PREMIERE PARTIE

DU MOUVEMENT DU PENDULE DAÎîS UN AIR CALME.

Préliminaire*.

Un corps pesant ab ( fig. 1 ) repose , par une face A Fig. 1* cylindrique de , sur un plan

horizontal gh. On Técarle de sa position d'équilibre ^ puis on Tabandonne h luimême. Il exécute alors, autour de cette position et en roulant contre le plan , une série d*oscillations d'amplitude décroissante , sous rinfluence de la pesanteur , des réactions du plan fixe et de la résistance de l'air.

Nous nous proposons d'étudier ce mouvement et ces résistances, en nous aidant de l'expérience et du calcul

h DE LA HÉSISTANCE

Le corps pesant peut être assimilé h un pendule, et le cylindre de suspension h un système de deux tou> rlllons. Nous supposerons que ce cylindre a pour section droite un cercle d'un diamètre assez petit, et que récart initial est peu considérable.

Les réactions du plan fixe peuvent se réduire à une force rencontrant la génératrice de contact, et à un couple. Convenons d'abord de négliger le couple : ce qui revient h négliger la résistance au roulement; et admettons que la force est située , avec le centre de gravité du corps, dans un plan perpendiculaire à la génératrice de contacL

De même , la résistance de Tair peut être représentée par une force et par un couple ; supposons-les tous deux perpendiculaires à la génératrice de contact, et la force rencontrant la génératrice au même point que la réaction du plan.

Si Ton compose ces deux dernières forces en une seule F, on voit que les forces qui agissent sur le pendule sont: 1". son poids p; 2°. la force f; 3". le couple c de résistance de Tair.

Hypothèse faite sur la résistanee de l'air.

Soit oa la vitesse angulaire de rotation du corps autour de Taxe du cylindre, vitesse variable à chaque instant. Nous admettrons que l'expression du couple c est de la forme

(1) c = Hw -h Kw2,

OÙ H et K sont des coefficients constants pour un même pendule ; nous chercherons quelle doit être ,

DE l'air.

dans celle hypolhèse^ la nalure du mouvemeDl du pendule ; el nous examinerons dans quelles condilions Texpérience vient vérilier les résultats du calcul.

Equation du mou^'ement oseillntoire d*an pendule appuyant eontre un plan Axe par deux tourillons.

Soient ox el oy ( fig. 2 ) deux axes rectangulaires

menés dans le plan qui renferme les forces , le premier axe ox étant situé sur le plan Çwe. Le plan xoy coupe le cylindre suivant un cercle de centre I et de rayon ia , qui roule contre la droite ox pendant le mouvement oscillatoire du pendule.

Supposons que , lorsque le pendule est au repos , le point de contact du plan fixe el du cylindre soit placé en Torigine o : en sorle que l'on ail toujours

arc TA = To ,

T étant le lieu du contact à un instant quelconque , et A le point où la circonférence rencontre la droite ig qui va du point i au centre g de gravité du corps.

Représentons l'angle tia par 9. Pendant toute la durée de roscillalion , $ diminue algébriquement , et l'on a

6 DE LA BÉSISTANCE

Appelons a le rayon ia ; Ma distance I6 ; x eiy les coordonnées de la projection m , sur le plan xoy , d'an élément quelconque ayant m pour masse ; r la distance IM ; u Tangle mia ; g la gravité ; p x 6' le moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe du cylindre , moment où Ton a substitué les poids aux masses.

Si l'on estime les moments des forces par rapport au point t, on obtient Téquation

'(r dru d'x\

(2) 2: m |(ay~a0)— f — y— j = p/sinô - c ,

laquelle va servir (\ déterminer 0 , après qu'on aura remplacé a;, y et c par leurs valeurs exprimées en fonction de G. On a

. (x = aQ 4-.rsin(M— 6),

\y =^ a — rcos(ii — 0),

dQ do-

Substituant ces résultats dans l'équation (2) , tenant compte des relations

2 mr sin m - 0 , l mr cosm -= -/ , l mr- = -b^,

et posant

^^) a' 4- b' - 2al """ "' '

il vient , pour déterminer 0 , la relation

/ ( Uan'- . . 6 ) (/^0 , n^n dO \

DE l'air. g

d'où Ton déduit , pour le décroîssement z de Tamplitude après uoe oscillation «

Calcul du nombre de* oscillation* ettetiiMÈéem entre deux limites données de l*amplltade*

Connaissant z, calculons maintenant, en fonction de « , le nombre n des oscillations effectuées par le pendule, lorsque ramplltude décroît depuis la valeur constante olq jusqu'à la valeur a variable.

Soit posé

si Ton change a en a — z , n se change en n H- 1 , et Ton a approximativement

d'où , en rapprochant les deux égalités ,

On en conclut^ n étant nul pour a=a^,

Ecrivons la valear de z de la formule (il) sous la forme

et substituons dans la formule (12). Nous obtiendrons, après intégration ,

(13) « = JL X /„j, f^L(l±l) .

^ ^ A loge ''a(a,,+ B)

Cette relation pourra servir à déterminer a et b , et par suite h et k', au moyen de deux systèmes de valeurs de n et «, ou d'un plus grand nombre, donnés par l'observation. Comme elle revient [i

(l(i) A loge = - \log -~^^—. — [ ,

on voit qu'il faudra déterminer n de manière à faire prendre au second membre , quels que soient \ et a , une valeur constante , qui sera celle de a loge et permettra de calculer a.

Vérifions maintenant les formules (11) et (16) , dont la seconde n'est qu'une conséquence de la première, et où l'on a évidemment, entre les quantités a , u , ii et K , les relations

2p/ 8km

DE L*AIR. il

Di»i»osi(ion adoptée pour vérifier expérimenlaleBienl

les réiiullalfi du ealeul.

Une plaie-forme en chOne ab (fig. Sel fig. 6), de O™. 80 (le long sur 0"\ 10 de large el 0"'. 03 d'épaisseur , est fixée horizontalement à une cerlaine hauteur enlre deux tasseaux g et h. Une ouverture rectangulaire CD , longue de 0". 20 et large de 0™. 02 , la traverse de bas en haut. Sur la face supérieure de la

Fig. 3 (1).

ui

lÛ^

plate-forme, et recouvrant une portion de l'ouverture , est incrustée une petite plaque en cuivre poli, £F« percée d'un trou de môme largeur que Touverlure et qui lui correspond.

Une tige en fer kl { fig. /i ) , de section rectangulaire ayant pour dimensions 0"*. 015 et 0". 006, se termine , vers ses deux extrémités , par deux parties cylindriques de 0™. 011 de diamètre. Sa longueur totale est de 1'". 275 , et son poids de 0 kilog. 955. L'extrémité inférieure est percée , suivant Taxe , d'un trou également cylindrique, dans lequel on fixe un bouchon ; dans ce bouchon , on implante une aiguille u. L'extrémité* supérieure porte un filet de vis , sur lequel peut se visser un écrou.

Cinq manchons ou cylindres creux , en cuivre , de

(1) Projection sur na plan hortionlal.

0". 1 de hauteur « ouverts par leurs bases, sont percés latéralement , vers le milieu de la hauteur , de deux

ntr

ouvertures circulaires en regard , à travers lesquelles CD peut introduire Textréroité supérieure de la tige.

(i) Projection sur on plun parallèle au plan d*oscillalion.

DE l'air. 13

Le tableau suivant fait counaltre le dianiètre 2a et le poids p de chacun de ces cylindres.

CYLINORBS.

OIAMÈTUeS.