US
notes. On peut, par des substitutions successives, Calculer une qudeooque des surfiioes de tète en fonctioD do la 1" surfiice cooaue S, car on a
Sin. (n — 1 ) a 'ôin,{jn — l)a,
«„ « Sin. n« Sin. n « « Sin. • n «
'Sm.(«— 1>^ Sin.(n -2>"~^5tn. (fHl)« Sm. (i|.9)«,
~ AY/i.(ii— 1) a Sin. (n— 2) « ^5în. (n— 3J «
Stw. * n «
fin. (»— 2) o^Sin. {n — 3) «,
et enfin S (-) ;=: S - — ; ; -= — ^. ^ . (7)
Si l'on eiamine la formule (7), on reconnaît facilement que le numérateur est constant, tandis que le dénominateor décroît très-vivement; S (*) croîtra donc d une maniera très^rapidoi et quand on sera arrivé an dernier voussoir & partir de la clef, c'est-A-dire à celui du laogni, pour lequel m=ii, la formule deviendra
8(-)=: '^JUlLm
G'est-à'^ire que, théoriquement parlant et en partant des seules données que nous avons introduites dans la question, tout équilibra serait impossible dans une voûte
( tu)
quelconque; puisqu'il faudrait que, pour ne pas glisser sur sa base, le dernier Toussoir eût une longueur infinie. Ainsi donc, si on affectait des valeurs numériques à r e(i hf on Terrait les valeurs de S', S", S*'\ etc, grandir fort Tite et donner des nombres énormes pour les voossoirs qui s'approchent des pieds-droits ; et ces nombres ne seraient, en aucune façon, en rapport avec les résultats de la pratique.
Ce défaut d'accord entre la pratique et la théorie provient de l'hypothèse que nous avons foite A notre point de départ. Nous avons supposé, en effet, que les voussoirs avaient leurs plans de joints parfaitement polis , et pouvaient glisser sans aucuh frottement les uns sur les autres. Or, jamais, dans la pratique, les choses ne se passent ainsi, et dans les constructions ordinaires, c'està-dire, dans les voûtes bâties en pierres calcaires, le frottement causé parle grain de ces pierres modifie sensiblement les réactions des voussoirs les uns sur les autres. Ce frottement est d'ailleurs encore augmenté par la manière dont sont ordinairement taillés les plans de Joints. En effet, ces surfaces sont travaillées avec le marteau & pointes ou avec la boucharde, et on se contente d'abattre, au ciseau sur les bords de la pierre ainsi rmtiquée^ les aspérités que la trace de l'instrument y a laissées.
On peut prendre une idée juste de ce frottement , en inclinant la surfiice supérieure d'une pierre ainsi taillée, et en y posant une autre pierre de la même ^lèce et taillée de la même manière que la première; en aùgmen-
tant uiMiisiblemeiit l'angle d'inclinaison de cèUe-ci, il arrÎTera «n moment où la pierre supérieure eommencera à glisser sur rinfërieure.C'esl là qu'exisCe ladiiTërence entre la pratique et la théorie ^^c'est-à-dire, que si Ton saisity par des expériences faites aTOc soin, le moment où eommeoeera le glissement, on aura l'angle que J'appellerai ^^ et sous lequel le firottement derient, pour ainsi dire, nul entre les deux pierres, puisque la plus petite Ibrce fiera glisser la. seconde sur la première. Si donc nous considérons ces pierres comme des daveaox d'une Toûte, la pierre supérieure se comportera dans la pratique, comme dans nos formules nous avons supposé que le faisait le poussoir qui repose sur la surface horizontale supérieure du pied-droit, de sorte que, dans le cas de pratique, l'angle de glissement a produira le même eCTet que l'angle 0* dans nos formules théoriques.
Pour introduire cette difTërence entre l'expérience et nos formules théoriques, il nc^s faudra donc substituer dans oelles-ci A à la place de 0^*; de sorte qu'au lieu de compter les angles que les plans de joints font avec l'horimntale, à partir de 0*, il fiiudra les compter à partir
de A*.
En second lieu , dans la première hypothèse, les différentes pressions latérales exercées par les toussoirs les uns sur les autres commencent tout de suite à se faire
sentir an-dessus de 0**, elles ont donc toutes leurs râleurs comprises entre 0* et 90*, et c'est à ce dernier terme qu'elles sont arrivées à leur maximum.
Dans là pratique, il n'en est plus aiinsi, car puisque le glissement ne commence qu'au-dessos de a% lesdirenes yaleurs des pressions latérales des Toossoirs qui rësdtent des diverses énerB:ies de glissement de ces tousswi» aoroQt Uea entre A* et 90*; ainsi qu'on le Toît représenté par la figure 2, où Tangle « des plans de jouta de ékêr que Youssoir est remplacé par un angle pins petit que f appelle ft et qne Ton obtient en retranehanl S a de 180', et en divisant le reste par le nombre toUd des Youssoirs de la voûte entière, de sorte qee
. i80'-2 ùT .^.
Il s'ensuit que les^ angles d'inclinaison des plans de joint des voussoirs sur rhorizontale qui dans la formole générale théorique étaient «9 2 «, 9 a, 4 a, n «, deviendront a' -{- A, 2 a' 4~ ^9 3 <<* 4" ^ fi a' -{" Ay
et nos formules précédentes prendront les formes suivantes :
S' = S Ae. (it g^ + A)
Sin. [ (n— i)a'+A}'
S" a» «StVi. (it g' "1" AJ ~ 5tn.{(n— 2)«+a}»
g»»» — g»» Sin, < (»— i) a -|- A J Sin. J (fi 3Ja 4-Aj'
Stlt«(flK +A)
Les YoaMoirs ainsi calculés , tels qu'ils sont indiqués dans la igoie 3, exerceraient donc, s'il n*y a^ait pas de frottement, la même pression sur le plan de Joint inférieur M'N' que celle que les Toussoirs delà figure 1 exereeiont m» le plan de joint infirieur MN, dans le cas ot il y a iirotteBieDl.Or S(»> dans l'éqm (9) est calculée damamèra que la dernière cmnposante aK?) est perpendiculaire ter la plan M*N' de la figure 3 ; donc la demiôre compo- «nie po«r les Tousaoirs de la fig. 1 sera aussi perpendisalaire sur MN. Il n'y aura donc aucun danger que les pieds-droits soient renrersés, c'est à dire que les conditioBs pow réqoiKbre seront plus que satisfaites.
Bq réSMaé, étant donné le rayon d'une yoùte, le aondire 9 » 4* ^ ^^^ poussoirs, la hauteur A de la itdaffi:
1* On calculera la sorbce S par la formule (3);
9« OndétermiMm par des expériences £dtes arec toute ia précbioB possible , l'angle A de islissement des pierres 9M l'on emploie;
V Par la foraaale S, on calcolera « ;
4» Par la formule 9 , on calculera S', S*S S'" etc,;
8« Enfin parla formule (4) y onauraleshauteurs^A'^A", h"'.: h^**) des ToussoirB.
Réciproquement, si Ton se donnait à priori, la largeur des pieds-droits, c'est-à-dire celle du dernier voussoir, on pourrait savoir quelle devrait être la hauteur de la clef, pour que l'ëquilibre existât ; il suffirait de tirer la valeur de S deTéq»» (10), on aurait :
^=^1^ Sinnn«+A) ^
La valeur de A est variable selon les ployés et selon la manière aussi dont sont préparés les plans de joint. D'après des expériences que nous avons faites, nous croyons pouvoir adopter pour les pierres calcaires, avec des surfiioes de joints préparées au niar> teau à pointes, la valeur A = 40»; ces pierres ne glissMt guère sur uli angle plus petit
On a beaucoup écrit sur la théorie des Toutes «t certains constructeurs s'en sont vivement inquiélés. D fiiut convenir que leurs craintes sont légitimées par lerrésal* tats de la pratique qui ont souvent déconcerté toutes tes prévisions.
En général , dans une très^grande quantité de Toutes cylindriques , au bout d'un espace de temps plot on moins long , après le décintrement , on. voit une fente se manifester vers le milieu des reins ; souvent aussi utie seconde lézarde s'accuse vers la e\et
Presque toujours à la longue/ ces fentes deviennent de plus en plus sensibles , et si ce défaut prend une certaine extension, on les voit suivis de désordres plus ou moins graves dans l'équilibre des voussoirs et des piedsdroits qui se comportent comme cela est indiqué dans la figure 5 où la voûte est divisée en quatre grands voussoirs. C'est en partant de ce fait , qo*un certain nombre d'auteurs ont été conduits avec raison à réduire les actions réciproques des voussoirs les uns contre les antres à celles de quatre grands voussoirs, agissant plutôt comme des bras de levier que comme des coins^ et à calculer les conditions d'équilibre d'après ces données^
Si l'on vent bien remonter A la source du mal , on trouvera peut-être plus simple d'en faire disparaître la cause, que de cbercfaer à remédier A ces effets, variables d'ailleurs.
Or, les voûtes se construisent ordinairement en pierres dont les joints sont ru9tiqué$ avec le marteau A pointes, les voussoirs ainsi taillés sont posés sur une coucbe mince de mortier placée entre leurs plans de joints. On a beau faire , au bout d'un temps plus ou moins long , ce mortier subit un certain retrait. Ainsi les voussoirs qui, avec le mortier, remplissaient la courbe d'intrados, ne suffisent plus pour cela. N'étant plus retenus les uns par les autres , ceux dont les plans de joints sont audessus de 40* glissent donc un peu sur les plans de joints iuKrieurs, et alora les uns se trouvent sefrés en a (fig, 3.) vers la courbe d'fntrados, tandis que les supérieurs le sont
vers b. El quand bien même le retrait du mortier ne ferait que de 0"> , 001 par plan de joint , ce retrait répété on certain nombre de fois, 29 à 31 fois par e&emplet deviendrait assez fort pour déterminer la rupture de la Toute et sa division en 4 grands voussoirs , disposés alors comme 4 bras de levier, et agissant en conséquence.
Cet état de chose est le résultat nécessaire de l'emploi du mortier entre les plans de joints. On serait plus d'accord avec la théorie si, après avoir rustique les joints, on posait les pierres à $ee les unes sur les autres. On éviterait ainsi la réaction due au retrait du morlier, (quelles que soient les précautions qu'on prenne pour annuler celui-ci] et les voussoirs resteraient tels qu'ils auraient été posés. On n'aurait plus , pour la beauté de l'ouvrage et pour sa plus grande conservation, qu'à rejointojer avec soin.
Il nous parait donc incontestable que la construction des voûtes en pierres de taille ne peut s'accorder complètement avec la théorie qu'autant qu'on supprimerait le mortier entre les plans de joints.
S'il s'agit de voûtes en moellons ou en briques , cela nous conduit encore A dire qu'il faut, pour ces voûtes, ti* cher autant que possible de diipinuer le retrait dn mortier. Ainsi, moins on en mettra, moins on s'éloignera des résultats indiqués par lea formules et l'on aura soin de n'employer que du mortier parCiitement oorrojé A la manière adoptée par les ingénieurs et dans lequel une partie du retrait aura été ainsi opérée avant la pose. Il faudra éviter de le détremper avec de l'eau
apfès sa préptratk» ; el etfia U ftfa iodispenailile , quand oa aon construit la pramier quart ott la pranriar tiendala fauta, da iMsaar aéehar« rapoaaral tasiar Fav^ Ytaga, josqu'oa pan avant la fin da la saisoa daa Uafanu ëpoqua i laqnaUa on constraim la partia supériauiia. Sam €flfprëcatttîon8,attbautd'an eapaaade tanpaasaaxaourty des léiÉrdat paiallèlas à l'axa da la surfica cyliadriqna na taidaront pas à sa faire voir^
J'ai appU<|iié lea fimnules piëaédantaa mx Toûtaada S>5y 7v*3i Youssoirs.. Les bantenra A* A', h'\ A"' aie., h^ ont été calculées dans l'hypotlièsede r = 1 et A =: U
U est ftdle de comprendre comment on peot passer des? aleurs données par wtle supposition, qui rend les formoles très -simples, A eellea qui oonviennent pour les mêmes nombres de Toiissoirs dans des yoûtes d'un rayon qodooDqne et avec une hauteur h quelconque A la clef.
Eoeifet : Supposons aA=l et ed:=: 1 {fig. 4.), les youssoirs seront donnés par les formules, ainsi qu'on le voit dans les tableaux i, 9, 3, 4, etc.
S'il s'agit d'une Yoâte d'un rayon d'intrados œ =: 3 , (labauteur à la clef étant i) en adoptant las mèmaa banc ttars que dans la pcemièfe, pour laquelle' r = 1 et Assi, 00 aura des Youssoirs qui seront dans les mémea rapports que dans cette première .voûte. En eiSel les surfaces S, S\ S" etc. seront évidemment comme les surbces s, i^, l'tetn*
n en sera encore de méose, ai l'on fiul varier la ban* tear de la clef S, et si an même temps,, on prendiea banr t€urs correspondantes proportionnelles i A', A" tie*
(IM
Gdfl ratiendra donc toul rinpleBiaiil à nidliplier ki tileors de h\ A*, 4"' tie, par Ii Taleur qaereo trourera eonveoable poor A. Ainsi, par exemple, portons nous av taUcau 5 , où il s*agit d'one Yoùte de 11 Yousseirs, dans Fliypothèse de A = i et de r s=s i . Si no«8 Yonlons passer des Talenrs des lianteors des yonssoirs calcolées d'après eette soppoôtion , à celles qui connendraient A one Toûte qnelconqoe dont le cercle d'intrados serait ae, il faadrs, si Ton troaye conyenable de fiiire h= 0,33i, moltiplier les yalenrs de ffjh'\h"\ etc.; et par 0,333; ce qui donnera :
o,sai.
Ainsi y'd'aprds les lableanx ci-joints, on pourra, apr&s avoir fixé la hauteur de la clef d'une manière convenable pour l'appareil, trouver A, A', A" etc. par de simples multiplications.
Ce que nous venons de dire prouve que l'on aurait tort de s'effrayer de la pousîMte des voûtes d'un grand diamètre. Car on voit que les pieds-droits de la voûte d'un rayon a e, n'auront pas besoin d^étre plus épais que ceux de la voûte dont le rayon a b est trois fois plus petit ,
poorvo tooCelbis que ces deux Toutes aient le même nombre de voossoirs et la mAme hauteur à la déf •
Cette proposition me parait devoir beaucoup rassurer sur les eCfets de la poussée des voûtes , que Ton poufra d'ailleurs diminuer autant qu'on le voudra, ensnbstituant comme Font fidt les (othiques dans les ogives, à la courbe demi-circulaire d'intrados des arcs de cercle de plus en plus relevés. Car plus on exhaussera les ogives et plus le vonssoir à la def S (fig. 5)aura ses plans de joints inclinés sous un angle qui s'approchera de 40*, et moins par conséquent, glissant sur ces plans, il exercera d'action latérale d'écartement.
Si le voussoir à la def a ses plans de Joints indinés i 4(K, fl n'y aura nécessairement aucune poussée. Toute antrecourbe qu'un arc de cercle, dont la nonnale dirigée suivant le plan de joint de la clef sera indinée à 40®, aura les mêmes avantages.
TABLEAU
YùàUi de irok wnmoin.
2ii+ls=3. 11 = 1. a = 1,0*7. A = hù% «' = 75* ^ aO'. r =; 1. k = i.
Sdit * = 0,50, M «ira *' = 0,67.
TABLEAU U
VoÊtitêdeli eoniiotn.
BXBMPLB :
Soit r quelconque el 1 = 0,40, oa aura :
TABLEAU in.
Yoétêê de 7 iHWttorff .
8« + l=7. 11 = 3. ata 0,448. 4 = 40*. «• = 140 ^ ir — 8". r = 1. 4 = 1.
(ISS)
S' = 0,71», *• = l,ia.
BXBH vu I
Soit r qudoonqoe et A =s 0,30, on «ara :
TABLEAU IV
Vaâim de 9 iMiiMJrr*
2ii-f-l = 9« ns=:4. as: 0,35. 4 = 40*'. « = If— 6' — 40". r=l. A = i.
BXBMPLK 3
Soit r qaelconqae, et A = 0,60, on aura t
TABLEAU V
Voût^ de a wnwAn.
2 fi + 1 == 11. n = 5. a = 0,285. A = 40'. «• = 9- — 6' — 27". r = 1. A =5 1.
BXBHPLB :
Soit A = O9332,' on en déduira :
TABLEAU VI
Voûta i$ 13 wmtùin.
2 n + i = 13. n r= 6. a = 0.241 A = 40* « = 7» — 41' — ir. r = 1. A = 1.
= l.OSl.
BXBKPi
Soil r quelconque et A = 0,55, on en déduira :
Aw =0,783.
(IM
