PAR MM. TERQUEM ET LAFON

Introdaction.

La marche qu'on a suivie jusqu'ici, dans le calcul des perturbations des planètes, consiste à déduire les variations des six éléments elliptiques de celles des constantes arbitraires.

L'astronome Encke s'est proposé, dans un récent mémoire, d'intégrer directement les équations différentielles du mouvement, afin d'obtenir les coordopnées, sans calculer les variations des éléments. Il est arrivé ainsi à des résultats à très-peu près semblables à ceux que l'ancienne méthode lui avait fournis dans un temps deux fois plus long.

Un pareil résultat doit attirer l'attention des astronomes, surtout à une époque où le nombre des petites planètes découvertes augmente si rapidement«

Convaincu de l'importance de ce mémoire, M. 0. Terquem a voulu lui donner plus de publicité, et il m'a proposé de me joindre à lui pour le traduire et l'annoter.

J'ai démontré, de la manière qui m^a paru la plus courte, les formules de quadrature qui sont la base du beau travail d'Encke. J'ai cru aussi devoir ajouter une démonstration des formules qu'il donne à la fin de son mémoire, pour avoir la valeur des éléments elliptiques au moyen des coordonnées et des composantes de la vitesse de k plané tç^

A. Lafon*

Quadratures.

I. — La démonslralion des formules relatives aux quadratures a été donnée par Encke. Mais elle rn*a paru

trop longue et j'ai cherché à arriver plus simplement au résultat.

Supposons qu'une fonction f (x) puisse être représentée par un polynôme du i^ degré. On sait que, si Ton connaît quatre valeurs de f(x) correspondant aux quatre valeurs a, a + 1 , « + 2, a -f 3 de la variable, on aura avec une assez grande approximation, du moins pour les valeurs d'à? comprises entre a et a + 3

(i) f{x) = f(a + y)=.f (a) -\^C\ A f(a)+ Cl A» f (a)

Nous allons donner h celte formule une forme plus commode pour le but que nous nous proposons.

Désignons la différence entre deux fonctions consécutives : f(a) et /"(a -{- 1), par exemple, par

c'est-à-dire, ajoutons un accent h f ei prenons pour argument une moyenne arithmétique entre les arguments.

Le tableau suivant renferme des différences formées d'après celte convention :

(i) C^ indique le nombre de combiDaisons qne Ton peut faire avec y objets en les prenant nkn.

Fonctions.

Piffér. Ire».

Différ. 2e«.

Différ. 3»».

Différ. i".

na-\-i)

D'après ces notations, f(x) prend la fornfic

(2) fia + y) == m + cr /^ («+±) + G,* r (« + 1)

Remarquons que Ton a

/•iv (a) = /"'^ (a).

Si Ton multiplie la première de ces égalités par C,, la deuxième, par Cj, la troisième, par Cf cl qu'on ajoute les résultats^ on trouve :

mais on a

ci + c^ = c^',ci + c: = c^'.

En ayant égard à ces relations, la valeur de f(x) devient

+y -i-i 24"+ y — 6 ÎT

n. — Proposons- nous maintenant de trouver

f(x)dx entre les limites

Pour cela, cherclions d^abord Tintégrale indéfinie

f (x) rfx.

Désignons celte intégrale indéfinie par r (^ "F y) ^ posons y = fr -1- 2:, 6 étant le plus grand norolire entier contenu dans y. Il en résulte Fégalité

Remarquons que Tintégrale définie

r(«+* + -2)-?(«-+|) peut être remplacée par la somme des n suivantes 1

? (a + * + 2) "~ ^ (" "^ * — i)" Qiacune de ces intégrales définies se déduit, comme

on voit, de l'intégrale qui précède en cliangeant, dans

celle-ci, a en a -f- 1 .

Or, on a ^

W ? (« + y) = y fi")

■ ,K- + ^) fia) ^'(- + 1) , f^ia) "T'y ^ 2 4 12 "^24

L s'/"" («) ^* 420 ' d'où Ton tire