COS B

cos a

On a coutume, pour rendre simples et symétriques les calculs où l’on considère, dans leurs rapports mutuels, les deux systèmes d’axes dont nous venons de parler, de désigner par a, b, c, les cosinus des angles que forme l’axe des x avec ceux des x t , y t , j / ; par a , b', c, ceux de l’axe des y avec les mêmes axes ; enfin par a, b " , c" , les cosinus des angles compris entre eux et l’axe des ; : alors x = a x r -+- by t -f- cz , , yz=za' x ' b' y t c' i', z — a" x b" y t -\- c" Si l’on nomme

S l’angle compris entre le plan des xy et celui des x t y t , et <p les angles que forment les axes des x et des x avec l'intersection de ces deux plans , on aura cos 0 = c" , et, en vertu du théorème précédent,

tang 4/ = -A" > et tang <p =

Parmi les neuf quantités a, b, c, a, b', c , a , b", c”, trois seulement sont indépendantes, et les six autres sont liées avec elles par les équations

fl‘H-fl'*-4-fl'* — i , é*-+-i'*-+-4"‘ = i , r*-4-f'*-+-f'*=: i ;

ab-+-a'b'-+-d , b“ = o , ac-\-a c -\-a"c" zzzo , bc—hb'e'—h b’ c" = o .

Si l’on tire des deux dernières les valeurs de <■ et de r' , on aura

a“ A' r“ — a'A"c" > ab’ c" — a" b c"

a‘ b — ai' * C ~~~ a’ b — ab' *

et par conséquent, a' b — ab'

' b' — a' b’ ■ ab’ — a" b

nombre constant qui reste à déterminer. On a

a' x b x ■+■ fl* b' 1 -+• a" b' 1 a’* b" 1 -b- a 1 f>" ' -b- a" 1 b‘

— 2 ad bV — x a a" b'b“ — 2 a a" b b" — n* (r* H- r * -4- c" % ) ,

ou n* =fl» ( 1 -£*) -4- fl'* ( i-A il ) -t- a"* ( 1 -b " * ) — 2abd b' — 2aba" b"

— 2 a b' a" b" = fl* -f- fl'* -4- fl”* — {ab-+-d b 1 -b-a" b")* ~ 1.

On peut donc prendre également n — 1 ou b = — 1 : en adoptant la première de ces valeurs , il vient

a b — ab nz c , ab — a b = ç , a b — a b —c.

Les équations de l’équilibre d’un système de points matériels liés invariablement entre eux , qui est assujetti à tourner autour d’un point fixe, et dont les particules sont soumises à l’action de forces motrices représentées par X , Y, TL pour le point m, par X t , K, Z. pour le point m,, &c. étant

S(/Z — Z r) = o, S(^-rZ) = o, Z(xY—vX) t

on aura, pour les équations du mouvement, ’ ^ 1 .

£ [*Z — l Y ~ "(y-T?— ZT7~)]=°’ . .

z[ z X-xZ-m( z ^-x £L)\ = o, ;

yX — m(x4 ^— y -^)] = o. ... . Jv ,

Lorsque Je système n’est soumis àl’action d’aucune force extérieure, ces équations deviennent ^ • . ,

U £ffi [y

dt‘l

) oj dt , y dt . )

dont les intégrales relatives à la variable t sont

Ces équations expriment que les sommes 1 des momens des quantités de moùvémënt m - y-* - ' •» m ^ de chaque particule du corps,

autour de trois axes fixes dans l’espace , restent constantes pendant toute la duree dû mouve/uent. 1 ' Vl '

. 1 n . ; ■ n- d x d a! - d b . > de

Comme on a — = x — r t-v — ; 1- 7 — ; — >

dy da db de d? da db" de"

7jr=*,-7p-*>,-rr+i,i!T* 1 7 =*—+*' it »

pour les vitesses du point m, parallèlement aux x,y, z, on en déduira les valëtlrs dé celles du même point , parallèlement aux x ( , y , z,> en projetant les ptemières sur les directions de celles-ci. En faisant, pour abréger ,

dc V de ...

, db'

„ db"

- — rfF, - <

d tf de

y de'

C , di de "

*~ c dt 1 c