XJ
et l’on sera en droit d’affirmer qu’il en est ainsi, lorsque la substitution des deux quantités (i3) ou (14) à la place de x , dans la fonction Jrx), fournira deux résultats de signes contraires. Alors aussi le nombre des racines égales à £ ou H sera certainement impair. Si ce nombre devenait pair, on pourrait affirmer que la racine 0 ou S est effectivement comprise entre les limites(i3) ou (iZj), à l’instant où la substitution, effectuée non plus dans f(pc ), mais dans J'(x), fournirait des résultats de signes contraires.
En joignant les remarques précédentes aux principes établis dans les paragraphes qui précèdent , on obtiendra non - seulement des valeurs indéfiniment approchées de toutes les racines réelles , mais aussi, lorsque les approximations deviendront suffisamment grandes, des limites des erreurs commises dans la substitution des valeurs approchées aux valeurs exactes.
Au reste, on arrive encore plus promptement au même but, en remplaçant la méthode linéaire par celle qui se fonde sur l’emploi des équations auxiliaires du second degré.
Nota. Lorsque £ étant une racine multiple de l’équation (1), i désigne le nombre des racines égales à £ , et a une valeur très approchée de f , l’équation (4) donne à très peu près
tandis qu’en nommant b une nouvelle valeur approchée fournie par la méthode newtonienne, on aurait
Donc, a étant une valeur très approchée de 0, on aura sensiblement
Soit c une nouvelle valeur approchée de 0 qui se déduise de b , comme b de a. On aura encore sensiblement 0 = b -f- i(c — b) , et par suite
La formule (18) fournit le moyen de déterminer, dans la méthode newtonienne, après un nombre suffisant d’approximations, le nombre des racines égales à £ , et la formule (i5) est celle qu’il convient de substituer alors à la formule (16), dans les approximations nouvelles.
§ iv.
La fonction f(x) étant supposée entière entre les limites x — x0, .x=X, concevons qu’il s’agisse de trouver les racines de l’équation
comprise entre ces limites , et nommons 0 la plus petite de ces racines. La méthode linéaire fournira une série de termes
qui s’approcheront en croissant de la racine 0. Si la racine 0 étant multiple, i désigne le nombre des racines égales à 0, alors, en vertu des principes établis dans le paragraphe précédent , on aura , pour de grandes valeurs de m ,
cT désignant un nombre très petit; et par suite
Donc on aura sensiblement , pour de très grandes valeurs de m, ou , ce qui revient au même, pour de très petites valeurs de J' ,
Xm
• f'(Xm)
f ‘ton) *
et rigoureusement
fU O /'(*-) ’
Xm— (*+»)
/fa-) "1
/'fa.) J’
la lettre M indiquant une moyenne entre les quantités que renferment les parenthèses. Cela posé , pour une valeur de xm suffisamment approchée de £ , on pourra substituer à xm+l le second membre de l’équation (5) , en prenant
; /fa")
(7) **+« — Xm f\Xm ) ’
et alors , en vertu de la formule (6) , l’erreur que produira la substitution de xm+1 à £ , sera inférieure à la valeur numérique du rapport
/fan.)
/'fam) ‘
Mais, pour appliquer la formule (7), il est nécessaire de connaître la valeur de i. Or si l’on nomme a une valeur très approchée de a pourrait être précisément xm, et b la nouvelle valeur approchée que fournirait la méthode newtonienne, on trouvera
h — n — /fa (9) “ f\a) >
et, en vertu de la formule (5), on aura sensiblement
On aura de même, en supposant que c soit déduit de b , comme b de a,
et par suite
d’où
Ainsi, d’une première valeur très approchée de la racine £, il suffira d’en déduire deux autres b, c, par la méthode newtonienne, pour obtenir une valeur très approchée de i , ce qui sera suffisant , le nombre i devant d’ailleurs être un nombre entier. La valeur de i étant trouvée, la formule (7) pourra, dans la recherche de nouvelles valeurs approchées,
être substituée avec avantage à la formule (9), employée par Newton , et la formule (8) fera connaître les limites des erreurs commises. On pourra d’ailleurs s’assurer directement que la différence £ — xmJrl olfre une valeur numérique inférieure à celle de l’expression (8), en substituant successivement les deux quantités
Xm— (*— 0
Xm — ( I -{-
'l f Tm'>
' f (,rm) ’
à la place de x , dans la fonction f(x), si le nombre i est impair, et dans la fonction f {oc) , si le nombre i est pair; car une racine £ de l’équation (1) ou de sa dérivée sera certainement comprise entre les quantités (1 1), si les substitutions successives de ces deux quantités fournissent des résultats de signes contraires; et il devra en être ainsi , lorsque le nombre m sera très considérable.
Au reste, lorsque x,n représente une valeur déjà très approchée de la racine £ supposée multiple, il suffit, pour obtenir de nouvelles valeurs approchées, qui convergent rapidement vers la racine £, d’appliquer la méthode newtonienne à l’équation (1) présentée sous la forme
attendu que £ sera une racine simple de l’équation (12). posant , pour abréger ,
Alors , en
on déduira de x,„ une nouvelle valeur approchée xm±, à l’aide de la formule
ou
® ( xm) <f>'(xmy
/(*«)/'( fm)
[f'(xm)Y — f(Xm)f"(Xmy
Des opérations semblables à celles que nous venons d’indiquer serviront encore à déterminer la plus grande des racines comprises entre les limites x„,X, si cette racine S était multiple.
Étant donnée une fonction f[x ) qui reste finie et continue ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre f\x), f"(x), entre les limites
X = xot X = X > x0,
on aura , en supposant x et a renfermés entre ces limites ,
la valeur de u étant elle-même renfermée entre a et x , à plus forte raison entre xa et X. Cela posé , nommons
v et V
la plus petite et la plus grande des valeurs que la fonction ^f'(x) puisse acquérir entre les limites xz=x, , x = X, ou bien encore des quantités dont la première soit inférieure à la plus petite de ces valeurs, et la seconde supérieure à la plus grande. L’équation ~f"{u ) =M(e, V), jointe à celle qui précède, entraînera la formule
Or, de ces dernières formules, jointes aux théorèmes 2 et 3 du § lr, on déduira immédiatement la proposition que je vais énoncer.
Théorème ier. Soit
une équation dont le premier membre reste fonction continue de x , ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre , entre les limites x=xa , x = X >• x0. Nommons v la plus petite, Y la plus grande des valeurs que la fonctiou \f"(x) puisse recevoir entre les limites dont il s’agit, ou bien encore deux quantités, la première inférieure à la plus petite de ces valeurs, la seconde supérieure à la plus grande, et concevons que l’on résolve les équations du second degré
(2) /(*,) +(*— *.)/'(*„) + v(x—xoy=o , f{x0) + {x—x0)f{xo) -f V (x— x0)*=o ,
(3) f(X) + (x-X)f'(X) + v(x-X)‘= o, f(X)+(x-X)f(X)- fV(* — X)*=o.
Supposons d’ailleurs que, dans le cas où des valeurs réelles de x, renfermées entre x. , X , vérifieraient, comme racines, soit l’équation ( 1 ï ,
soit les équations auxiliaires (2) et (3); on nomme
Ç et H la plus petite et la plus grande de ces racines dans l’équation (1), x, et x.-f-cT, la plus petite pour l’une des équations (2), et la plus petite pour l’autre, «T, étant positif,
X, et X, — g, la plus grande pour l’une des équations (3) et la plus grande pour l’autre, g, étant positif.
Si l’équation (1) admet effectivement des racines réelles comprises entre les limites xQ , X , l’existence de ces racines entraînera l’existence des nouvelles limites
qui pourront être substituées avec avantage aux limites données
xD X ,
attendu que l’on aura
Les deux racines S pourront d’ailleurs être distinctes l’une de l’autre, ou se réduire à une seule. De plus, l’existence de la limite
entraînera toujours l’existence des racines £ , H distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite l’existence des limites x , , X, qui vérifieront la seconde des conditions (4) avec la suivante
Pareillement l’existence de la limite X, — e, , entraînera toujours l’existence des racines H distinctes ou non l’une de l’autre, et par suite l’existence des limites x,,X, qui vérifieront la première des conditions (4) avec la suivante
Corollaire 1". Supposons la fonction f(x ) décomposée en deux autres
dont les dérivées du second ordre
restent fonctions continues de x, entre les limites x=x0, x~X, et soient
la première toujours croissante , la seconde toujours décroissante entre ces limites. La condition
entraînera les suivantes
4>Vo) < <?>» < <P'(X) , *"(*„) < < /(X) ;
et en conséquence la fonction
sera supérieure à c, mais inférieure à Y, si l’on pose
Donc alors on pourra, dans le théorème énoncé, attribuer à c et à Y les valeurs que fournissent les équations (7).
Si , les limites x0 , X étant des quantités positives , l’équation ( 1) a pour premier membre une fonction entière de x, on pourra prendre pour Q{x) la somme des termes positifs de ce premier membre et pour — %{x) la somme des termes négatifs.
Corollaire 2. Si les limites x„, X sont assez rapprochées l’une de l’autre pour que la fonction dérivée du troisième ordre f'"(x ) ne change pas de signe entre ces limites , la fonction dérivée du second ordre f"(x) sera toujours croissante ou toujours décroissante depuis x=x0 jusqu’à x=X. On aura donc alors, pour une valeur de u comprise entre les limites données ,
et par suite on pourra prendre pour
e et V
la plus petite et la plus grande des deux quantités
Corollaire 3. Supposons les valeurs de 0, V déterminées d'après une des règles énoncées dans les corollaires 1 et 2 , ou d’après toute autre réglé, en vertu de laquelle la condition f"{u) — M (e, V) étant vérifiée pour toute valeur de u comprise entre x0, X, les limites c, V se rapprocheraient l’une de l’autre en même temps que les limites xa, X. Supposons d’ailleurs que 1 équation (1) offre une ou plusieurs racines réelles comprises entre les limites x , , X. L’existence de ces racines entraînera
l’existence des nouvelles limites désignées par xt, X, ; et si l’on représente par
^01 ^1 1 X a > «373 y CtC. j ^ J X 1 y X 2 | X3 j C tC •
deux séries de termes dans chacune desquelles le troisième terme se déduise du second, le quatrième du troisième, etc.; comme le second se déduit du premier, le terme général de la série (9) s’approchera indéfiniment de la racine £ , et le terme général de la série (10) de la racine H , £ étant la plus petite , et H la plus grande des racines dont il s’agit. En effet, soient
ce que deviennent v et Y, lorsqu’on remplace x0 et X par xm et Xm, m étant un nombre entier quelconque ; vm et Vm seront compris entre les limites e, Y; et xm+1 sera la plus petite des racines qui, étant comprises entre xm , X„, vérifieront l’une des équations
(il) f(Xm)+{X-Xm)f\xm) -f Vm(X-Xmy=0 , /(lm)+(^m)/'(ïm)+V„(Mm)'=0;
par suite f(pcm ) sera équivalente à l’une des quantités
Or , comme les termes de la série (9) croissent toujours sans pouvoir surpasser X, il est clair que, pour des valeurs infiniment grandes de m , la différence positive x,n+l — xm devra être infiniment petite, et qu’alors chacune des expressions (12) deviendra encore infiniment petite avec la valeur numérique de f(xm). Donc, si l’on nomme g la limite dont s’approche en croissant le terme général xm de la série (9) , f(£) ou la limite de f[xm) sera nulle; et £ ne pourra être que la plus petite des racines de l’équation (1) comprises entre x„ et X , attendu que cette plus petite racine devra surpasser tous les termes de la série (9).
O11 prouvera de même que la limite H dont s’approche en décroissant le terme, général de la série (10) se réduit à la plus grande des racines de l'équation (1) comprises entre les limites xa , X.
Si l’équation (1) n’offrait point de racines comprises entre x0, X , alors les équations auxiliaires cesseraient d’offrir deux racines comprises entre X, et que l’on pût considérer comme deux nouvelles limites xl} X, ; ou les termes de la série (9) finiraient par surpasser ceux de la série (10). La méthode de résolution , fondée sur la détermination des divers
termes de la série (9) ou (10), ou, ce qui revient au même, sur l’emploi des équations auxiliaires du second degré (2) et (3), est ce qu’011 doit naturellement nommer la méthode des approximations du second degré, ou simplement la méthode du second degré.
Corollaire 4- Supposons la fonction f"\x) toujours affectée du même signe entre les limites xz=x0, x=X. Alors , en vertu du corollaire 2, on pourra prendre
£/"(*.) et if \X)
pour valeurs de 0 et de Y, ce qui réduira les équations auxiliaires (2) et (3)
aux suivantes :
lf(x0) +(X- x0)f\xo) + f(X) = 0
f/CX) + (* -X)/'(X) + (*~X)7'W - 0,
Supposons maintenant la fonction f(x) décomposable en deux autres
dont les dérivées du troisième ordre
restent fonctions continues de x entre les limites x = xQ , x = X, et soient la première toujours croissante , la seconde toujours décroissante entre ces limites. Les deux différences
seront, la première inférieure à la plus petite , la seconde supérieure à la plus grande des valeurs qu’acquerra entre ces limites la fonction
Par conséquent, si les quantités (i5) offrent le même signe, ce signe affectera constamment la valeur de f"'(x) entre les limites données. Donc , pour que les équations auxiliaires puissent être réduites aux équations ( 1 3), 04), il suffit que les quantités (i5) offrent le même signe.
Si, les limites x0 , X étant des quantités positives, l’équation (ri) a
pour premier membre une fonction entière de x, on pourra prendre pour <p(x ) la somme des termes positifs du premier membre , et pour — X(x) la somme des termes négatifs.
La première des formules (i3) , ou la seconde des formules (14) est celle qui a été indiquée par Halley, comme offrant le moyen de tirer d’une première valeur suffisamment approchée d’une racine £ ou H une série d’autres valeurs indéfiniment approchées de la même racine.
Corollaire 5. Les équations (2), résolues par rapport à x — x0 , ou
plutôt par rapport à
donnent
J (go) f , -K .
/ ///(go) [
ou , ce qui revient au même ,
v/gy /'(*.) ' [/'*<>)?
et chacune des valeurs précédentes de x sera réelle , si le signe de /’(x0) est contraire à celui de la quantité v ou Y , ou bien encore , si la valeur numérique de f(x0) est assez petite pour rendre celles des produits
4 /(g.) 4v/(gp)
[/'(go)?’ [/'(go)]5
inferieures à l’unité. Pareillement les équations (3), résolues par rapport à x, donnent
et chacune de ces dernières valeurs de x sera réelle , si le signe de /(X) est contraire à celui de v ou Y, ou bien encore, si la valeur numérique de /(X) est assez petite pour rendre celles des produits
inférieure à l’unité. D’ailleurs , en vertu du théorème 2 , on pourra , dans les formules (16) ou (18), fixer le double signe de manière que les valeurs de x fournies par les équations (16) soient supérieures à x0, mais aussi rapprochées que possible de x, , et les valeurs de x fournies par les équations (18), inférieures à X, mais aussi rapprochées que possible de X. Or on atteindra ce but, si les conditions
/fo>) ^
f'\Xo)
se trouvent remplies, en réduisant les formules (16) et (18) aux suivantes :
/ vf{X „)
yw
Si , la première des conditions (20) étant remplie, l’équation (1) admet des racines comprises entre les limites æ0 , X, la plus petite £ surpassera la plus petite x, des valeurs de x que donneront les formules (21); et, en prenant x, pour on commettra, si ces deux valeurs sont réelles et renfermées entre x0 , X , une erreur plus petite que leur différence , c’est-à-dire plus petite que la valeur numérique du produit
fr/te) . /, 4V/(Q
v [/'(*.)? v r f'ixn)v
/ vf(x o) H I . / / V 1
i-nk— }|' + v/,-4rrwj:)
équivalent lui-mème à l’expression
[f\x0)v{ i+v/1 ^[/U)y}{1+^1 *Æ-}{\/» 4CAij],+v/1 4rXi)?}*
Il y a plus , si la première des conditions (20) étant remplie , les seconds membres des formules (21) sont renfermés entre les limites xD , X , ces seconds membres, que nous représenterons alors par
comprendront entre eux une racine £ de l’équation (1); et pareillement, si , la seconde des conditions (20) étant remplies, les seconds membres des formules (22) sont compris entre les limites x„ , X , ces seconds membres que nous représenterons alors par
comprendront entre eux une racine E de l’équation (1).
Corollaire 1". Si la plus petite £ des racines de l’équation (1) comprise entre x„ , X est assez rapprochée de xa pour que la fonction dérivée f\x) ne change pas de signe entre les limites x = x, , x = X, le
rapport qui décroîtra, dans cet intervalle, en passant de la valeur
uositive s= x à la valeur nulle =0, offrira une dérivée LC^;
r f{Xo) /(*„) M.T„)
toujours négative. Donc alors, la première des conditions (20) sera remplie , et la racine £ surpassera la plus petite x, des valeurs de x fournies par les équations (21).
Pareillement , si la plus grande E des racines de l’équation (1) comprises entre les limites x0, X est assez rapprochée de X pour que la fonction dérivée /'(x) ne change pas de signe entre les limites x = E , x = X, le
rapport
qui croîtra dans cet intervalle , en passant de la valeur nulle
flzL — o à la valeur positive /(X)
offrira une dérivée
tou-
jours positive. Donc alors la seconde des conditions (20) sera remplie , et la racine E sera inférieure à la plus grande X, des valeurs de x fournies par les équations (22).
ex/ 7 Cth-oiVa^-
ii)«- 9«^- CoiyJla.
*» Z U^PüL. *~)ç JL lJi4
ifLc
Co un-&4.
•'}±v" c/{{ . Lluj^h^ (Pcu-c/Lj
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