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db
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-y'dJL
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~ dt
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- r, d c~. da
où nous avons pris positivement les tetmeÿ de la forme l » c
db
n -yy> parce que cé sont eux qui correspondent aux termes y
Z “77 » x *^7^» qui l’ont été dans les équations
et en ajoutant les projections qui appartiennent à chacun des axes des x t , des^ ( et des Z ,> on trouve, pour ces dernières vitesses,
dx ,dy . n d z ,dx ,,dy „ ,nd7
a T t -*- a 7 t ~ ha Jt-yJ—W’ b T,-*~ b d<+ b T t -Z.P- x . r ’
e ~7,-*~ c ' Yï~*~c" 77=jr ( ^ — yp , d’où il suit que les sommes des quantités de mouvement autour des axes des y,> Z,> 50,11
—y,p) — iAi l p— x /)}= 1
q'Zmxj' -fr r-ZmX'i, — pZm(y;
’J." rXmy iZ , -+-phmxj i — qXm(x*- f-J,*),
P Xmx )Zi -+- q'^my i z i — r£« (*,* -+-/,*).
En les représentant par £/, F, ^ et en faisant attention que, pour avoir les. sommes des mêmes momens autour des axes des x, des y et des Z , qui sont respectivement égales à /, /' et I ", il suffit d’y appliquer le même mode de pr^ction par lequel on passe des valeurs de x ,,y ,, l t , à celles de x, y, Z , on obtiendra, pour les trois équations qui expriment toutes les conditions du problème,
<iU-+-l>V-hcW r =I, a'U-+-b'V+cW r —l’ , à'U-^b'V-^-c'W —r.
Si l’on prend pour les axes des x /t des y, et des z,> les trois axes principaux du système relatif au point fixe où l’on a placé l’origine des coordonnées, on aura U — — V— — q hm (**-{- g'*) , V7— — rhm(x* -i-y‘); ce qui simplifie beaucoup les trois équations précédentes. Lorsque le système est un corps dont la masse est continue ; il faut remplacer m par dm, et le signe £ par /, en sorte qu’en nom-
mant A, B , C, les trois momens d’inertie du corps pris par rapport à ces trois axes principaux, £/= — Ap , — Bq, Wz=. — Cr, et que
les trois équations deviennent a A p b B q c C r — — l , a'Ap-+-b'Bq-+-c'Cr — — 1' , a" A p ■+■ b" B q c" C r — — / ". En ies différenciant, on a
B^+Cr^r=o.
de
Tt
" A -fï ‘ ( '1 T a ~ j4 P'Ti — hB ?
db • d t
n dc ’ Cr ~dT—°-
En multipliant maintenant et ces équations elles-mêmes et leurs différentielles, d’abord par a, a, a , ensuite par b, b', b", enfin par r, c, c , et ajoutant les produits obtenus dans chacune de ces six opérations, on trouve, en vertu des relations entre les neuf quantités a, b, c, a, b', c, a , b ‘ ", c" , et des valeurs de p, q, r, que A p = — al — al' — a " l" , Bq=z — bl— b'l'—V'l a . C— — cl — cl' — c"l",et que
A -J- t -+-{B— C) q r — o, B-jp-+-[C— A)pr — o, C d j-\-{A—B) p qz=zo.
En multipliant ces trois équations, respectivement par p ,q,r, ajoutant les produits et intégrant, on a A p* -f- B q‘ -f- Cr x = , et en les
multipliant de même par Ap, Bq, Cr, et intégrant, il vient
b‘ et A* étant deux constantes arbitraires.
On tire de ces dernières équations et de C =(Z? — A) p q, celles-ci :
A» —Bh‘ —C) Cr *
dr
Jt —
Ah‘ — k 1 -f[C—A)Cr‘
C dr y/jTà
/[A 1 —Bh‘ -r- B — C)Cr - ] [Ah' A‘h-(C— A)Cr‘) *
et la déÉfrmination des valeurs p, q, r, en fonction de t , est ainsi réduite à une seule intégration par quadrature; cette intégration ne peut s'effectuer sous forme finie que dans des cas particuliers que nous examinerons par la suite.
En ajoutant les carrés des valeurs de A p, de Bq et de Cr, on trouve
d’où il suit, d’après la théorie des momens, que la constante k — p//* h- /“* est la somme des momens des quantités de mouvement autour de l’axe passant par l’origine pour lequel cette somme est la plus grande possible, et que cec axe forme, avec ceux des x , des/
et des z, des angles dont les cosinus sont y et y> valeurs constantes d’où il résulte, conformément à un principe général de mécanique dont ce résultat est un cas particulier, que la direction de cet axe est invariable. Nous verrons bientôt comment on la détermine, à l’époque où l’on commence à considérer le mouvement , d’après les données qui déterminent le mouvement à cette époque.
Puisque cette direction est invariable, on peut prendre l’axe dont nous parlons pour celui des z> alors, /= o, l 1 =zo, l'z=.k, les valeurs de
Ap, Bq, Cr, se réduisent à un seul terme, et l’on a a* — y-,
6 = j- > c — — — ^ — » d ou cos o =r c — y et
tang <V = ~ÿr = -ÿf-
H reste à trouver tang *]/ = pour cela, on différenciera cette
équation et l’on aura
d 4 - c d c — e de' .
co»‘ 4. r'* *
or, COS d/ — — yi.. M — -.-, 3=- = — : — — , •
^ y/ 1 -+- tang* 4 j/i*— r"*
Donc
r d e de
££ __ f TT ~ c
i* • de "
tliminons f entre les deux équations
bJ T7-+- h ' 4 V
„ de i d e'
,n de"
b ST = P>
de"
il viendra
KA-rfi") -IL -f. (^'-aT) 44- —a' p-t-b’q— — Llflfill Mais a "A— a b" = — e', a" b'—a b‘=z c,c"=— ~ :
on a donc — e — + c — JlL±lîL ;
ce qui donne — A r'+ B f — (A P ‘+Bg‘)A __ (h'-Cr')A
*(,-^L) “ A, ~ cir * ~ a-**'*'
et ‘ •tf c* ' r v h dt, où il faudra remplacer d t par sa valeur en r
et dr, trouvée ci-dessus: on aura ainsi d-\> = d rF(r),
et en intégrant cette quadrature, le problème sera complètement résolu,
puisque
cos 6 — —
tan g 0 — — p — — B h 1 -i~(B — C) c,"
Bq Ah"— A)Cr* ’
et que r a déjà été déterminé en fonction de t par une autre quadrature.
