C-HDiôt*) = o (modp
et, par conséquent,
9 — <p,= o (modp)
ou
Nous pouvons donc regarder (p*,p6, pç 4- 00^'^) comme une forme canonique de la représentation unique du système modulaire (I). Dans le système
I\Lz=m v = /i
nous avons supposé la présence des éléments
it=i
92 IIARRIS HANCOCK.
On voit toutefois que, sans employer ces éléments, nous avons introduit, k Taide des éléments/<(a?),/2(a?), ^",fn{oc), les éléments
]\nv(^)
dans le système (T) de la page 86, où
IIv(^) =:7rv(^) 4-7r(a7)Fv(a:) (i' r= i, 2, . . ., w).
Dès lors, à moins que les n quantités ne soient congrues à o
JJL=r/n
[modp, F(jc)], et même lorsque les éléments p IV [5'|i.(^)] manquent dans le système initial, le système modulaire réduit est
(A) [pSpG(^),F(j:)].
D'autre part, lorsque les éléments p |\ [Gja(j?)] manquent dans le système initial et si Ton a aussi
IIv(a:) = o [modp, F (j:-)] (vz=:i,2, ...,/j),
le système réduit est de la forme
(B) [pSF(a.)].
Considérons le système
(A) [pSpG(^),F(a7)],
et supposons que F(ir) admette les deux facteurs F|(a?), lt2{oc) relativement aux modules p^pG(a;), c'est-à-dire que Ton a
(I) F(^) = F,(^)F,(a;)-+-pG(a:)4.(j;)4-p'x(^),
où ^(.r) et x(^) sont des fonctions de {v, x\.
De plus, supposons que ^^{x) et Y^^x) n'aient pas de facteur commun relativement aux modules p-, pG(ir), et formons le produit
(M) [p% pG(^), F,(^)] [pS pG(^), Y,{œ)-\
^ fpS P'G(^), p'F,(a;), p«G(^)% pG(x)F,(^), 1
L P*F,(^), pG(:p)F,(^),F,(^)F,(^)J'
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRON'ECKER. qS
Les quatre éléments p\ p^G(x), p^F2(a?), p^F<(a?) peuvent être pris dans le système
de sorte que le produit (M) est équivalent k
Maintenant si F|(a?) et Y2(^) n'ont pas de facteur commun (modp), le système (N) se réduit à
[p«, pG(^), F(^)].
Dès lors, afin de mettre le système (A) sous la forme d'un produit des deux systèmes donnés plus haut, la fonction F(aT) doit avoir k forme (i) et lés fonctions ¥^(x) et F2(ir) doivent n avoir aucun facteur commun (modp).
Dans le système
[pS p^(^),/(^)]
supposons d'abord que /(ic) est irréductible (modp). Nous avons alors la congruence
[pSp^(^),/(-2?)]^[pS pgi^), p/(«^)»/(^)] <^ip[p,^-(^),/(^)],/(^)!c^[p,/(^)],
à moins que g{oo) ne soit un multiple de /(x) (mod p);.si G(.r) (mod p) est un multiple de/(a?), on a
[pSp^(^),/(^)^[pS/(^)]
et le système est de la forme (B).
Dans le système [p^»pg'(^)./(^)^] supposons que/(.r) soit une fonction irréductible (mod p). Nous avons alors
ip[p,^-(^),/(^r],/(^ri<^[p,/(^r],
à moins que g(x) ne soit un multiple de/(a?). Si ce multiple est plus grand que i, on a
et si ce multiple est égal à t, on a
[pSPÀ'(^),/(^r]^[pSp/(^),/(-^r].
94 IIARRIS HANCOCK.
Supposons maintenant que/(x)^/^(x)/^(x) (modp)et,de plus, supposons/<(a:) et/zÇx) irréductibles (mod p), on a
[pSp^(^),/(^)]^[p,/(^)], lorsque/(a7) eig(x) n'ont pas de facteur commun (mod p), et
[p% p^(^),/(^)]^[pS P/i(^),/(^)]
lorsque g- est divisible par/, (mod p), mais non par/a (mod p).
En mettant le système [pSpG(ic), F(a7)] sous la forme canonique
on voit que ce système contient le système
OÙ rf(a?) est un diviseur quelconque (mod p) du produit ^{x)^^^\x). De plus, le système (B) peut s'écrire
(B) [p«. pH(^)-4-X:(x)],
et, par conséquent, il contient le système
où ^{(Jo) est un diviseur (mod p) de k{x).
Les aystèmes (A) et (B) ne sont donc pas des systèmes />r^/wi>rf {cf, Kronecker, Grundzàge^ p. 83, ou fVerke, t. II, p. 34 1).
Réduction des systèmes modulaires dans lesquels la troisième puissance
de ridéal premier p entre comme élément.
Ces systèmes sont de la forme
(I) p'. p' ]\ [^.(^)]. p ]^ {M^)l ]\ [Ax(^)]
OÙ tous les éléments qui y entrent sont des quantités du domaine [^, x]. Nous pouvons adjoindre à ce système les éléments
lJi = m Xs=/
P']\[/^(^)] el p]\[[Ax(^)],
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 9$
et, à l'aide de ces éléments et de l'élément /?*, nous construisons le système
,P'. />* ]\ [/|x(^)1,/']\([Ax(^)]UpU', P ]\( [/Ht(^)], ]\( [/.x(-r)] •
Nous déduisons du système modulaire auxiliaire
PS P ]\ [A(^)]' ]\ [Ax(^)] U[pS pF(x), H(^)],
d'une part
OÙ nous employons le signe fonctionnel pour la fonction de a?; et d'autre part
(2) /*x(^)=:p'7rx+pFFx4-HHx (X=:i,2, ...,/).
En posant ii(x) == H(a?) — p^i:, on voit que de (i) on tire
|JL=m X= /
(JL = 1 X = l
et, par conséquent, H(a?) peut être ajouté au système (I) sans qu'il cesse d'être équivalent à lui-même.
Nous avons, de plus, en vertu de (2),
hx(x) = p«7rx+ p FFx+ HHx4- p'SHx (X = i, 2, . . . , /),
ou
Ax(^) = P'nx4- pFFx-+- HHx (X = I, 2, . . . , 0,
où, pour abréger, IIx est mis pour icx-i- icHx (X =1,2,..., /).
C)6 HARKIS HANCOCK.
Nous pouvons donc écrire le système (I) sous la forme
V = l Jl=l >. = 1
GO
(p pSp ]\ [ffA^)], ]\ [M^)], ^ [pnx(^) + FF-,] ,H(^-) J
^ cojp[pSpG(^),F(^)],H(^)Î.
Nous voyons donc que le système (I) est équivalent au système
(H) [p»,p^G(^), pF(^), H(^-)].
Nous formerons le système modulaire auxiliaire
{b) [p*pG(^), F(^), H(x)]c^[pSp0(^), p<p(^) + 0(j?)0(»)(^)],
où les éléments 0(0?), 9(0?) et ©"(a?) satisfont aux conditions des pages 88 et 89.
De (b) nous dirons
ou
p«0(a7)=z:p»n + p»GG(*^ + P*FF<«)H-pHHt»);
et, par suite,
p'e(^) = o[p',p*G,pF,H].
Nous pouvons donc adjoindre p^O au système (II), et, par une méthode analogue, on voit que l'élément p^ç -f-pOÔ^*^ peut aussi être adjoint à ce système.
Ceci fait, on voit que les éléments p^G et pF, à cause de l'équivalence (6), peuvent être supprimés du système (II).
Finalement, si nous donnons à il(oo) la valeur tirée de (b)
on voit que nous pouvons écrire (II) sous la forme
(W) [p^p*0, p«(pH-p00(»), p»t{;-hp^e^»^4-P99(»)-HÔ0(»)cp(»\l.
Grâce à la présence de p% p^6, p^ç -h pOO^*^ nous pouvons supposer
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 97
que le coefficient initial de (p<*^ est l'unité, et nous pouvons supposer :
1° Que les coefficients initiaux de ô, 6^*^ et ç^^^ sont Tunité;
2® Que les degrés en a? de ç et 4* sont inférieurs au degré de 6;
3^ Que 0^^^ est de degré inférieur au degré de 6^*^;
4** Que les coefficients de toutes les fonctions qui entrent comme éléments dans le système sont pris parmi les entiers déterminés p<,
On peut prouver par une méthode tout à fait analogue à celle donnée dans le Journal de Crelle, t. 119, p. i6i, que le système (IT) est une forme canonique de la représentation unique du système (I).
En général, les formes canoniques des systèmes modulaires de Kronecker de seconde espèce, où la première, ou une plus haute puissance de ridéal premier p entre comme élément, peuvent s'écrire (voir le Journal de Crelle, t. 119, p. i64) :
(p», p«^, p-9 + pMf*>, p»i|> 4- pSe^'^ -h P99^*> H- 0Ô(*)9<»>),
/pS P*0, p'? -+- P'ô^^*^ P'^ -h p*e6(*)-h p*99(» + p09(»)9(»), \
Posons
M,=P9H-ee(>),
M,=:p*^4-p00('^ + P99t»)-f-00ti)cp(i),
M4=P»XH-P*^^^'^+P'??^*^-HP*v^^^*>4-P0Ô<*)9<*)4-p00(«)^);Ï«Jh-P99(»)^J/(O4.ÔÔ(1)q(i^
de
sorte que M.
P(p-i-M,9"), |)«|4-pM,9(»)
-f-pM,9(*)
-hM»^(*),
-+-P»Mj9<''
»4-pM,^j^t*J
-+-P«Mj^<»^
Nous pouvons donc écrire les formules canoniques
(Pi,M,), (Pj, pM,,Mi),
(pSp'-M„pM„M,),
(pSp^Mi,p'M„p'M3,M4),
(pSp*m„p»m„p«M3,pM„m,),
où M5 est exprimé linéairement en fonction de M4, M3, M^, M, par la formule donnée ci-dessus, etc.
Réduction des systèmes modulaires de troisième espèce. Considérons d'abord le système de la forme
fv{^yy)yft{^yy)j •..,/«('^,r)].
OÙ [JL,, [JI2, . . ., [i.^ sont des entiers algébriques deÛ; gk{oo)y g^i^)
gm(^) sont des fonctions entières en x dont les coefficients sont des entiers algébriques de £2, et/<(a?,j), /^(^jj), .. .,//i(a:,j) sont des fonctions entières en a; et y dont les coefficients sont des entiers algébriques de û. Nous pouvons donc dire, pour abréger, que tous les éléments du système modulaire sont des quantités appartenant au domaine d'intégrité [^, a?, j], et, en employant la notation que nous avons adoptée précédemment, nous pouvons écrire le système cidessus
!\(FX). ]\ [^«(^)], ]\( [/v(^, V)] .
Des résultats obtenus dans la réduction des systèmes de première espèce, il résulte que ce système peut être remplacé sans qu'il cesse de rester équivalent à lui-même par le système
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. 99
OÙ Tidéal [jl est le plus grand commun diviseur des éléments (ji|,
En procédant comme nous l'avons fait pour la réduction des systèmes de la seconde espèce, on peut montrer que, si un entier algébrique entre comme facteur dans Tun des éléments g^ (x), ^2(^)» ••• » gm(^)y /i(^»7). Ai^fX)* •••'/n(^» j). cet élément* peut, sans que le système modulaire cesse d'être équivalent à lui-même, être remplacé par un élément dans lequel le facteur est un diviseur de [x.
Nous avons vu, de plus, dans la réduction des systèmes modulaires de seconde espèce, que nous pouvions remplacer le système (A) par un produit de systèmes de la forme
lZ = m V = /i
(II) If, ^[M^)l ]\[/v(^.r)]l
OÙ a est un entier rationnel positif.
En prenant les différentes puissances de p, nous en avons déduit la forme canonique de la représentation unique du système modulaire correspondant.
En particulier, lorsque a = i , on a vu que le système (II) était équivalent au système
(B) P,S'(^), j^C/vC^.y)],
où g(^) est le plus grand commun diviseur ( mod p) des éléments g^, (x),
Supposons que l'un des éléments / (.r,j), /^(x, y), ...,/„(^»7) ' par exemple /i(a7,y), admette commefacteur A,(j7)(modp),de sorte que __
où ç(^»j) est une quantité appartenant au domaine [i', x,y], et considérons le système
De plus, soit d(x) le plus grand commun diviseur (modp) de g(x) et de A, (a?).
lOO HARRIS HANCOCK.
Nous pouvons écrire (a) sous la forme
Dès lors il est évident que tous ceux des éléments /, (^, j),
fo,{co,y), . . ., fni^^y) qui admettent comme facteur commun (modp)
une fonction de x seul peuvent être remplacés dans le système (B) par
des éléments dans lesquels de telles fonctions de x sont des diviseurs
(modp) de l'élément ^(a?).
De plus, si
g{^)^Y\{^)Tti.^) (modp),
et si gx{x)^ gii^) n'ont pas de facteur commun (modp), le système que nous venons d'écrire peut être remplacé par le produit des systèmes
Nous avons donc à considérer des systèmes de la forme
(III) Îp,^(^), ]y [/v(^,r)] ,
OÙ g(x) est une fonction irréductible (modp) ou une puissance d'une telle fonction.
Si d'abord g(x) entre à la première puissance dans (IH)» il résulte de ce que nous avons dit plus haut qu'aucun des éléments/, (^,^), /^(j?,^), '"9 /„(oo,y) n'a un facteur (modp) en x seulement.
L'élément g(x) développé est de la forme
OÙ les entiers y,, Ya' •••> T^ sont pris parmi les quantités déterminées Pi> P2f •• M Pa? et les fonctions/(a?,j) peuvent s'écrire
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. lOI
OÙ
«0 (o?) = «00 ^*» -+- «01 •^^'•~* -*-«oi ^*<»~* -H ... 4- «0*0»
expressions dans lesquelles toutes les quantités a^y sont des entiers algébriques de Q et qui, prises relativement au module p, sont congrues respectivement chacune à chacune aux quantités déterminées p,, Pa, ..., p^^et peuvent par conséquent être remplacées par ces quantités.
La fonction ao(^) ®st, ou divisible (modp)par la fonction irréductibles (modp)g'(a7), ou n'a aucun facteur commun avec cette fonction.
Dans le premier cas on peut la supprimer comme n'apportant rien de nouveau au système et nous pouvons opérer de même avec les fonctions a, (a?), a^Çx), ..., jusqu'à ce que nous en trouvions une qui ne soit pas divisible par ^(â?)(modp).
Supposons maintenant que a^Çx) n'a pas de facteur (modp) en commun avec g(x). Par une méthode analogue à la méthode ordinaire qui permet de trouver le plus grand commun diviseur de deux fonctions, nous pouvons déterminer deux fonctions aQ(x) et g(x) appartenant à [(^, x] et telles que
ao(x) a^ix) -h g{x)g{x) z=z c,
OÙ c est un entier algébrique dans ù qui n'est pas divisible par l'idéal premier p.
Par conséquent, le plus grand commun diviseur de p et a^ est ^, de sorte que
Puisque l'unité est divisible par ^, il existe dans il (voir Dedeklnd, p» 559) un entier algébrique tz divisible par p et un entier algébrique Cf divisible par y et tel que
ou
cc, = i (modp).
Dès lors on a aussi
ao('2?)Ciao(a?)-h^(a?)c,g^(^) = i (modp).
f02 HARRIS HANCOCK.
De là il résulte que si nous multiplions /(a?) par e, a^{x) et si nous
ajoutons au résultat ^(ar)c:^ gi(^) nous aurons une fonction F (^^y), par exemple, qui développée prend la forme
F(^,y)=7''+Â;(^)j'^-»-l-Â;(j;)y^-«-^...^Â;(^) (modp),
où A, (a?), A^(x), ...» A^(x) sont des fonctions entières en x dont les coefficients sont pris parmi les entiers déterminés Pi, pi* •••» p*» et au moyen de la fonction g(x) nous pouvons réduire chacune de ces fonctions de façon que les degrés des fonctions obtenus A< (x), Aa(a:), ..., A^(x) soient tous moindres que t, t étant le degré de g{oc)^ fonction dont les coefficients sont pris parmi les entiers déterminés p<, p^, ...,pA. Nous pourrons donc écrire
Soient F<(a7,y), Y^i^c.y), .... Y^{x,y) les éléments réduits de f^{oc,y), /^{x.y), ^",/rX^,y) relativement aux modules [p. g'C^)].
Nous pouvons considérer maintenant au lieu du système (in)« le système
Supposons ensuite que l'on ait
et*>/.
Par une division nous aurons
où Q, (oo,y) et R< (^^y) sont des quantités appartenant à [^, ^^y]-
On voit que le degré de R|(^,7) en 7 est moindre que le degré en j (\eF^(x,y) et de FaCa?,^); il est clair aussi que R^(a7,J) peut être adjoint au système (IH') et, ceci étant fait, F,(a?, j) peut en être supprimé sans qu'il cesse d'être équivalent à lui-même.
Soit $5(^7,7) l'élément réduit de R^(x,y), et formons l'expression
F,(J7,7) = Qt{a:,y)<^^(x,y) m- R,{a;,/).
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. Io3
Soit $4(07,7) rélément réduit de R2(^> j) que nous supposons avoir été ajouté au système (III') et supposons qu'ensuite on y ait supprimé F,(o7,j).
En continuant ainsi nous avons
Puisque les degrés des fonctions R.,, R^, ..., en y sont continuellement décroissants sans devenir négatifs, nous devons finalement avoir
où Ov(o7, j) est l'élément réduit [modp, g{oo)\ de Rv-aC'^jy)- Nous pouvons ainsi remplacer les deux éléments Y {oc, y) et Y^ipc^y)
dans le système modulaire (IH') par leur plus grand commun diviseur
[modp, ç(o?)], l'élément *v(^>7)- Si cette fonction $v(^>/) se trouvait être congrue à o [modp, 9(^)]»
on voit que les éléments initiaux Y^{x,y) et Y2{oo,y) n'ajoutent rien
au système; tandis que, si
OÙ k{x) est une fonction entière en x seul, nous pouvons, comme plus haut, déterminer une fonction k{x) appartenant à [^, a?], telle que
k{x).k{œ) = I [modp, ^(j?)].
Le système est donc un système unité ^i est sans intérêt dans la discussion actuelle.
Si nous continuons comme plus haut, on voit que, si le système modulaire considéré au début (III) n'est pas un système unité, nous pouvons remplacer
(III) «'.^(^). j\ [/v(^,/)]
Io4 IIARRIS HANCOCK.
par le système modulaire équivalent
o\x/(x,y) est le plus grand commun diviseur [modp, ^(o?)] des éléments
L'élément f{oc^y), développé suivant les puissances décroissantes de j, est de la forme
où b^{x), 62(07), ..., b^{x) ont tous été réduits [modp, g{x)\.
Puisque les degrés de b^{x), b^{x)^ . . . , b„{x) ne peuvent pas être plus grands que t — 1 , oii t est le degré de g{oc)^ et puisque le coefficient de chaque puissance de a; dans ces fonctions peut prendre l'une des Â; valeurs p4, pa» •••» Pa» on voit que le nombre de fonctions de la {ovmQf{x,y) est {k'y=k'''.
Nous pouvons dire que le nombre de fonctions v = *^^— i, différentes de f{x^ y) y forme un système complet de résidus incongrus [moAjf,g{x)J{x,y)\.
Ce système de résidus a les trois propriétés caractéristiques suivantes :
I® Ces résidus sont des quantités de [y, x^y\\
2** Chacun d'eux est incongru des autres [modp, g{x), /(a?, y)'\ ;
3** Toute fonction appartenant au domaine d'intégrité [^,0?,/] est congru k un et à un seul des représentatifs du système
[modp,^(a:),7(^,j^)].
Si maintenant xs{x,y) est une fonction quelconque appartenant au domaine [^,0?, j], nous avons le théorème de Fermât :
(A) [u5{x,y)Y^= rn{x,y) [modp, g{x), f(a:,y)].
Considérons maintenant le système modulaire et supposons que Ton ait
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. Io5
et que/i(ar,7) ^ift{x,y) n'aient pas de facteur commun
[modp,^(a:)].
Nous pouvons facilement démontrer que
Nous pouvons donc considérer le système
(IV) [p,^(^),/(^,/)L
où/(a?,j) est une fonction irréductible [inodp,^(j?)]. Le système (IV) est un système modulaire premier (yoiri^. 55). Supposons que, développé, /( a?, j) soit de la forme
de sorte qu'il y a
résidus incongrus relativement au système (IV). Désignons alors ces m résidus par r, , Tj, . . . , r^.
Alors, comme à la page 71, on peut démontrer que 5/ r est l'un des résidus ci-dessus et si
G(r) = Aor™ -h Ai r*»-* -+-...-+- A;„= o [modp, ^(a?),/(a7,/)]
OÙ Ao, A|, ..., Absout des fonctions du domaine [(',a?,j], et
Ao=o[modp,^(^),/(a7,j^)];
cette congruence ne peut avoir plus de m racines incongrues
[modp,^(^),/(^,j')];
et si
G(r) = o [modp, g(x), f(x,y)]
a exactement m racines incongrues /*!, r^, ..., r^, par exemple, nous avons la congruence identique
G(r) = \»J\{r- ri)[mod9,ff{x),/ix,y)].
Io6 HARRIS HANCOCK.
Des lors» puisque
a les m racines incongrues [^odfj g(x),/(x,y)], r,, Tj, •.., r,„, on voit que
[modp,^(^),/(^,/)], le produit devant s'étendre à /w = ^^^— i résidus du système
chacun d'eux étant de la forme
7i (•^) y^^* -+- /«r^"' -♦-..• -^ yx(^),
où Y< (ir), YaC'^)' • • • » Yx(^) 5^*^^ ^^s fonctions entières en x de degré au plus égal à t — i, dont les coefficients sont pris parmi les entiers
En particulier, si nous égalons les coefficients des puissances égales de X de chacun des membres de la congruence identique, nous avons \e théorème de Wilson pour le système modulaire [pi ^(^)»/(^»j)]» savoir
— i = II[7,(^)7>^-» 4- y,(j:)y^-* -+-... 4-yx(^)] [modp,^(j?),/(ar,y)], où le produit est étendu comme plus haut.
Fonctions premières primaires qui sont liées à la considération du système modulaire premier [p, 5'(^),/(^, j^)].
Puisque k^=p^^ il s'ensuit que le nombre des résidus incongrus relativement au système modulaire [Pt g'(^)f/(^,j)] est m =p^'^f — i et que [^voir la formule (A), p. io4] toute fonction ^(x,y) appartenant au domained'intégrité [v^ ^*y] satisfait à la congruence
Si h est la hauteur de la fonction ^(^> j) relativement au système modulaire [p» ^(^)»/(^> j)J» on a
SUR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER. I07
et chacune des h fonctions constituant la période de la fonction ^(^, j) relativement au système modulaire [p»g'(^)./(^.7)]
est de hauteur h.
De plus, si s est un entier positif tel que Ton ait
s est un multiple de A; et aussi h est un diviseur de Xt/, où /est le degré de l'idéal premier p, t est le degré de g {x) en a? et X est le degré de/(;r,j)enj.
Si une fonction xsÇx^y) appartenant au domaine [^, J^, 2] a une hauteur h = Xx prise relatii^ement au système modulaire [p, g'(^)»/(^»y)j» xs(x,y) est congru [iïiodp,^(a7),/(a?, j)] à une fonction entière en X, y dont le degré est inférieur ou égal à^z — lenxetàX — i eny et dont les coefficients sont des entiers rationnels qui peui^ent être considérés comme réduits (mod p),p étant l'entier premier qui est divisible par r idéal premier pf et vice versa toute fonction qui est congrue
à une fonction dont le degré est inférieur ou égal à t — i en x et à \ — i en y à coefficients rationnels réduits (mod/?), est de hauteur hz=\^.
De là il résulte que si Gy(a7, v) est de hauteur A, toute fonction symétrique entière des h fonctions
[w{x,y)y\ [mi,x,y)Y\ [Tn(a:,7)]K ..., [w(^,/)K''
est congrue [modp, g^(^),/(a?,y)] à une fonction entière ^nx, y dont le degré est inférieur à t — i en a? et à X — i en j' et dont les coefficients sont réduits, moAp.
Dès lors il s'ensuit que
\r-xs[x,y]\ \r^[fS5{x,y)Y\\r-^[m{x,y)y'\,..\r^[m(,x,y)Y'-'\ = ?(/-, X, y) [modp^(a7), /(a?, y)],
où P(r, x^ y) est une fonction irréductible en r, x,y de degré h en r, d'un degré inférieur ou égal à t — i en j? et à X — i en y et dont les coefficients sont des entiers rationnels réduits (mod/?).
Io8 HARRIS HANCOeK.
Finalement nous avons
,.P*- r = Ut{r - n) = nP(r, ^, y) [mod p, ^(j:), /(^, y)],
OÙ r est une fonction quelconque de r, a:, y qui est de hauteur h. Le premier produit doit être étendu à un système de p* fonctions incongrues r, [mod j), g(^)f/(oc,yy] qui sont de hauteur h ou de hauteur rf, où rfest un diviseur de h. Le second produit doit être étendu à toutes \es fonctions premières primaires P(r, x,y) dans lesquelles le coefficient de la plus haute puissance de r est l'unité» le degré en r étante ou rf, où dest un diviseur de A, en x le degré étant inférieur ou égal àT— letàX — lenj et tous les coefficients constants étant des entiers rationnels qui ont été réduits (mod p).
Puisque ces fonctions premières primaires ne sont pas répétées dans le produit précédent, on voit que nous avons Téquivalence
[Py g(^)^/(^, /)» /•''''— rJc/on[p, g{x)yf{x, y), P(r, j?, y)],
OÙ le produit doit être étendu à tous les systèmes modulaires où il apparaît comme élément une fonction première /^nimair^ différente, dont le degré en r est h ou d, d étant un diviseur de A, le degré en x étant inférieur ou égal à t — i et en y à X — i et dont les coefficients sont des entiers rationnels réduits (mod p).
Réduction des systèmes modulaires de troisième espèce dans lesquels la. seconde puissance ou une puissance plus élevée de la fonction irréductible g(a:) {modp) entre comme élément.
Les systèmes sont de la forme
qui, par l'introduction des systèmes auxiliaires, est immédiatement réduite à \^ forme canonique
[p, g^^Yy g{^)^k^y y)y g{^)9(^> y) -^- ^(-^^ yWK^y y)]>
dans laquelle, lorsqu'elle est développée suivant les puissances décroissantes de y :
^{^>y) =/* + Ao(^)7*-*-f-. . .4- A;t(a7),
SUR LES SYSTÈiMES MODULAIRES DE KRONECKER. I09
les degrés de Ao(^), ...» Am(o^) étant au plus égaux à t — i, où t est le degré de g'(^);
2^ Le coefficient de la plus haute puissance de j dans 6<*^ est l'unité et les autres ont été réduits [mod g(oi^)];
3^ Le degré de <f(^yy) en j est inférieur au degré de 0(x,y) en y;
4*^ Tous les coefficients constants sont pris parmi les entiers déterminés p<, P2, ..., pf,.
Lorsque g{x) entre à la troisième puissance ^ la forme du système modulaire est
j p, g{xy, g{xY J\j iMx, y)\, g(x) ^ \h^{x, y)], ]>( [ky{x, y)]
qui est équivalente à \^ forme canonique
P, g{^Y. gixY'Q^x, y), g{xy^{x, y) -4- g{x)Q{x, y)Q^'^{x, j),
g{xY^{Xy y)-^ g{x)e{Xy y)Q^^^{x, y) 4- ^(^)9(J?, y)9^*^(ar, 7)
Dans cette forme canonique nous observons que, lorsqu'elle est développée suivant les puissances décroissantes de j :
1° Le premier coefficient de 6(a?,j), de6^*^(a?, j) et de <p^*^(ir, y) est l'unité et les autres coefficients ont été réduits [mod g{x)\ ;
1^ <^{xy y) et ^'(^^j) sont, en y, de degré inférieur au degré de 0(a7, j) et leurs coefficients ont tous été réduits [mod g{x)'\\
i^ ^^^\x, y) est en y de degré inférieur au degré de 6^*^(0;, y) et ses coefficients ont été réduits [mod g{xy\ ;
4^ Les coefficients constants qui entrent dans tous les éléments sont pris parmi les entiers déterminés p,, p2. • • •. p*.
Des formes analogues peuvent être déterminées pour les systèmes dans lesquels la quatrième puissance ou des puissances plus élevées de g{x) entrent comme élément.
Considérons maintenant le système
V = l |Jl^J /
I I O HARKIS HANCOCK.
et supposons que g(iv)^gt(x)g^(x) (mod p)elq\xeg^{x) et g^(x) soient irréductibles (mod p).
Du système auxiliaire
^[P, é'iC-^)» Hi(j7, y)][p, ^,(^), H,(j:, y)]
nous tirons, d'une part,
où nous employons le signe fonctionnel pour les fonctions de x,y et où toutes les quantités introduites appartiennent au domaine [^» ^» j|; d'autre part, nous tirons
\L=zm
On voit, d'après (2), que nous pouvons ajouter les éléments
Si~ ^î(x)H,(j:, 7) — pA„
Sî = gi{^)^i (^, y) — pAî,
Sjin H,(ar, 7)H,(;r, j^) — p Aj,
au système (I) sans qu'il cesse d'être équivalent à lui-même. De plus, d'après (i), on voit que
/V(^» 7) — P(îr,i-h A,djA4- AjpptH- A^a^) -+-^'7(1.4- S,(î(ji-4- S,(3jt-f- Sja,i
(jx = i, 2, ..., m),
SLR LES SYSTÈMES MODULAIRES DE KRONECKER.
OU
^u.C'^^y) =P^> (mod^, S„ Ss, S3) (/x = i,2, .. ., m),
OÙ pour abréger j'ai posé
Le système (I) est équivalent à
pL = /n
