L/"(a+l) — -IL

Pour avoir l'intégrale définie

on aura donc à ajouter les quantités suivantes :

On aura ainsi

— imposons

il en résultera On aurait de même

/''" (a + 1) + /"" (« 4- 2) + . . . + /" (a + b) On aura donc enfin

57 bO

La quantité

étant entièrement arbitraire, nous pouvons la choisir de manière que Ton ait

De cette manière, réquaiion (5) se trouve simplifiée et l'équation (3) devient

IH. — Il nous sera maintenant facile d'avoir l'intégrale double, entre les limites données. De l'équation (7), on tire

(^) I J' I , f (a -{■ b + :) dz

Exprimons les deux derniers termes de cette égalité au moyen des données, et effectuons les réductions. Pour arriver rapidement au résultat, il est facile de voir

qu'il suffit de multiplier, dans la fonction — f (a 4- fc + ^),

le terme en z'^ par ^ et le terme en z* par s, puis de

faire 2: = ^ dans la fonction — y (a -|- 6 -j- z) ainsi

modifiée. Si Ton groupe ensuite les termes semblables, on trouvera

pf 04-6 4-1) 2 12 "*" 48

+ 1Ï4Ô - TïÉ ^' <« + *>•

Pour avoir Tîntégrale cherchée, il ne reste plus qu'à donner à b les valeurs 1, 2 .... t, dans Téquation (8) et à faire la somme des résultais ainsi obtenus. Qn aura ainsi

Si l'on élimine les expressions qui ont un nombre impair d'accents, l'intégrale précédente pourra s'écrire

l^^"Jf(fl-ltb-^z)dz'

Nous allons disposer de la quantité arbitraire "f {a) de manière que l'on ait

Or, nous avons posé, dans Tinlégrale première,

ou, ce qui revient au même,

CeUe dernière équation, combinée avec Téquation (9), conduit à Téquation

Nous tirerons de là la valeur de "/*(«)• On aura donc enfin pour résultat final

.Ay^'"

+ y) dr

lY. — Cherchons maintenânl la même intégrale double pour les limites

a + -, et a + i, rintégrale première indéfinie est

Multiplions cette intégrale par dz et intégrons entre

les limites

z = — 5 et 2 = o;

de cette manière, si Ton suppose 6 = h nous aurons la valeur de l'intégrale double entre les limites

(i) Si Ton posait y = n u il en résulterait

Il suffirait cJonc^ pour avoir rinlégrtle sous cette dernière fonne^ de multiplier llntégralc trouvée par w^ après avoir remplacé i et t + 1 par nu, (n + 1) ».

Si I*on ajoute cette quantité à la valeur de Tintégrale double pour les limites

nous aurons l'expression cherchée.

On a

On trouve

^ 8760 ^ V ^ ^2^ 5760X8' ^^ ^" Nous savons que Ton a

Avec ces données, on arrivera, après des réductions très-faciles, à la formule

= / ^ dxff {X) dx = "f (a + i) il 37

Mote A»

Soleil, M Planète,

— io —

OP Ligne dirigée vers le périhélie, OB Ligne du nœud, OÂ Ligne de l'équinoxe, a ;= «> 4~ ^ = longitude du périhélie»

V = M — u = anomalie moyenne.

Si Ton prend pour axe des x la ligne OB, pour axe des y une perpendiculaire à cette ligne dans le plan de Teccliptique et pour axe des z une perpendiculaire au plan des ocy^ on aura, pour les coordonnées du point M, les valeurs suivantes :

z' = r. sin. u. sin. t, y' = r. sin. u. cos. t,

x' = r. COS. u, Prenons pour axe des x la ligne OA au lieu de OB, . el pour axe des y une perpendiculaire à OA, Taxe des z restant le même, si Ton appelle x, y, z les nouvelles coordonnées, on aura

X = x\ cos. a — y', sin. n = r (cos. u. cos- a

— sin. ti. sin. a. cos. t)

y = x\ sin. a + y'^ cos. q = r (cos. y. sin. a

-f- sin. ti. cos. a. cos. î)

;2r =3 r. sin. u. sin. t.

Posons :

cos.a=sin.ac.sin.A. sin.a=sin.|3.sin.B

— COS. t. sin. a= sin. «• cos. A. cos. î. cos. a=sin. p. cos.B i! viendra :

X =sr. sin. «. sin. (A + u) y — r. sin. /3. sin. (B + ^0 z =3»*. sm. t. sin. u.

Pour Tanalogie de ces formules, remplaçons u par sa valeur » + V et posons A + » = A', B + w 1= B', sin. t ^ sin 7, G' = ».

On aura :

a? = r. sin. «. sin. (A' + V)

y = r. sin. p. sin. (B' -f V)

z = r. sin. 7. sin. (C + V).

Cherchons des formules commodes pour les dérivés

des coordonnées par rapport au temps.

— = sin. « jsm. (A + tt) — + r ces. (k + u) — j

p dr e sin (t« — fl<>) , ^i*

1 + e COS. (m — w) dt p dt*

du ^ i 4* g coS' (^ — ft>) 8 du dt p dt

en substituant on a :

dx . f yâ I V I /A I v^ *•* ^w

— = sm. « jcos. (A + tt) + ^ COS. (A + «)f— ^--j-

remarquoQS que Ton a r' — = A V^ ^* posons :

I cv/T"

COS. t^ + e ces. M .= — V^ CO8. U

e sm. M = ; ^ SID. U

il en résultera

-T- = G, sin. « COS. (A -f U)

on aurait de même

-j^ = G. sin |3. CoSi (B + U)^ --1 = G. sin. 1. ces. U.

Montelle méthode pour calculer les perinrbaflons

des planètes*

Le nombre des petites planètes allant toujours en croissant, il est absolument nécessaire d*avoir une méthode rigoureuse et commode pour calculer les perturbations. Dans le mémoire suivant je donne une telle méthode ; elle est complète et d*un emploi commode

pour des perturbations spéciales (1). J'en ai fait Tessai par des applications numériques. Elle présente en outre Favantage de n'avoir besoin d'aucun développement analytique, de prendre pour point de départ des formules simples, fondamentales, sans avoir recours à aucune autre, et d'en faire un emploi immédiat. Il est facile de voir que cette méthode pourra fournir, pour les perturbations générales, des formules satisfaisantes et plus commodes que celles qui sont maintenant en usage. Toutefois, n'ayant pas encore appliqué les nouvelles méthodes aux perturbations générales, je me contenterai de donner, à la fin de ce mémoire, quelques indications à ce sujet. Je n'ai pas cru néanmoins devoir différer la publication de cette méthode, parce qu'il est à désirer que d'autres s'occupent du même objet sous ce même point de vue^ surtout aujourd'hui où la nécessité d'abréger le travail est devenue si pressante.

(1) Pour les petites planètes. Tr.

— ta —

La méthode étani indépendante de la nature de Forbite et portant seulement sur les formules fondamentales de la mécanique, tout géomètre familiarisé en quelque sorte avec la question peut faire immédiatement des applications.

Le mode usité du calcul des perturbations consiste à faire varier les éléments de Torbite, ce qui présente un double désavantage, d^abord les quantités qui servent à calculer les forces ne sont données qu'indirectement, et ensuite, les perturbations paraissent considérablement augmentées, car il est dans la nature de la chose que de petits changements dans le lieu et dans la vitesse (grandeur et direction), produisent dans le nouveau système

d'éléments qu'on a déduits, des changements il'un ordre supérieur.

Pour éviter ces deux inconvénients, considérons deux corps partant du même point avec des vitesses égales en grandeur et en direction, et supposons que Tun des corps n'étant pas troublé décrive une orbite elliptique, tandis que l'autre est soumis à des forces perturbatrices.

Représentons par x®, j^^, 2^*", les coordonnées de la planète à orbite elliptique, pour le temps I, et par ar, y, Zf les coordonnées de la planète troublée pour le même temps t.

On sait que les mouvements elliptiques des planètes dépendent de Vintégration de. ces équations différentielles,

de ~ r«»

dans lesquelles k^ est la somme des masses du corps central et du corps attiré.

r^ est le rayon vecteur relatif au mouvement elliptique ; généralement, Tindice o se rapporte à ce mouvement.

Nous ne consignons pas ici les intégrales connues de ces équations qui amènenl pour constantes les six éléments a"*, e**, û"*, t^, n^, m^

Le mouvement de la planète troublée dépend de ces trois équations différentielles,

^^ + £f = Peos.QX

^4., = Pco8.QZ

où les seconds noembres désignent les composantes des forces perturbatrices suivant les trois axes.

On sait.qu*on peut satisfaire aux équations 2) par des coordonnées qui sont des fonctions des six éléments a, p, £1, ij Uy M, ayant même forme que dans le mouvement elliptique, si ce n'est que les éléments sont ici considérés comme variables et soumis aux relations