S VI

Courants d'induction de différents ordres. Je renverrai pour l'explication de ces courants à la théorie connue de M. Henry, confirmée depuis par les expériences de M. Verdet. Elle rentre complètement dans la théorie précédente.

Courante d'Induction produit par le déplaecment d*aB conducteur en présence d'un courant ou réciproquement.

L'intensité du courant inducteur étant supposée constante et égale 5 i, l'action produite par ce courant en

un point quelconque m du conducleur, esl, comme nous Pavons vu préccdemmenl (§ 111, formule 5) :

a, h (« — f,) ai h i d S

laquelle est insuffisante dans les circonstances ordinaires pour faire naitre un courant. Si on fait mouvoir le conducteur par rapport au courant, qu*on Ten rapproche,

par exemple, d'une quantité — rfr ou — -j- dt pendant

rintervalle de temps infiniment petit dt^ rclectricitc positive des lieux successivement occupés par les sections a' etâ', viendra s'ajouter à celle qui entoure déjà ces sections, de manière à former deux couches, sinon égales, du moins proportionnelles en intensité à la somme des intensités des couches traversées. Ainsi, la variation de force produite pendant cet instant pourra être représentée par la formule :

6 A f dr . ,

ou — '—7 -rr did 8

dans laquelle p est une constante. Si nous mesurons, à chaque instant, comme nous Tavons fait jusqu'à présent, la force électromolrice effective par la variauon produite pendant Funiié de temps, nous aurons pour Texpression de celte force :

?h i dr k r d t ^ '

Quant à Tintensité du courant induit, elle sera au même instant :

A /' r rf ( */p ou, puisque la valeur de i est supposée constante : jS h A' «' i dr

Ces formules nous permettent de conclure d*abord relativement à la direction du courant induit : que cette direction est inverse ou directe suivant qu'on approche ou quon éloigne le coiiducteur du courant; car dans le

premier cas la force éleclromotrice donnée par la formule

(1) est positive, et dans le second elle est négative. Si on

dr l'arrête, le courant cesse ; car la valeur de -7— devient

égale è zéro. Les mêmes phénomènes se présenteraient

évidemment, si au lieu de faire mouvoir le conducteur,

on Taisait mouvoir le courant.

Quant à Tintcnsité, nous voyons par la formule (3) :

1* Qu'elle est è chaque instant proportionnelle à la vitesse

j- du déplacement relatif de Tun des fils par rapport à

Tautre ; ^ proportionnelle à Tintensité du courant inducteur ; S"" proportionnelle à la conductibilité du fil induit ; 4** proportionnelle à la conductibilité extérieure du fil inducteur et indépendante de sa section ; K"" inversement proportionnelle à la conductibilité de ce fil; G"" inversement proportionnelle à la distance des deux fils.

La plupart de ces lois ont déjà été vérifiées par l'expérience. La première de celles que nous venons d'énoncer relativement à l'intenshé du courant induit, a même fourni à M. Newmann l'un des points de départ de sa théorie mathématique de l'induction.

S Vin.

Au lieu de supposer le fil inducteur et le fil induit parallèles l'un à l'autre, comme nous venons de le faire,

considérons le cas d'un courant recliligne îndéOiii Oie, le long duquel on transporte mécaniquement un conducteur mobile limité, perpendiculaire au premier. Par suite de la perte d'électricité qui a lieu autour de chacun des points du (il inducteur, deux causes peuvent concourir il la formation d*un courant induit dans le fil CD :

il) D

1^ la production de couches d'intensités dilTérentes autour des diverses sections de ce fil pendant son déplacement ; ^ la production directe d'un courant occasionne par réleclricilé qui entre dans CD ou qui en sort, soit par rextrémité C la plus rapprochée de AB, soit par les différents points du contour du fil.

Pour reconnaître l'influence due à la première de ces causes, désignons par i la tension du fluide positif au

point a ; elle sera — au point b et — ; — r- au point

6^ h représentant comme précédemment le coeflicicnt de conductibilité extérieure du fil inducteur. Lia diffé-

rence de ces deux quantités est h \^- ' j

ou simplement — - — . Celle diflërcncc de

r (r + dr) r

densité des deux couehes qui cnlourcnt le conducteur mobile en 6 et b' est insuflisante pour vaincre la résistance du fil induit, puisque n*y a point de courant, tant que le fil est au repos. Mais si on le déplace parallèlement à lui-même , en sens inverse du courant, par exemple, il se formera autour des mêmes points, pour

un déplacement petit ds ou j- dl^ deux couches, qui,

par la variation de la différence de leurs intensités pendant Tunité de lemps, serviront à mesurer la force élcciromotrice effective. Or, celte variation est nulle, comme nous allons le reconnaître. Concevons d'abord, pour plus de simplicité, que les points b et b\ au lieu d*élre espacés Tun de Tautre d'une quantité infiniment pelile c/r, soient à des dislances r et 2r, c'est-à-dire, à des dislances doubles Tune de Taulre du fil ÂB, Les valeurs de c en

ces points seront ^ et — ' ; elles seront entre elles dans

le rapport de 1 à 7. D'un autre côté les vitesses de transport du fluide le long du fil induit variant en raison inverse des dislances, comme nous l'avons reconnu dans d'autres circonstances, sont aussi en ces points dans le rapport de 1 à 7. Il résulte que dans le passage du conducteur de la position (1) à la position (2), la masse d'élcclricilé positive accumulée autour du point b sera double de celle qui est accumulée autour du point &'''

G D; P Q une perpendiculaire eommunc à A B et C D, laquelle est parallèle à G II; ^ Tangle M Q P qui Taîl la droite M Q avec la projection P Q ; Y i^angle que Tail le prolongement de la même droite Q M avec M D' ou bien TangleH M Q quilui est égal comme opposé parle sommet. Soit enfin G H = a, G Q = «, M H = «', M Q ^ r. La tension du Quide positif au point Q étant représentée

par I, sa valeur au point M sera i' = . Au point M'

distant du premier d*une longueur infiniment petite d s'

rff'

elle sera : «', = i' H — -rr- ^ *'• ^^ '' ^^^^^ ^^^ f^^^'

lion de s et de r, on aura :

d «' d t^ d s d t' dr

d t* h di d s ht dr

ds' r ds ds' r^ d s'

D*ailleurs entre les quantités «, s', r et a il existe les relations :

^= «'cose,r = v/PQ^ -i-MP^=\/a* + «'* sin.'®

d'où Ton déduit :

, '• cos 0 d s'

dr ^' ^'"- ' ^ «'sin.'e

rf#' V/a« + «''^ sin.'o

Par la substiimion île ces valeurs dans celle de' . .

celle-ci devient :

dt h d t ^ hiS^ sin.> G

cos 0 —

^rfs' r ds r'

rff' /Al . At«' sîn.2 9 \

— r = — I -j cos © + 5 I

as' \ k r ' r' /

Ceci posé y raisonnant comme dans le paragraphe précédent, nous reconnaîtrons deux causes capables de produire le courant induit : 1^ la formation de couches d*intensités différentes autour du fil; 9^ l'introduction directe de rélectricité dans ce fil.

Relativement à la première de ces causes, si le fluide était en repos, la force électromotrice effective au point M aurait pour expression à chaque instant ;

(dB dB \

Cette force étant regardée comme positive lorsqu'elle tend à faire naître un courant induit dans le sens H D' et comme négative dans le cas contraire. En ayant égard aux relations précédentes nous pourrons donner k Texpression de cette même force, diverses formes telles que les suivantes :

rfo / dg \

^ — (^',,+ , — as)

rfe /Al A

«'« sin.' 0

rfe / Al A t ou 6 — 1 — I 1 « cos.O —

ou eDUnP A — r I i COS. ,7> r— COS. 01

Pour 0 == 0 le signe de cette expression n*est pas évident; mais bientôt it devient positif lorsque 0 augmente, car pour 0 = 90'' le terme soustraclif est nul, et, pour des valeurs de d comprises entre 90* et 180*, ce terme devient additif. Depuis e = 180* jusqu'à G = 360" le phénomène est le même que si le fll H D' tournait en sens contraire depuis g = 180* jusqu'à o = o. Or la va-

d^ leur de -^ changeant de signe, le courant induit

change de sens. Il est évident, d*après cela, que si le fil induit, au lieu d*étre composé d*ime seule partie H D' comme nous venons de le supposer, comprend deux parties G' H et H D' tournant en même temps, le phénomène ne sera pas changé, du moins quant au sens du courant. Nous venons de supposer le fluide en repos. En réalité il est animé d*un mouvement propre. Or en glissant le long du fil G' D' il tend à altérer la densité et par suite Taction inductive des couches qui se forment en M et M'

autour du fil induit. Néanmoins le sens du courant n*est pas cbangé, ainsi que nous allons le reconnaître. La vitesse du Ouîde électrique dans un milieu indéfini variant en raison inverse des distances à Torigine, cette vitesse t; au point M peut être représentée par une expression de

la forme v = — ,m désignant une constante, et sa composante v^ suivant M D' par cette autre expression :

v' = COS. ^

ou V = sm. 0 sm. «

Entre les angles 9 et fy il existe la relation : s^ sin. 0 = r sin f = M P

Ce qui permet d*écrire la valeur de u' sous les deux nouvelles formes :

r' = — r sm.' 9

m s' sin.^ 6

a^ + «'» sin.- 0

La dérivée de cette dernière expression par rapport à 8\ savoir :

d V* m (a^ *— s'^ sin^» e) sin.^ e

— 236 — • nous permet de conclure que de «' = o à s' = — : — la

valeur de -- — est positive, et par suite que la cornposante t; croit. Pour des valeurs de s' plus grande que -: — ou a *-rT- < 0 et par conséquent v' décroit* 1|

résulte qu*au delà de cette dernière limite la valeur de r' étant plus petite en M' qu*en M, le sens de Faction inductive des deux couches n*est point altéré. Il pourrait en ëu*e autrement en deçà de cette limite. Pour le vérifier, considérons deux points, Tun n fois plus éloigné que Fautre de Forigine, (n désigne un nombre entier au moins égal à 2), et voyons si, au point le plus éloigné la valeur de t>' peut être égale ou supérieure à n fois la valeur qu'elle a au premier point, condition nécessaire pour que le sens de Faction induclivc soit contraire à celui qui est assigné par la formule précédente. Posons donc :

m n 8^ sin,» Q ^= mn s^ sin.' G a' + n' «'* sin.' 0 > a' + »'* sin.^ «

Nous en conclurons :

a' + n' *'' sin.» « ^ «' + «'* sin.' e

ou (n* — 1) «" sin.** ® < ^

relation impossible. Donc le sens du courant est bien celui que nous avons indiqué précédemment, ce qui est conforme à Fcxpéricnce.

Nous aurions pu arriver plus rapidement à un résuhal presque identique, en parlant de riiypotiièse déjà faite prëcédemmcnl que les tensions du fluide positif en M et M' sont inversement proportionnelles aux valeurs de t;' qui correspondent h ces points. L*expression de la force éledromotrioe eflSsctivc au point M fût devenue :

ou P-— — ^ ^ 1

^ di ds^

expression qui peut aussi s*écrire :

/, (a^+^>'8in.M)\ ^^Of^dy sin.'Q / ds^

m di dff

ou dl i-irr ia^ + «" sin.^ e)

msin.^6 ^

+ 2 •' «' sin.^ 6 Jds^

ou encore

msin.'o \ ** k /

Celte expression conduit à la plupart des conséquences que nous venons d*énoncer. Cependant pour e = 0 die donne une force électromotrice infinie, ce qui est évidemment inexact. Cela tient à ce que pour une valeur de ^ égale à 90®, elle suppose la composante t^' égale à zéro, ce qui n*est jamais rigoureusement vrai, ainsi Ton ne peut admeure Thypothèse précédente qu*avec une certaine réserve ;

2* Quanta la seconde des causes dinduclion énoncées plus haut, c'est-à-dire, rintroduction directe de Télecuîcité dans le fil, si nous mesurons la force électromolricc eOective au point M par le produit p v' de la masse d'électricité introduite pendant Tunité de temps et de la composante t;' de la vitesse suivant la direction du fil ; si de plus nous supposons la masse f& proportionnelle à la densité de la couche qui se trouve au même point, nous aurons pour l'expression de cette force à chaque instant ;

p --— i' «' ds V' dl

ou en remplaçant i' et t;' par leurs valeurs :

Bh ^^ ts* ds' «' sin.2 $

^' \/a' + 8'' s'itir e «' + «'' sin. 0

Nous supposerons la valeur de 8* assez petite pour que celle de i puisse être regardée comme constante et alors nous obtiendrons pour expression de la force électromotrice eOeetive moyenne :

rf< # *'' sin.' 0 ds'

ou en eflcctuant l'intégraiion ;

I / s'sin. 0 , t/. , s"siii. *

8* sin. 9

V/a + «'' sin.* 0 -

Pour, 0 = o et pour G = 180^ cette expression est nulle. Dans rinlervalle elle est constamment positif. Pour e = 90^ elle atteint la plus grande valeur; car sa dérivée par rapport à e^ savoir :

V asin. ô "*" (a'-f «'=*sin.'0)|

sin.* 0

devient égale à zéro et passe du positif au négatif.

Cette formule représente bien mieux que la précédente l'expression des faits.