FONCTIONS ELLIPTIQUES

PAR M. HEBlKITS.

Les recherches, que j^ai Thonnenr de présenter A la Sodété, ont pour but d^établir les principaux théorèmes de Fanalyse des fonctions elliptiques, par une méthode nouvelle qui repose principalement sur Fintégration de Féquation aux différentielles partielles du phénomène des cordes vibrantes. Dans la marche que nous allons suivre, on verra s^ofirir tout d^abord comme un élément essentiel du calcul la transcendante remarquable , au moyen de laquelle les trois espèces de fonctions elliptiques s^expriment analytiquement de la manière la plus simple. Les propriétés diverses et caractéristiques de ces fonctions s^offriront naturellement comme consé^ quences de modes divers d^expressions par une quantité unique, et nous retrouverons par cette marche en quelque sorte synthétique les premiers résultats qui ont servi dans Torigine de fondement à toute la théorie, et auxquels on s^est arrêté longtemps avant d^arriver aux idées plus géaérales.

Soit :

e étant une constante qu^on supposera, si Ton yeut, plus petite que Tunité, considérons la fonction de 3« espèce :

àadx (2)

ou a désigne le paramétre. En différentiant par rapport à a, on trouvera :

mais on a identiquement :

dx W'-a {^1^*

"^ (â>«)« àx

d*où en intégrant :

La constante se détermine en faisant x=^o^ et Toii trouve ainsi :

A(a?) /^ î (a?-a) (ca? + a?5) — A«« i^

ajoutant membre à membre aveci^équation (5), il vient:

g(a?'-a*) (dp*-aa^f g'^^)— (a?*-^^) (a?*+a*4'2g) ^^ £

et en réduisant :

da * x^'j àx

Aa-5^+-f^=r ^"^ :i" —7 a)

On voit que dans ce résultat il n^entre plus la fonction plus compliquée de troisième espèce, de laquelle nous sonmies partis. D^ailleurs en diCTérentiant de nouveau par rapport A a, il vient ;

da (a:-a)»"^~ / AX 'a*

(«04) ■laii il est Tîsible que :

ix àa

d'où : ^ JL=-^

dx <HI

•l difrérenliant encore par rapport A x^ il vient :

dx

f dz \ Aa

\^ dx J (x-a)*

Do lA se conclut immédiatement le résultat remarquable exprimé par Téquation diflërentielleparlielle:

Aa ( Aa-—- ) — tkxl AOî 1—

da\ da J \^dx dx J

/ AOî ^ a*

Ici nous nous trouYons natureUemeDt conduit i prendre pour variables indépendantes au lieu de x et a les arguments « et C des fonctions inverses définies ptr les égalités :

/^<te ^ da

/ Lx / Aa

( 205 ) et nous poserons diaprés cela :

Alors Téqualion (8) prend la fome plus simple :

^5^ ^'^ =aaÇA(«)+ '^

On peut aisément faire disparaître le second membre en posant :

U = Z + Aç + B,

A et B étant des fonctions de a, indépendantes de la yariable Ç.

II n'y a qu^à faire :

ou

cfa* Ac» a'

et il vient eflTectivement :

ce qui est, comme on sait, Téquation de laquelle d^Alenibert a tiré la loi de mouvement de vibration d^une corde fleikible, écartée trés^peu de sa position d^équilibre.