IO) 2 < X — M

les deux racines £ , S pouvant être distinctes ou se réduire à une seule. De plus, l’existence de la racine «r0-f-v entraînera toujours l’existence des racines 2 , distinctes ou non l’une de l’autre , et par suite des racines

x0~\~ ft , X — M

qui vérifieront la condition (10) ainsi que la suivante

(il) xo +/“ < I < xo 4- »■

Pareillement l’existence de la racine X — - N entraînera toujours l’existence des racines 2 distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite des

racines x0 H-fx, X — M

qui vérifieront la condition (9) avec la suivante

Corollaire 1". Si la limite xa était racine de l’équation (1) , elle devrait être pareillement racine de l’équation (5); et, en excluant cette racine , on pourrait énoncer encore le 2e théorème, pourvu que l’on remplaçât, dans la formule (3), la quantité f (ac0') par J {pc0 -f- g), g désignant un nombre infiniment petit.

Corollaire 2e. Si la limite X était racine de l’équation (1), elle devrait être pareillement racine de l’équation (7) ; et , en excluant cette racine, on pourrait encore énoncer le 2e théorème, pourvu que l’on remplaçât, dans la formule (4), la quantité f (X) par f(X — g), g désignant un nombre infiniment petit.

Corollaire 3e. Supposons la fonction f (x) décomposée en deux autres

dont les dérivées

soient la première toujours croissante, et la seconde toujours décroissante, pour des valeurs croissantes de a:, comprises entre les limites données; ce qui arrivera, par exemple, si, ces limites étant positives, et f{x) une fonction entière, on prend pour <p (x) la somme des termes positifs, et pour — % ( x ) la somme des termes négatifs. En désignant par a une quantité comprise entre les limites xD, X, ou même équivalente à l’une de ces limites, on aura, en vertu d’une formule connue

(13) p(x) = *(«) + (* — a) <p' (k), % (x) = as (a) -f (x — d) (u) ,

les quantités «, v étant renfermées elles-mêmes entre a et x, à plus forte raison entre les limites x0, X; puis, en ayant égard à l’équation identique

on tirera des formules (i3)

Comme on aura d’ailleurs, dans l’hypothèse admise,

la formule (i5) donnera

puis, en divisant par f(a) les deux membres de celles-ci, on trouvera, i°. si f Ça) est positif