de p,, p^, . . ., p;.; on a

p(3i=aip,p4-aipjp-f-. . .4-a„p«p.

Puisque p^ç^, p^?^ •-•' Pnp sont des entiers, il est clair que p^ est divisible par le module a. Dès lors, nous avons le théorème suivant :

Toute quantité appartenant au domaine Hpeutj en la multipliant par un entier rationnel, donner une quantité qui appartienne au module a.

Un domaine est un module de rang infini. Tous les entiers algébriques qui appartiennent a û (domaine de degré n) forment un module fini de rang n. Dedekind désigne ce module par \^ (p. 537). Si les n

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. Vi

entiers algébriques «i, «^2, . . . , i^^ forment une base du module r, la forme linéaire

représente, pour des valeurs entières et rationnelles des variables .r,, .^2, . . . , iT;, les entiers algébriques du domaine £2, et tout entier algébrique de Q peut être mis sous la forme

oixx^, X.2, . .. , x„ sont des entiers rationnels.

Modules entiers. — Nous pouvons maintenant définir un module entier, un module qui est divisible par le module v.

Puisque tout domaine, à l'exception du domaine trivial formé seulement de zéros, contient l'unité, il en résulte que le module r est tel que

et, par conséquent, il en résulte aussi que les entiers rationnels sont divisibles par r.

Puisque le produit et la somme d'entiers algébriques sont des entiers algébriques, nous avons aussi

(a) i'i' ou i'-> V.

De plus, puisque i > (' et ^^ > ^, on a et, de (a) et (6), nous déduisons

Dès lors, V est un species.

Puisque, de plus.

on voit que v est son propre species.

Nous appellerons, par conséquent, v le species principal. Kronecker se sert aussi du mot Hauptart (Grundziige, p. i >).

34 UARRIS IIAXCOCK.

Entiers algébriques. — Nous pouvons aussi donner une nouvelle et meilleure définition d'un entier algébrique : St y) est un nombre algébrique tel quil existe un module fini û, tel que y;a ]> a, yj est un entier algébrique, et si Y] est un entier algébrique^ il existe un module fini tel que y; > a.

Etant donnée cette définition des entiers algébriques, on peut établir les tbéorëmes suivants :

\^ Si OL et ^ sont des entiers algébriques, la somme, la différence et le produit de OL et i^ sont des entiers algébriques ;

2® Si (0 satisfait a une équation algébrique dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de la variable est l'unité et les autres coefiîcients sont des entiers algébriques, w est un entier algébrique.

Soit H un domaine algébrique de degré n et soient (jl, a, p, y» • • • des nombres arbitraires appartenant à ce domaine. On dit que [x est divisible par le complexe a, [3, y, . . . lorsqu'il existe dans H des nombres algébriques ^, yj, 2^, . . ., i**, qui ont la propriété d'être des entiers algébriques et, 2", qui sont tels que

fji == «4 +-j3yî 4- yC -h . . . .

On voit que le système des nombres tels que [x, qui peuvent être représentés par l'expression ci-dessus, forment un module d'après la définition générale du module donnée p. 3o.

De plus, si q^4, (Va, . . . , iv„ est une base du système s^ d'entiers algébriques de 12 telle que

yj— (»'i^'j*'-h (v,a-',*^-h. . .-hM'«^;/\

|ji a la forme

Puisque cLi^\, olw^, . .. sont des nombres appartenant au domaine û, on voit que [x peut être donnée par une forme linéaire d'un nombre fini d'entiers rationnels dont les coefficients appartiennent à û.

SIR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KROXECKER. 35

Comme ce nombre est fini, le rang de ce module ne peut être plus grand que le degré /i de 12 et, de plus, puisque w^, w.^^ . . ., ^v^ sont indépendants, le rang n'est pas inférieur à n.

Dès lors, le module formé de tous ces nombres algébriques [x du domaine û, qui peuvent se mettre sous la forme

«^ + (3r3 H- yC -h . . . ,

OÙ les coefficients a, p, y, . . . sont des quantités entières ou fractionnaires de 12 et les nombres Ç, yj, Ç, . . . des entiers algébriques de Ù, est un module de rang n dans le domaine û de degré n.

Ce système de nombres s'appellera un idéal et sera désigné par (a, p, y, . . .). Si, dès lors, a, p, y» • • • sont des quantités de û, l^ idéal (a, p, y, . . .) est formé de tous les nombres contenus dans

l'expression

aç -h Pm 4- yÇ H- . . . ,

oei Ç, Y], JI, . . . sont des entiers algébriques de û, tandis que le module [a, p, y, . . .] est formé de tous ceux de ces nombres qui sont contenus

dans V expression

a| 4- ^Yî -h yÇ 4- . . . ,

ozi ^, Y), J^, . . . sont des nombres entiers rationnels.

On voit en même temps ( voer Deoekixd, p. 5ji) que si

(>arro, - =: tt Ct aUSSl û®— i'.

De la dernière relation, il résulte que le species d'un idéal est le species principal. Nous pouvons alors définir les idéaux comme étant ceux des modules finis dont le species est le species principal.

Le ^/?mé?5 principal (^ est lui-même un idéal, puisque vv=zv, et cet idéal ç' a la même place dans le domaine £2 que l'unité dans le domaine des nombres rationnels.

Un idéal est entier lorsqu'il ne renferme que des nombres entiers algébriques. Dans le présent Mémoire, nous n'aurons a considérer que des idéaux entiers, et la discussion qui va suivre se bornera aux idéaux de cette sorte.

3G IIARRIS IIAXCOCK.

x\vec Dedekind {note de la p. 49^), nous désignerons le plus grand commun diviseur de deux modules par le symbole -h et par le symbole — le plus petit commun multiple de deux modules.

Deux idéaux n et b sont premiers entre eux lorsque

Un idéal entier a, qui n'est divisible par aucun autre idéal entier, sauf par a et v, s'appelle un \àéd\ premier; et si a n'a pas cette propriété, on l'appelle un idéal composé.

Système modulaire de Kronecker. Congruences supérieures.

DdiXi^ les Disquisitiones Arùhmelicœ (Art. l), Gauss donne la définition suivante : Si la différence de deux entiers rationnels a et b est divisible par l'entier rationnel /w, les entiers a ci b sont dits congruenis relativement à m; nous appellerons /w le modulas et chacun des entiers a et b est dit, dans le premier cas, un résidu de l'autre; dans le second cas, un non-résidu.

Plus loin (Art. 2), il montre que tous les résidus d'un nombre entier a, relativement au modulus m, sont contenus dans la formule

a -h kniy

où k est un entier indéterminé.

Des lors, tous les entiers qui peuvent être mis sous la forme

..., a — 3/?2, a — 2 m, a — m, a y a -{- r?i, a-\-im a -{-3 m, ...,

seront dits congruents, modulo m^ et la série des nombres a -h km est complètement déterminée par les deux quantités suivantes : le modulus donné m et un terme quelconque de la série.

Kronecker ( IVerke, t. HT, p. i48, ou Journal de Crelle, t. 99, p. 33o et suiv.) dit que deux formes linéaires des variables x et x\

a -h bxy a' -\- b' x'

sont équii^alentes, si l'une peut se transformer en l'autre par les substitutions entières

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KROXECKER. 37

Les conditions nécessaires et suffisantes de cette équivalence sont donc

b=±b', a^^a! (niod 6);

de sorte que la conception de la congruence de nombres ai=a'(mod/7î) est entièrenient identique à la conception de Téquivalence des formes linéaires a-^mx et a'-\-m'x (iwr aussi Kroxecker, t. IIP, p. ii4)- Le passage naturel de la notion de congruence à un seul modulus à la notion plus générale de congruences relatives à un système de moduli s'impose immédiatement lorsque, au lieu de formes linéaires à une variable, nous considérons des formes linéaires d'un nombre quelconque de variables telles que

OÙ toutes les quantités introduites sont des entiers rationnels; et, comme plus haut, nous dirons que les deux formes

/* = (JL A- = V

sont équivalentes, lorsque Tune peut se transformer dans l'autre par les substitutions entières

(/iz=|,2, ...,fx; /:=: 1, 2, ...,v),

dans lesquels les c sont des entiers rationnels.

Dès lors, les conditions nécessaires et suffisantes pour que les formes

a-h ^ /«/,.r/, et ^'4- ^ ^^'k-^'k

hz=l k=t

soient équivalentes sont exprimées par les équations

( B ) /?!/, = 2 ci./, w^, m\. = 2 c/,x: m/,

{h = i,2j . . ., fx; k = i,2, . . ., v).

Les coefficients entiers c et c' dans les équations (A) et (B) ont des valeurs particulières. Donnons-leur toutes les valeurs entières; comme dans le cas d'un seul module, Vensemble des nombres qui peuvent se mettre sous la forme

peut être caractérisé en disant quMIs sont congruents Tun à l'autre, relativement au système modulaire [/w, , m^, . . . , m^\.

Si nous tenons compte des relations (B), l'ensemble des nombres qui appartiennent a la forme

est le même que celui des nombres qui appartiennent à la forme

de sorte que la notion de l'équivalence des deux systèmes modulaires

(/«!, m,, . . ., /W(jt) et (/?«i, /Wj, . . ., Wy)

en est une conséquence naturelle. Ces équations (B) sont, par conséquent, caractéristiques de l'équivalence

Dès lors, les conditions nécessaires et suffisantes de l'équivalence des formes linéaires

a-\- 7 m^xu et a' -\- ^m^.x).

sont exprimées par la congruence

a == Ui (mod /;ij, /;?j, ,..^m^),

en même temps que Téquivalence

SLR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 3iJ

En procédant de même, nous pouvons étendre la notion de systèmes modulaires, dans le cas traité ci-dessus, au cas plus général où A, M,, Mg, ..., Mjjt; A', M'^, M'2, . .., Mv sont des quantités entières du domaine ^.

Nous définirons l'équivalence des systèmes modulaires

(M„M„ ...,M,x) et (m;,m;, ...,m;),

et la congruence de deux quantités A et A' relativement à l'un de ces systèmes modulaires par le système d'équations

(A) A =^A' + 2^ioM;., A' =:\-^^bnoMfn

(B) Mu^^b',,.M;, M-,=^b,.tM„

(h— 1,2, .. .,|Li; k=i 1,2, .. ., V),

dans lesquelles les b et les b' sont des quantités entières de i2.

Ces mêmes équations servent aussi à définir l'équivalence des formes linéaires

/* = pi A = V

A +2**"^" ^^ A' +2 Ml. Xi,

A = 1 A- rr 1

puisque, à l'aide des équations (A) et (B), ces formes peuvent être transformées l'une dans l'autre par des substitutions à coefficients entiers appartenant à il; etl'équivalence de ces deux formes linéaires est caractérisée par la congruence

A^ A'(modM',M2, . . ., M,x),

en même temps que l'équivalence

(Mj, M2, . . ., Mjjt) 00 (M',, M'j, . . ., Mi).

Si les (JL équations (B) sont vérifiées, c'est-à-dire si

M/t = o(modMi, Mj, •••>Mv) (A — r,2, . .,/jl),

on dit que le système modulaire (M,, Ma, . . ., M^) contient le système (M'^, M'2, Mv), et si les deux systèmes se contiennent l'un et l'autre.

4o HARKIS HANCOCK.

nous avons Téquivalence (')

(M,, M„ ...,m^.)oo(m;, m;, ..., Mi).

Dès lors, si nous nous servons de la notion de division déjà introduite, et si nous disons qu'une quantité k est divisible par le système modulaire

lorsque

A'= o (modM',, M',, . . ., MO),

nous voyons qu'un système modulaire contient un autre système modulaire lorsque chaque élément du premier système est divisible par le second svstème, c'est-à-dire si

(Ml, Mj, . . ., M^) = o(modM4, M^, . . ., Mi),

ou, en se servant du svmbole de la division dû à Dedekind, si l'on a

(Ml, M*, . . . , M,x) > (Ml, M'j, . . ., M'y).

De même si

(m;,m;, ...,m;)>(M„Mî, ...,Mp.), •

nous avons l'équivalence

(Ml, Mj, . . .,M,x) '^ (M,, Mj, ...,Mi).

De ce qui précède il résulte qu'un système modulaire contient un autre système modulaire lorsqu'il est divisible par ce système modulaire. Dès lors, les deux notions : être dmsiblepar et être contenu dans, qui sont, dans le langage usuel, opposées l'une à l'autre, sont ici identiques.

Si, pour abréger, nous désignons le système modulaire

(M,,M„ ..., M^) par M, et si nous posons

(*) f^o£> Kroneckbr, Journal de Crelie, t. 99, p. 432, ou Werke, HP, p. i5i, et aussi Journal de Crelie, t. 92, p. 77, ou If'erAe, II, p. 33 î.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. /jl

nous dirons que le système modulaire M est.dmsible par le système modulaire M' lorsque toute quantité divisible par M est aussi divisible par M'.

Celte définition est en contradiclion avec la notion habituelle de division; car ici la partie est divisible par le tout. Elle est aussi en contradiction avec la notion de divisibilité de deux domaines de rationalité, mais comme nous n'aurons guère à nous occuper des domaines de rationalité, qui, comme nous l'avons dit ci-dessus, ne sont pas des modules finis, nous ne risquons pas de faire de confusion.

Si M est divisible par M', nous dirons que M' est un diviseur àe^, M et que M est un multiple de M'.

Si M > M' et M' > M", on a M > M".

Les élémentsMi, ftlj, . . ., Mj^; M',, M^, . . ., M^ ont été définis comme étant des quantités entières du domaine (2.

Nous prendrons pour les éléments M,, ..., M^, M'^, ..., M^ des fonctions entières d'une ou de plusieurs variables dont les coefficients sont des entiers algébriques de £2, et nous nous imposerons de plus la condition que (x et v soient des entiers finis.

Il est évident que tout système (M,, M^, ..., ^\^) peut être transformé en un système équivalent en ajoutant ou en retranchant de ch?que élément du système un ou plusieurs des autres éléments; et tout élénfîent peut être ajouté à un système modulaire ou en être enlevé lorsque cet élément est divisible par les éléments qui restent (la divisibilité étant prise dans le sens que nous avons employé plus haut).

Supposons que

soit un système modulaire dans lequel p est un entier rationnel pre-

mier./, (a:),/2(a?), ...,/«(^), fi^{x), //^(a:), ...,*h„,(x) des fonctions

entières en j? a coefficients entiers rationnels, ou, comme nous dirons

pour abréger, des fonctions qui appartiennent au domaine d'intégrité

[i, or]; les entiers m ei n sont finis. Le domaine général d'intégrité est

ainsi limité au cas très spécial [i, x], afin de pouvoir démontrer un

théorème qui éclaircira plusieurs des principes fondamentaux déjà

établis.

Nous (lirons {voir aussi p. 29) qu'une fonction /(a;) est divisible par une fonction ^(^) relativement au modulus/?, lorsque nous pourrons trouver dans le domaine d'intégrité [i, x\ deux fonctions o(x) et '\f(x), telles que

ou

f(^)'=g(^)9i^) (mod/?).

Lorsqu'on ne peut pas trouver de telles fonctions on dit que/(x) est irréductible (mod/>).

Nous allons démontrer le théorème suivant :

Si les m fonctions précédentes /i^(x), h^^x)^ . . ., h„(x) dépendent linéairement des n fonctions linéairement indépendantes f^ (x),f (x), . . . , f„(x) ( mod p)^ le système ( I ) peut être remplacé par un système qui ne contient que n éléments qui sont linéairement indépendants (mod p).

En effet, si h^(x) dépend linéairement des fonctions /(x), nous avons

oui(x), 9i(a?), <p2(ic), . . ., 9«(^) sont des fonctions de [i,irj.

De plus si

^{^) = gi{^)f^i{^) (mod/?),

où gi (x) est irréductible (mod/?), il s'ensuit que

(0 gï (J^) ^1 (^) /'i(^)=/t {^) ?i {^) -^M^) ?î(^') -I- . . . -f-/« {^) ?/, W (mod/>),

et que toutes les fonctions (p,(^), o^{x), . . ., On{x) ne sont pas divisibles par g^, (a:) (mod/?); sinon gi{x) pourrait être mis en facteur dans l'expression (1).

Supposons que g%{x) et 91 (^) n'aient pas de facteur commun (mod /?), de sorte que nous puissions, par conséquent, par l'algorithme du plus grand commun diviseur, déterminer deux facteurs G, (.r) et Oi {x) tels que

g^{x) G| {x) -h 9,(^-) <ï^i(^) = » (mod/?).

En multipliant la congruence (i) par G, (^), nous avons

= G,(^)[/i(:r)cp,(^) -+-/,(^)9î(a:) H-. . .+ /"«(x) 9„(x)] (mod/?),

SUR LES SYSTÈMES MODILAIRES DE KRONECKER. /\3

OU, si nous posons ^

il s'ensuit que

-+-Gi('2^)f/î(-^)?i(»2:)-+-...-h/«(.r)9„(x)] (mod/?);

De même, en multipliant (i) par $| (a?), nous avons

H-^i(-'r)[/,(J?)?i(^)4-...-+-/«(^)©«(^)] (mod/^)

ou

(3) /,(.r)^ ^,(x)/n^(x) + <1^,(^) [/,(j:) 9,(j:) 4-. . .-h/„(a')9„(x)] (mod/.).

On voit, d'après la relation (a), que/^*^(a7) peut être ajouté comme élément au système modulaire (I), et d'après (3) il s'ensuit que, lorsque cela aura été fait, nous pourrons enlever/^ (x) do ce système.

Nous remarquerons de plus que /'^(rr),/^ (a;), /a (a?), . . ,,/„(x) sont linéairement indépendants et que les éléments h^ (x), h^ (x), ..., ^m(^) peuvent s'exprimer linéairement en fonction de ces éléments.

En comparant les relations (i) et (2), on voit que, dans le premier cas :

g^{x)k^(x)h^(x) pcut s'cxprimcr linéairement en fonction de

/, (a?), /a (a?), ...•/a(j?), et dans le second cas que kt(x) h^(x)

peut s'exprimer linéairement en fonction de 7^*^(0;), /i(a;) /n{^)'

Mais, dans le second cas, nous avons fait disparaître un des facteurs irréductibles (mod p)gi(x) de k(x).

En continuant de la sorte, nous pouvons arriver à faire disparaître, l'un après l'autre, tous les facteurs irréductibles de k(x) et, par conséquent, k(x) lui-même. Nous aurons donc finalement exprimé h^ (x) par une fonction linéaire de n variables indépendantes qui remplace

À (^)^A (•^)» • • ••/«(•^) ^^"^ "" autre système, sans que le système initial cesse de rester équivalent à lui-même. L'élément A,(j?) peut être supprimé du système. Nous pouvons, de la même manière, enlever tous les éléments h.,(x), ..., h„,(x), et nous avons encore un système qui est équivalent au système modulaire (I).

En employant les méthodes qui ont été données ensuite, on peut démontrer ce même théorème pour les systèmes modulaires qui ont pour éléments des fonctions entières de plusieurs variables dont les coefficients sont des entiers algébriques de il.

Plus petit commun multiple de deux systèmes modulaires.

Si

M = (Ml, M„ ...» Mja), N=(N„Nj, ...,Nv)

sont trois systèmes modulaires dans lesquels les éléments sont des fonctions entières d'un nombre quelconque de variables et dont les coefficients sont des entiers algébriques de £2 et si, de plus,

L>M et L>N,

L est un multiple de M et de N.

Toutes les quantités qui sont divisibles par L sont divisibles à la fois par M et par N. 11 peut y avoir d'autres quantités qui sont divisibles à la fois par M et par N et qui ne le sont pas par L, et il peut se faire encore qu'il n'y ait aucune quantité divisible à la fois par M et N.

Dès lors, s'il existe un plus petit commun multiple L des deux systèmes M et N, il jouit des propriétés suivantes :

i** Il est divisible à la fois par M et par N;

2° Un autre multiple commun à M et N est divisible par L.

Avec Dedekind (note de la p. 495), nous écrirons

Il s'ensuit immédiatement que, si M, N et P sont trois systèmes modulaires qui ont un plus petit commun multiple,

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. /|5

Plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs systèmes

modulaires.

Soient

M = (M,,Mj, ...,M|x),

N=(N„ N„ ...,Nv),

trois systèmes modulaires et supposons que Ton ait

M>D et N>D.

D sera alors un diviseur commun à la fois à M et N.

Si D est le plus grand commun diviseur de ces deux systèmes, il a les deux caractéristiques suivantes :

M>D et N>D;

2° Un autre diviseur commun K à M et à N est un diviseur de D. En employant la notation de Dedekind» nous écrirons

On voit immédiatement que

D=:(Mi,Mj, ...,M|x, N,,N2, ...,Nv), (Ml, M„ ...,MjjL, N,,N2, ...,Nv)

car 1*^

est un diviseur des deux systèmes M et N;

Et 2® si K est un diviseur de M et N, de sorte que Ton ait

M>K et N>K,

on a

(Mi,Mî, ...,M,j., N,,Nj, . . .,Nv)>K.

Dans le domaine des nombres rationnels, deux entiers sont dits premiers entre eux lorsque leur plus grand commun diviseur est Tunité.

Dans le même domaine, deux systèmes modulaires M et N sont dits

46 HARKIS HANCOCK.

premiers entre eux lorsque M -4- N = i, c'est-à-dire lorsque

(Mi,M„ . . .,Mji, N,,N„ . . .,Nv) — I.

Lorsque celte condition est rennplie on voit que Tunité est un élément qui peut être adjoint au système

( M„ Mî, . . . , M(„ Ni, N„ . . . , Nv).

Par exemple, les systèmes (2,3;^), (2, i -f-a?) sont premiers entre eux. Car on a

(•3,07', I -f a*) on ['îjj''— J7( H- jr), I -f x] c/n (2, — X, i-H.r) 00 (2, — JT, i)c/^ I.

Dans le cas général, c'est-à-dire lorsque deux systèmes modulaires appartenant à un domaine quelconque d'intégrité sont premiers entre eux, voir pages 3G et 55.

Digression sur la théorie des équations.

Nous avons déjà considéré des domaines de rationalité d'un certain degré, des modules d'un certain rang; nous allons maintenant introduire la notion de \ espèce d'un système modulaire \Siufe (*), voir Kroneckers Grundzùgey p. 70; ou Werke, t. II, p. 826].

Dans la théorie des équations, nous pouvons avoir m équations contenant n quantités x^, x^, . . ., x,^ où m^/i; par exemple, les m équations peuvent être mises sous la forme de

C\\ (^1 — a,) -t-c,j (cTj — a,) H-. . .-l-c,„ (.r„— a„) -h ;^, =10, i >

OÙ les c sont des constantes déterminées et /,, y.^, --^ y^m des séries en

(») Dans le Quarterly Journal, vol. XXVU, p. i63, je traduis le mot.Ç/w/e par le mol anglais Ki/td.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 4 7

dans lesquelles chaque terme est de dimension (*) plus grande que un. Les quantités a,, a.;, . . ., a„ forment un système déterminé de valeurs des variables qui satisfait aux m équations.

Si maintenant un des déterminants, soit

9 ^tm

^//ll> ^/Hi9 • •

est différent de zéro, nous pouvons écrire

•^1 — ^l^^ii ("^m + l ^//i+l) ~*~^i ï V^m + t ^/M+ï) ■+"••• ~+'^i,rt -m \*^n — ^/i)"^Xl»

OÙ les c' sont des constantes déterminées.

A l'aide de ces équations, nous pouvons exprimer

OC, a — a

à l'aide de n — w différences restantes.

Le procédé régulier de développement de la série est le suivant : Nous posons

et nous avons pour a?, — a,, a\ — «a» • • •» ^m— ^m des expressions qui sont les premières valeurs approchées. Nous substituons ces premières valeurs approchées dans y^^^ y^^^ ..,, y^^ et négligeant les termes de dimension supérieure ou égale à la troisième, nous obtenons les secondes valeurs approchées. En continuant ainsi, nous pouvons obtenir les séries cherchées.

Weierstrass dit que les équations (I) contenant les n quantités a?,, oTj, ..., x^y définissent une structure ou configuration {analytisches

(^) On appelle dimension d'un terme la somme des exposants des variables qui y entrent et dimension d'une fonction la dimension du terme qui a la plus grande dimen-. sion.

Gehilde) de (n — my^'^^ espèce (Slu/e) dans le domaine des n quan-

Ll les 0[/ I f Ou 2 » • • • » **^/i •

Nous pouvons dire que le système des équations (I) est un système d'équations de /w'*"™* espèce dans le domaine des quantités x^^ x.^, ...,

En particulier, sim = /i, un système d'équations de w'*"'"* espèce définit une structure analytique d'espèce o dans le domaine des quan-

Ll les X ^ % cC 2 9 • • • , Xj^ •

Supposons maintenant que

(y ! { -^'i » x-i, . . . , Jr,f ) = o,

^ fm (*^I» '^î* • • • t Xn ) — : O,

soient m équations algébriques entières par rapport aux variables a « ,

X.2 ^fl, les coefficients étant des entiers de il respectivement de

dimensions c^,, d.^, .. ., (/,„.

Nous ferons d*abord, dans les équations (II), les substitutions

•^* I =^ ^ 11 ^ l "^ ^ I J ^ï ~H • • • ~l~ '^ I W «/i > ./'j 1= t7ji -3j -+- <7j| wj -|- • . . + Otn Zf,y

Xfi — Cln\ ^i -T- Ci,if 5j -f- . . . -H Cl„f, Zffy

OÙ nous pouvons choisir les entiers algébriques fl/y, de telle sorte 1° Qi\e Ton ait

2° Que, dans les équations obtenues.

I \^l9 ^5» •/ • 1 ^/l ) — Ol

|||v ; ^î (-^IJ -^8» -'J^n) O,

le degré en chacune des variables soit égal à la dimension delà fonction. Nous évitons ainsi les difficultés que l'on rencontrerait autrement dans les résultants, telles que Tintroduction de valeurs infinies

SUR LES SYSTEMES MODULAIRES DE KRONECKER. 49

parmi les racines, c*esl-à-dire les systèmes de quantités telles que (Si* ^3» • ••• ^n) qui, substituéesauxvariablesdans(IIl), rendentsimultanément nulles ces équations; et de même, en donnant les valeurs $1» $2» •••» Çn-i aux n — 1 variables a?,, a?^' • ••» ^«-o i' ne pourra y avoir ici un nombre infini de valeurs ^^ pour^/|. De plus, un facteur de Tune quelconque des équations (III) contient toutes les variables. Nous pouvons faire maintenant la transformation de Liouville

OÙ II,, 1^2, . . ., Un sont des quantités entières indéterminées de Cl.

Multiplions chacune des équations (III) par w^; (i = i , 2, . . . , /w) et dans ces équations écrivons à la place de UnS„ l'expression

Les résultats de ces transformations seront désignés par les quantités

(IV) Ar,(-s,,5„ ...,^,,«,; tti, Wj, . . ., w») = («:^ i, 2, . . ., m)

qui sont des polynômes entiers de degré rf,- (i = i, 2, ...,/w) en chacune des lettres z^, z^^ ..., z„^^^ z et homogènes et de ce degré par rapport aux lettres 1/,, £13, ..., u„^ z.

Soit d'abord m -=^11^ de sorte que dans (IV) il y ait autant d'équations que d'inconnues.

Soit R('3) le résultat de l'élimination des variables :;,, z^^ . . ., z^^^ entre ces m équations.

Si R(^) ne s'annule pas identiquement, les racines du système (lY) forment une variété {Mannigfahigkeit) de dimension o, et le système d'équations est de /i""*® espèce.

Si R(2) s'annule identiquement, c'est-à-dire s'il y a un nombre infini de systèmes de valeurs qui satisfont aux équations (IV), tous les coefficients de R(^) sont nuls quelles que soient les valeurs des u. Dès lors, nous avons aussi R(2«) = o et nous pouvons par conséquent donner à 2^ une valeur arbitraire et déterminer un système de valeurs qui lui soit associé et qui satisfasse au système d^équations (IV).

Nous pouvons donc laisser z^ indéterminé et écrire

5<*>= ttl^l-h «,5,-i-. . .4- M;»-l5;»l.

5o HARRIS HANCOCK.

A la place de u„^^s„^^ nous écrirons

dans chacune des équations (IV).

Entre /i — i de ces équations nous éliminerons z^^ Zj, , .,, z„.j, et nous pourrons en déduire les n résultants

dans lesquels nous pouvons donner à z^ une valeur arbitraire.

Si l'un de ces résultants W'\z^*\ z„) ne s'annule pas identiquement, les racines du système (IV) forment une variété de dimension i, et le système est dit d'espèce n — i .

A l'aide de la solution relative à s^*^ de l'équation

nous pouvons déterminer toutes les racines du système (IV).

Si W'\z^*\ z„) ne contient pas de facteur indépendant de z„, les racines de (IV) sont toutes des fonctions de s^, et le système d'équations (IV) s'appelle un système pur de (m — i)«ème espèce.

Si, cependant, R^'^(3^*^J5„) contient des facteurs indépendants de«„, les racines du système (IV) correspondant aux valeurs des^*\ qui sont obtenues en égalant ces facteurs à o, forment une. variété de dimension zéro. Dans ce cas, le système (IV) est dit système mixte d'espèce m — i , car il est mêlé à un système de m**™* espèce.

Si les n résultants

sont identiquement nuls, il est vrai aussi que

Nous pouvons, par suite, laisser z^-t et s„ indéterminés dans le système (IV), et nous ferons alors la substitution

c'est-à-dire qu'à la place de^/a-a^/i-a nous écrirons

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRO^ECKER. 5l

dans les équations (IV) et, à Taide de n — 2 de ces équations, nous éliminerons les variables z,, Zj, . . ., ^a-i-

Nous pourrons ainsi former les k = — résultants

Si l'un de ces éléments n'est pas identiquement nul, les racines des équations (IV) forment une variété de dimension 2, et le système d'équations (IV) est un système de (n — a)'*"** espèce, qui peut être pur ou mêlé à des systèmes de (n — iy«™« ou de /i*^"** espèce selon que le résultant n'a pas de facteur indépendant des deux paramètres 2^.1, z^, ou a un facteur qui contient un de ces paramètres, ou enfin a un facteur indépendant des deux paramètres.

Si tous les résultants ci-dessus s'annulent identiquement, nous pouvons continuer comme précédemment et déterminer les systèmes de troisième espèce et ainsi de suite (C/. Kronecker, Grundzuge, § 21, ou Algèbre deNetto, t. II, p. qS).

Systèmes modulaires de différentes espèces.

En vertu de la congruence

oixk^j k2f . . ., K sont les fonctions qui se trouvent dans le membre de gauche du système d'équations (IV), nous voyons que G(z^^\z^, . . . , s„,) peuts'exprimer par une forme linéaire des éléments ^1, it^, ..., >fc,^dans laquelle les coefficients sont aussi des fonctions entières des^*\ ^o • • -y z^^^ à coefficients constants appartenant à un domaine d'intégrité donné, de sorte que

où Zf, Z2, •• •» Z^ sont des fonctions entières des 2 à coefficients entiers. En vertu de cette équation, la dimension de la variété du système d'équations

52 HARRIS HANXOCK.

est diminuée d'une unité et, d'après les notions données plus haut, nous pouvons dire que Tespëce est augmentée d^une unité.

Dès lors, si le système d^ équations (IV) est de n'^'^ espèce, nous pouvons dire que le système modulaire, relativement aux fonctions linéaires formées avec ses éléments, est un système de{n -h i)'^*^* espèce.

Donc, si le domaine d'intégrité est [v^,s^,z^, • ••*^/i] i^ous pouvons y trouver des systèmes modulaires de première, deuxième, ...» (n -h i)»«n»« espèce, les systèmes de première espèce ne contenant que des entiers algébriques, ceux de seconde espèce des fonctions entières d'une variable, etc.

Revenons au système d'équations (IV).

Supposons que Ri(z^f22,.>.,z^^^z;u^,U2,...,u^) soit le plus grand commun diviseur des fonctions ki(i = i, 2, . . .,/n) et posons

En négligeant la multiplicité des racines, on voit que ce système des solutions de

est le même que le système des solutions de

(IV) ^/(«i,3„ ...,5„„z; Ml, tf„ ...,M«) = o (1 = 1,2, ...,/n),

si nous ajoutons aussi les solutions de

1*1 (5i, Zf^ . . ., Zfi-ii ^j Ui, Ufp . . ., Un) = O.

A l'aide des coefficients indéterminés U,, Ug, .. ., U„; V,, V^, ..., V„ formons les deux fonctions

^U/L/ el ^V.Lt

et formons le résultant de ces fonctions relativement às^.^. Ordonnons ce résultant suivant les puissances de Uet Vet représentons les coefficients par S|, S2, S3, . ...

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 53

Le système des solutions des équations est le même que le système des solutions des équations

Lif ^^^ Of Li| zn Oy • • • » '^m •-— ^*

Dès lors si

Si=:RsHi9 Ss = RsHi, 83= R] H), ...

et si nous négligeons la multiplicité des racines, le système des solutions des équations (lY) est le même que le système des solutions de

Hi:=0, Us==:0, Ha=0, ...,

si nous ajoutons les solutions de R, . R3 = o.

En continuant à opérer de même, nous formerons Véquation résolvante

Ri «Rt* • «Rm^^^ c>

du système d'équations (IV).

Lorsque nous posons R^ = o, on voit que z^ est par là même exprimé à l'aide d'une fonction algébrique A^z^^z^, ... , z^^^^ , de sorte que les racines de (IV) qui proviennent de R^ = o forment une variété de dimension /i — i.

Les racines de (IV) qui proviennent de Ra= o forment une variété de dimension /i — 2, puisque dans ce cas z^, z,,., sont des fonctions algébriques des autres variables» et ainsi de suite.

En considérant R| comme un diviseur des éléments du système modulaire

puisque ce diviseur contient toutes les variables z^^K z^, z^, . . . , ^n-f c'est une structure analytique de /i*^"* espèce.

Nous pouvons dire que R| est un diviseur de première espèce du système modulaire K, R, étant un diviseur de seconde espèce, etc.

Cf* MoLK, Sur une Notion qui comprendy etc., Ghap. IV, §2 {Act. Math.^ vol. VI), et Borel et Dragh, Introduction à V étude de la Théorie des nombres ^ etc., p. 218.

Multiplication ou composition de deux systèmes modulaires

M = (M», M», ...,Mj,), N:=(N„N„ ...,N,).

La composition de deux formes linéaires

où les X et les Y sont comme les M et les N des fonctions entières d'une ou de plusieurs variables à coefficients entiers appartenant au domaine Q, se fait par multiplication directe et, comme la multiplication de deux systèmes modulaires Met N, produit un nouveau système modulaire T dont les éléments sont constitués par les (jlv produits MaNa(A = I, 2, ... ,/w;A= I, 2, ... ,<^).

Lorsque T peut s'exprimer par une forme linéaire de ces [xv produits, il est évident que la forme linéaire du produit de deux systèmes modu* laires est le produit des formes linéaires des systèmes initiaux.

Les systèmes M et N peuvent être appelés les facteurs du système T.

Le système modulaire

(M.M', M„ M„ ...,Mpt) est le produit des deux systèmes

(My Mi9 Msy . . .y M|jt) et (M'y Mi> Mj, . . ., Mj^)*

si(M, M')ooi.

Par exemple

(21, M„ M,) «^(7- Ml, M0(3, M„ M,).

Nous dirons que le système

(M.M',M„M„ ...,Mj,)

est formé par la composition de deux systèmes

(M, M|, M„ . . ., M,x) et (M', Mj, M„ . . ., Mj^).

Un système qui n'est pas équivalent à un système qui peut être formé par la composition de deux autres systèmes est appelé ^y^/eme irréductible {dans le sens de V équivalence^.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 30

Par exemple, le système (^*-H/>./>^)» où p est un entier premier, est un système irréductible. Mais ce système contient le système (ar, p), puisque chacun de ses éléments x^-t-p^ p^ peut être exprimé par une fonction linéaire des éléments de (x^ p), dont les coefficients appartiennent au domaine d'intégrité [1,07].

Ces systèmes modulaires irréductibles, qui ne contiennent pas d'autres systèmes modulaires de la même espèce, sont appelés par Kronecker (Werke^ t. III, p. i58), systèmes modulaires premiers.

Ces systèmes modulaires premiers ont, dans la théorie des systèmes modulaires, les propriétés caractéristiques qui appartiennent aux nombres premiers dans la théorie ordinaire des nombres. Par exemple, si le produit de deux systèmes modulaires est divisible par un système modulaire premier, l'un des facteurs est divisible par ce système modulaire.

Nous montrerons dans la suite que ces systèmes modulaires premiers ont aussi les mêmes propriétés caractéristiques dans les domaines d'intégrité dans lesquels ils entrent, que les entiers premiers rationnels dans le domaine d'intégrité rationnel.