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En désignant par F et « deux fonctions arbitraires, rintégrale générale de Téquation précédente est :

Pour déterminer les deux fonctions arbitraires, ol^ser- ▼ons qu^ayant :

dx à cause de : dç = • on peut écrire :

on aura donc :

d^où en différentiant par rapport à i :

Faisons maintenant dans les deux équations qui précédent $ = o on trouve :

P(dt)-»'(«)=--^ +

Ce sont ces deux équations qui vont nous servir pour déterminer les fonctions arbitraires; posons suivant Tusage :

F(«)= Ta,*»

on obtiendra en intégrant la dernière :

F(a)— *(«) = Z(«) — log. a D^ailleurs on trouve aisément :

On en conclut les expressions suivantes :

«♦(«) =— Z {,) +4-Iog- [ Aa ~ {* + «»*) 1

Les conséqaences des résultats qu'on Tient d^obtenir embrassent les points les plus importants de la théorie des fondions elliptiques. Parmi ces conséquences, on doitsurtout distinguer celles qui sont relatives à rétablissement de formules, par lesquelles la fonction inverse K^H~y3) relative à la somme de deux arguments, s^exprime en Xr et ly. Ce sont aussi ces formules, eo quelque sorte élémentaires , que je vais établir en premier lieu.

Pour abréger récriture, on désignera dans tout ce qui va suivre par A£ ce que devient Lx quand on y remplace X par >(;} ; cela posé, reprenons Téquation :

+ ç A^Ac + /^^«^ = F(it +{;

En différenliant par rapport à S, on a :

A(«) Jf*

Soit fait successivement : Ç 2- a? + y» 5 = « — y»*P"^ retranchons membre à membre , if viendra :

^ ^ = r{x+yH

— P{«--y + «) + *'(*— û? + jr) — ♦'(fit— â5-#)

( â09 ) La première partie du second membre, savoir :

esl une fonction symétrique de x et de «c. Or je dis quMl en est de même de la seconde. En efiet , on voit facilement diaprés l'expression obtenue plus haut de «(a), que sa dérivée est une fonction impaire, et si Ton per* mute œ et a, dans :

♦* (a?— «) = y — ** {x — « — y) il vient : ♦' (oc — x) = y — *' (« — X — y) ou bien :

puisque $' est impaire :

L^ expression ^ «^ étant

>(a? + y)«Xa ^ >(a?-y)-X«

ainsi symétrique par rapport à a? et ce, on a Tégalité :

Aa Aa AX

>(a? + y) - X« ^(^-y) - 5ia ^(«+y) - 5ia?

Ay "^ >(a-y) - Xa?

Soit fait : a r= 0, il viendra Aa = A et par suite :

1 1 Aâ? Aâ?

>(ar + y) :^(a?-y) >y - >fl: >y + >rc

^ 2>y A^ "" )»y ^ Va?

Si daus celte équation on permute x et y, il vienl :

I i g>a? Ay

Où en déduit en ajoutant et retranchant membre à mem bre et divisant par deux :

1 ^ XyAx-Xa? Ay

\ [X + y) >'y - >'ap

1 >y Aa; + >j: Ay

En prenant les inverses et chassant les radicaux du dénominateur, il vient définitivement :

>a; Ay + > y Aa?

X (a; = y) ; T'Tr"""""""

3UC Ay - Xy Ax

Une vérification immédiate de ces deux résultaU

s'obtient en faisant c=4, et Xx— tang.ar , A (a?) =