Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes

Méthode générale pour la détermination des racines réelles des équations algébriques ou même transcendantes ,*

Par M. Aug. CAUCHY.

(Présenté en partie à l’Académie des Sciences dans la séance du 4 septembre 1357.)

La méthode que je vais exposer est tellement simple, qu’il y a lieu de s’étonner qu’elle ne se soit pas présentée plus tôt à l’esprit des géomètres. D’un autre côté elle est tellement générale, qu’elle fournit immédiatement des valeurs aussi approchées qu’on le désire de toutes les racines réelles des équations algébriques , souvent même des équations transcendantes. Enfin, les approximations successives sont, non-seulement très faciles, mais encore très rapides , pour le moins aussi rapides que dans la méthode newtonienne , et il arrive bientôt un moment où le nombre des chiffres décimaux est plus que doublé à chaque opération nouvelle. Tous ces avantages réunis ne me permettent pas de révoquer en doute la nouveauté de la méthode, quoique je n’aie en ce moment à ma disposition aucun ouvrage écrit sur le même sujet. Mais ils sont tellement sensibles que la méthode, une fois livrée au public, ne pourrait manquer, ce me semble, d’être adoptée et mise en pratique par tous les amis des sciences. Je commencerai par énoncer deux des principaux théorèmes sur lesquels elle s’appuie ; puis je déduirai de ces théorèmes la méthode elle-même. ier Théorème. Supposons que les deux fonctions

étant l’une et l’autre positives, pour xz= a , resîentfinies et continues entre les limites

et vérifient constamment, dans cet intervalle, la condition

Si la seconde des équations

offre une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites données, et, si l’on nomme c celle de ces racines qui est la plus voisine de la limite a, l’équation (i) offrira elle-même une ou plusieurs racines réelles comprises non-seulement entre les limites

a et b y

mais encore entre les limites plus resserrées

a et c.

Démonstration. En effet, dans l’hypothèse admise, la condition

étant vérifiée pour x=c, en même temps que l’équation (a), donnera

et comme on aura d’ailleurs

la fonction f(x) passera du positif au négatif, tandis que la variable x passera de la valeur x — a à la valeur x =c. Donc cette fonction, variant dans l’intervalle par degrés insensibles, puisqu’elle reste continue, s’évanouira pour une valeur de x comprise entre a et c.

Le théorème ier, dans lequel on peut supposer à volonté b<a, ou b>a, entraîne évidemment la proposition suivante, a* Théorème. Soit

une équation dont le premier membre reste fonction continue de.r, entre des limites données

Soient encore

quatre fonctions qui restent continues entre ces limites, et se réduisent à des quantités affectées du même signe que /(x), les deux premières, pour x=x0 , les deux dernières pour.r = X. Supposons, d’ailleurs, qu’entre les

limites données ces diverses fonctions vérifient constamment les conditions

f(x o) ^ f(xo) ^ /(* o)’

n(ar) . *(*)

le signe ■< pouvant être remplacé par le signe =s, quand la variable x se réduit, dans la formule (3) , à la limite x,, ou dans la formule (4), à la limite X. Enfin, concevons que, dans le cas où des valeurs de x renfermées entre x0 , X vérifieraient, comme racines, soit l’équation (i), soit une ou plusieurs des équations auxiliaires

(5) nr{x) = o, (6) rj/(a:) = 0, (7) U(x) = o, (8) *(x) = o,

on nomme

£ et S la plus petite et la plus grande de ces racines, pour l’équation ( 1 ) , jx la plus petite, pour l’équation (5),

•r0-+- v la plus petite, pour l’équation (6) ,

X — M la plus grande , pour l’équation (7),

X — N la plus grande, pour l’équation (8).

Si l’équation (1) admet effectivement des racines réelles comprises entre les iimites x„, X, l’existence de ces racines entraînera l’existence des racines

xa *4 ~ > X — M ,

qui pourront être substituées avec avantage aux limites x„,X , attendu que l’on aura