III

Puisque

^i(a?)F,(^,y), ^,(^)Fi(^,7), Fi(^,r)F,(^,7),

^,(^)H,(:r,y) — pA, ^j(^r)Hi(^,y) — pAî H,(j7,y)H2(.r,7) — pA, )

P[^i('^)H,(^,j) — pA,]^P^i(^)H,(ar,7) (modp*),

on voit que nous pouvons ajouter au système (IH) les éléments

p^i(x)Hj(a:,y), P^î(^)Hi(^,7), pH,(x,7)H,(ar,7), P^i(-2^)A,(a% y), P^î(^)A,(a?,7).

Des systèmes

oo ( p, ^, , M, ) (p, ^„ M, ) oo p( p, g, g^ M„ ^,M„ M, M, ),

(2) (PVi»P^i^i>P^iFt>P/^tA„p^,H„ p^iM,)

<^ P^i (P, gu F„ H„ As, M,) 00 p^i (p, ^,, Li),

(3) P^î(P» ^1. F,, H„ A„ Ml) </o P^i(p, gu L|), on déduit que le système (III) devient

pS g, P

(IIF)

^iL„ ^,H,— pAi J ^,Li, ^,H,— pA, >, IMjM,, H.H.-PA3 \

dans lequel ^«Hj, g^^if H^Hj, A, et A^ peuvent être exprimés par des formes linéaires des éléments L,, L2, M^M^ et p par le moyen des formules (i), (2) et (3).

Corollaire. — Le système modulaire

v = l ti.= l

OÙ

^(^) =^i(^)^i(^) (mod p), et où ^i(ip) et g^i^) sont irréductibles (mod p), est équivalent à

[pS P^i(^), P6(^, y), ^t(^)9(^» 7)1-

Lorsque les fonctions sont développées suivant les puissances décroissantes dey, nous remarquons que :

i^ Le coefficient de la plus haute puissance de 6(â?, y) est l'unité et que les autres coefficients ont été réduits [mod p, S'i(^)] ;

2® Le coefficient de la plus haute puissance de (p(ir,y)est l'unité et que les autres ont été réduits [mod p, ^s(^)]*

Si g{^)=g^{^)g2{^)gz{^)<J^oài^) et si g,{x\ g^{x), g^{x) sont des fonctions irréductibles (mod p), la méthode de réduction est tout à fait la même que celle que nous venons de donner.

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. Il3

Finalement le système

[ V = l (Jl = l X = l T = l /

OÙ g{x) est irréductible (mod p) est équivalent k un système de la forme

Le système

V = l JX=I X:rl 1

où g{x) est irréductible (mod p) est équivalent au système

[pS g{oc), p«F(j?, 7), pH(:r, 7), *(^, y)].

Lorsque g{x)^^g^{x)g2{x) (mod p) la méthode de réduction est la même que celle qui a déjà été donnée.

Les réductions précédentes ont toutes été faites pour des systèmes de la forme

]\ (R), ]\ [g^ix)], ]\J [/v(.r,y)] .

Nous avons donc supposé la présence d'un entier algébrique et d'une fonction entière d'une variable à coefficients entiers et algébriques parmi les éléments.

Si le système donné est de la forme

puisque les fonctions /^ (a?, j), f^i^.y) ...,/i(^,y) n'ont pas toutes un diviseur commun (un tel diviseur peut être enlevé comme facteur du système), il est, en général, possible de trouver des fonctions

I l4 UARRIS HANCOCK.

A{^^y)^Âi^^y)^ ...,Z(^»7X telles que

OÙ ^(^) est une fonction entière en a; à coefficients entiers appartenant à (2.

Cela est toujours vrai lorque les équations

ont un nombre fini de solutions communes à deux quelconques d'entre elles.

S*il n'y a pas de solution commune à certaines des équations précédentes, par l'algorithme du plus grand commun diviseur nous pouvons déterminer les fonctions /(j?, 7), yî(a?,j^), ..-j/nC^^y) de telle façon que

où [Ji est un entier algébrique de û.

Dès lors, dans nos hypothèses, nous avons supposé tout au plus l'existence de l'élément (x ou de rélément^(a:).

En choisissant différents éléments /i(x, 7), /,(x,7), ...,/rt(^»j)' nous pouvons, en général, former deux formes linéaires telles que (i) dans lesquelles les fonctions d'une variable g{x) et g^i^)* par exemple, n'ont pas de valeur commune qui les fasse s'évanouir simultanément. ^

Nous pouvons alors trouver deux fonctions g{oo) et gi{op) telles que

g{a:) g{x) -h gi(x) gi{x) = II,

où [JL est un entier algébrique de ù qui peut être adjoint comme élément au système modulaire.

Si le système est de la forme

V=rt

SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. Il5

nous pouvons encore effectuer les réductions précédentes, si nous changeons le domaine d'intégrité dans lequel nous admettons que, à côté des entiers algébriques, nous considérions aussi, dans la discussion, des fnictions algébriques de il (t;ot> Dedekind, p. 537), tandis que, pour obtenir les réductions précédentes dans les systèmes tels que

nous devons laisser entrer les fonctions rationnelles aussi bien que les fonctions entières de Tune des variables dans le domaine donné. La réduction des systèmes de la forme

ll = w

P» ^(•2:),/(^, V), |\| [/ïjiL(^. /,-)],

OÙ g(x)est irréductible (modp) et/(a7,j) irréductible [modp,^(rc)], et aussi des systèmes dans lesquels il entre comme éléments des puissances de ces fonctions, peut être obtenue de la même manière que Tes réductions précédentes. Un Mémoire qui touche brièvement ce sujet, mais seulement pour le domaine des entiers rationnels, paraîtra dans le Journal de Crelle. Eu égard à ce Travail et aux résultats déjà obtenus dans le présent Mémoire, il ne semble pas nécessaire d'entrer ici dans une discussion détaillée des systèmes modulaires de quatrième espèce et d'espèce supérieure.

Vu et approuvé :

l^aris, le i4 février 1901.

Le Doyk.n ue la Faculté des Sciences,