POUSSÉE DES VOUTES

9AXL K. J^AUXi 2AVBJSVT.

Nous supposons que la voûte dont nous allons cbercber à annuler la poussée est construite en berceau demi-circulaire, et qu'elle a 2it4-l voussoirs égaux; n étant le nombre de voussoirs compris entre la clef et les pieds-droits.

Si la voûte que nous examinons était construite en pierres de taille parfaitement lisses et non soudées ensemble par l'action du mortier, c'est-à-dire sans frottement, les voussoirs, glissant les uns sur les autres, tendraient tous à pousser latéralement comme des coins. Ainsi le voussoir qui forme la clef de la \oùie [fig. ij planche 3] ^ exercerait une pression de côté sur les deux voussoirs S', s*; ces derniers exerceraient à leur tour une pression sur le voussoirs S et sur les voussoirs immédiatement infërieurs S", s" ; il en serait de môme des suivants , à l'exception du dernier.

On voit donc qu'un voussoir quelconque est pressé par ses deux voisins , et exerce à son tour une pression sur eux. Partons du voussoir à la clef S. II est évident que si les poids des voussoirs S > S*, s' étaient tels que les pressions latérales exercées par S fussent égales et opposées à celles que ce voussoir éprouve de la part de S' et de s', l'action de S serait annulée; il n'y aurait plus à

en tenir compte , et il suffirait alors de considérer dans ces trois voussoirs les pressions exercées par S' et s' sur leurs voisins inférieurs S'' et s".

Cherchons d'abord la relation qui doit exister entre Sy S' et s', pour qu'il en soit ainsi. Or, les voussoirs dont les tètes sont S, S', S", etc., s', s", s*", etc., ont, dans une voûte comprise entre deux plans parallèles, la même longueur; dans la comparaison que nous voulons établir entre eux , nous pouvons donc ne pas tenir compte de cet élément commun , et comparer seulement entre dles les tètes des voussoirs. La question se réduit à déterminer les surfaces S, S*, s', dételle manière que la pression exercée par les surfaces S' et s* contre-balancent celles de la surface S.

Supposons le poids S concentré au centre de gravité C de la surface S ; menons par G une perpendiculaire C a sur la ligne de Joint des deux tètes de voussoirs S et S* ; foisons la même chose de l'autre côté de la ligne 0 G. Décomposons S en deux forces suivant G a et G a'. Il fiiudft'a pour cela prendre A C = S, en supposant que S soit connu. Or, S peut être déterminé à priori. On doit en effet se donner la hauteur du voussoir que j'appelle hj et la fixer de telle manière que l'épaisseur de la pierre offre autant de solidité que le besoin l'exige, h est donc une des données de la question , et qui devra satisbire aux conditions d'une bonne construction. Une fois h connue , il faudra en conclure la valeur de S.

Soit r le rayon du cercle d'intrados , r -f- ^ Mra celui

du cercla d'extrados ; pour le voussoir dont la Mte est eo S y l'arc a est connu, mais l'arc h d'extrados ne l'est pas; on le déterminera, ainsi que S, par les relations suivantes :

( r -f A ) 6 — ra )

et a \ h \\ r \ r -{■ h ;

d'où l, = tLL±n ,(1)

rt S = l*lfL±A). (2)

Si maintenant, parle point A déterminé par A C =: S, nous menons A B parallèle à a' C ; si nous représentons la composante C B par x et par oc l'angle formé par les deux plans de joint d'un voussoir, nous pourrons établir la proportion

« : S :: Sin (n-l^l ) « ; «n. « d'où X = S ^^'^^+^)- .

Passons à la sur&ce S'. Si nous connaissions S' et si nous menions par le centre de gravité C une verticale C' a, la force verticale S' pourrait être considérée comme attachée en a, et nous pourrions la décomposer en deux forces suivant a C et suivant a a" perpendiculaire sur la

( lia)

ligne de Joint de S* et de S". Boit V la composante luivant c*a , nous aurons

y \ S* i! 5iVi. (n— 1) a [ Sin, m s

et y = S 'N.- ' ■ ■■<■

Si nous voulons que cette composante lasse équilibre à la pression x qui lui est opposée , par suite de la décomposition de la force S , il faudra exprimer qtte it=y^ c'est-à-dire que

« Sin. {n-\- 1 ) a «. Sin. (w— ! ) k,

oin, oc oiit. a

El de là, S' = S ^^•-4''^. H-*-- (3)

OUI, ( n — 1 ) « ^ '

S^ se trouve donc déterminée ainsi en fonction dé S et de fc, c'est-à-dire en fonction de quantités connues.

Connaissant S' , nous pourrons trouver la valeur h' de la hauteur du voussoir S', au moyen des équations (1 ) et (â)| car elles nous donneront ;

d'où A » -f 2 r A =

La valeur de la surface S' et sa hauteur étant déterminées par. les relations (3) et (i), de manière que Tac* tion de y détruise celle de a^ il n'y aura plus à consi* dérerdans S' que faction. de la seconde composante x' sur le voussoir inférieur S". On aura cette composante par la proportion

tr* * S' â * 5fn. fi flt * Sin. «y

où a? = S -^. - •

Pour suivre la mâme marche que tout à l'heure, supposons connu le voussoir inférieurs"; décomposons-le en deux forces y' et x'* suivant a" a et a" a''% nous aurons

y* : S- :: Sln. (n-2) a ;. Sin. «,

** y — Sin »

et puisque nous voulons que x' et 7' sadétruisent, il fiiudra encore que

-^, Sin. n « -,„ Sin. f n- 2 ) «

(lH)

En continoant ainsi on aura :

c,„ ç.» Si'n. (h— 1) «

* — * "&«. (n-3) ce •

5in. (n — 4) a

La loi de ces différentes valeurs est facile à saisir , et en généhil, on pourra admettre que la sur&ce de tête d^un voussoir quelconque du rang m, à partir de la clef, aura pour expression,

S C-) = S <"•-•) — -1- — i Ly .(5)

. Stn. (n — m) «

Cette formule générale donne le moyen d'obtenir la sur&ce de la tète d'un voussoir quelconque, en fonctioa du voussoir supérieur. Au reste, on pourrait aussi avoir la valeur de la surface de tôte d'un voussoir en fonction de celle du voussoir inférieur; il suffirait de retourner la formule précédente et d'écrire :

L'^expression (5) exige que pour arriver du voussoir S au voussoir S (">, on passe successivement par tous les voussoirs intermédiaires ; si donc une erreur de calcul s'introduisait pour la détermination d'un de ces voussoirs, cette erreur rendrait fausses toutes les valeurs sui-