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Nous avons considéré les sections coniques tracées sur le plan des xyet ayant pour équation Dp* — D 1 q*z=zE; toutes les courbes ainsi décrites sur les trois plans principaux détermineront, à chaque point du plan principal où elles sont tracées, la situation du plan directeur dont le centre de convergence est à ce point. Ces courbes sont des sections coniques semblables sur chaque plan principal , puisque le rapport des coefficiens Det D' est le même pour toutes celles d’un même plan. On a des hyperboles sur le pian des x y quand

D=f y 1 dm — f d m , et D'z=. fi* dm — f x* dm,

sont de même signe , c’est-à-dire quand le moment d’inertie / 1* d m , relatif au plan principal que l’on considère, est intermédiaire entre les momens d’inertie relatifs aux deux autres plans principaux , ou encore lorsque c’est le plan principal qui passe par les deux axes principaux dont les momens d’inertie sont l’un le plus grand et l’autre le plus petit des trois momens d’inertie relatifs aux axes principaux, tandis que ce sont des ellipses sur les deux autres pians principaux.

Nous avons vu , à la fin du chapitre précédent , que ce plan contient les deux seuls axes de convergence qui sont perpendiculaires aux plans directeurs dont les centres de convergence se trouvent sur ces axes, et que les tangentes des angles compris entre ces mêmes axes et celui des .v sont

représentées par ± ^ ; mais les asymptotes des hyper-

boles dont l’équation est Dp 1 — D' q* =£, forment aussi avec l’axe des x des angles dont les tangentes sont égales à

± l/ JL. ; ce sont donc les axes de convergence dont nous

venons de parler qui sont les asymptotes communes de toutes ces hyperboles.

Suivant que les valeurs qu’on donnera à E seront positives ou négatives, les hyperboles se trouveront dans deux des quatre angles que forment leurs communes asymptotes ou dans les deux autres. Ces angles se distinguent parce que deux d’entre eux sont divisés en deux parties égales par l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus grand, et que les deux autres le sont par l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit.

Comme c’est en prenant le premier de ces deux axes pour l’axe des x ou des p, et le second pour l’axe des y ou des q , qu’on a A > C > B , et par conséquent G < E < H , ce qui donne D et D' positifs, il est clair qu’une hyperbole représentée par l’équation Dp * — D q 1 =E , aura tous ses points dans les deux angles opposés au sommet qui sont divisés en deux parties par l’axe dont le moment d’inertie est le plus

grand quand q l sera plus petit que — et qu’ainsi E sera

positif; tandis que ces points tomberont dans les deux angles opposés au sommet, formés par les mêmes asymptotes et divisés en deux parties égales par l’axe principal dont le moment d’inertie est le plus petit, quand q l sera plus grand D D*

que — 2 y - et que E sera par conséquent négatif. Je désignerai toutes les hyperboles comprises dans les deux premiers angles sous le nom de premières hyperboles , et celles qui sont comprises dans les deux derniers, sous le nom de secondes hyperboles. Quant à la forme des mêmes courbes sur les deux autres plans principaux , si nous prenons d’abord pour plan des x y le plan principal dont le moment d’inertie est le plus grand, K sera plus grand que H et que G , d’où il suit que £) = // — K sera négatif , et D‘ = K — G, positif; l’équation Dp * — D' q l == £ deviendra donc, en changeant les signes ,

(K — //)/>* -J- (AT — C) q* -h E =z o, et il faudra prendre pour E une quantité négative arbitraire pour que cette équation soit possible. Comme les coefficiens de p % et de y sont affectés du même signe, elle représentera toujoilrs une ellipse, et l’on aura dans ce plan une infinité d’ellipses, que je désignerai sous le nom de premières ellipses. Au contraire , quand on prendra pour plan des x y le plan principal dont le moment d’inertie est le plus petit, D sera positif, D' négatif; et l’équation entre p et q devant alors s’écrire ainsi ,

(// — K) p x (G — K) q' — E = o, on voit qu’il faudra donner à E une valeur positive arbitraire. On aura ainsi dans ce plan un système d’ellipses que je distinguerai de celles qui se trouvent sur l’autre plan principal, en les nommant secondes ellipses.

Lorsque deux des trois momens d’inertie sont égaux entre eux , il y a une infinité de plans principaux passant par l’axe principal dont le moment n’est pas égal à ceux des deux autres, et un plan principal qui lui est élevé perpendiculairement par le centre d’inertie : si l’on prend un des premiers plans pour celui des x y, et l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal aux deux autres, pour l’axe des x.on aura Hr=zK et D = o, en sorte que l’équation entre p et q deviendra

■ i — V -énr

valeur constante arbitraire qui montre que les courbes que nous considérons se changent en des lignes droites parallèles à l’axe des x, et que tous les plans directeurs correspondans sont perpendiculaires à l’axe principal dont le moment d’inertie n’est pas égal aux deux autres ; leurs centres de convergence , au lieu d’être déterminés, sont alors placés indifféremment à tous les points de leurs surfaces, comme on l’a déjà vu

DES AXES PERMANENS DE ROTATION DES CORPS. 47 dans ie premier chapitre de ce Mémoire. En prenant au contraire pour plan des x y le plan principal perpendiculaire au même axe , on a G = H et D" = o , d’où D' ~ — D; l’équation entre p et q devient donc , » D

équation d'une circonférence décrite dans ce plan avec un rayon arbitraire, et dont 1e centre est au centre d’inertie. Tous les pians perpendiculaires à cette Circonférence sont les plans principaux qui, en nombre infini, passent par l’axe principal dont le moment d’inertie diffère des deux autres. Il n’y a donc dans ce cas d’autres plans directeurs différens des plans principaux , que ceux que nous avons trouvés d’abord , et qui sont perpendiculaires à cet axe.

Quand le point L est sur celui des trois plans principaux dont le moment d’inertie est intermédiaire entre les momens d'inertie des deux autres , et que ce point se trouve sur les axes de convergence qui sont les asymptotes de toutes les hyperboles dont les plans normaux sont des plans de convergence , on xDp 1 — D 1 q' r= o, ce qui donne K L ~ oet