SUR LES FONCTIONS DISCONTINUES

INTRODUCTION

.Lia question de la discontinuité des fonctions arbitraires, qui complètent les intégrales des équations aux différentielles partielles, agitée d abord entre Daniel Bernoulli, Euler et d'Alembert, et discutée depuis par les plus grands géomètres, parait avoir été résolue par M. Fourier qui a montré le premier comment l'on pouvait déterminer, dans chaque cas particulier, les fonctions arbitraires de manière à satisfaire aux conditions initiales du problème, même lorsque celles-ci nobéissent pas aux lois de continuité. Les formules que cet illustre géomètre a trouvées sont propres à exprimer une fonction discontinue quelconque, dont les diverses parties, comprises entre des limites données de la variable, suivent une marche dissemblable, et sont représentées par des expressions différentes. Dans ces formules, les valeurs que la fonction doit prendre dans chaque cas et les conditions de discontinuité, sont combinées implicitement: cependant iî nous a paru, que l'on pouvait toujours concevoir une fonction discontinue, comme étant égale à la somme d'un nombre donné de fonctions, chacune desquelles a une valeur continue entre deux limites connues, et qui s'évanouit hors de ces limites: dès -lors tout se réduit à trouver une fonction, qui donne une valeur constante entre deux limites données de la variable, et qui se réduise à zéro pour toutes les autres valeurs de la même variable; car en multipliant cette fonction, qui exprime la condition de discontinuité, par la fonction connue qui donne les valeurs que la formule doit prendre entre deux h'mites assignées, on aura l'expression cherchée entre les mêmes limites, et on parviendra à représenter, par une somme d'expressions semblables, la valeur de la fonction discontinue pour des valeurs quelconques de la variable. Cependant on voit, que par cette méthode on obtiendrait pour les limites, des valeurs qui seraient égales à la somme «le celles que l'on aurait, en considérant ces limites comme appartenant successivement ù chacune des fonctions qui viennent y aboutir.

Eu discutant les diverses [valeurs que prennent quelques intégrales définies lorsqu'on fait varier les constantes quelles renferment, nous sommes aisément parvenus à trouver des formules, qui ont une valeur constante entre deux limites données et qui hors de ces limites s'évanouissent toujours. Ces formules cependant ne donnent pour les limites, que la moitié de la valeur constante qu'elles ont entre ces mêmes limites; de manière que si la fonction discontinue qu'il s'agit de représenter est un polygone on obtiendra, pour l'ordonnée de chaque sommet, la demi -somme des ordonnées qu'auraient dans ce point les deux côtés qui viennent s'y couper, et on trouvera dans ce cas seulement une valeur exacte aux limites. Mais on peut obtenir d'autres expressions dont la valeur soit toujours exacte aux limites, ou qui même devienne égale à une quantité quelconque; et nous montrons comment on peut les trouver.

H résulte de lu, que selon que pour exprimer les conditions de discontinuité, on aura fait usage d'une formule qui est exacte aux limites, ou d'ime qui ne l'est pas, on obtiendra, après avoir multiplié par la fonction cpii doit donner les valeurs, une formule qui représentera exactement la valeur de la fonction discontinue même aux limites, dans le premier cas, et qui ne sera pas exacte dans le second. Cela nous a fait soupçonner que comme, dans les formules que l'on avait trouvées eu traitant les difFérens cas de la discontinuité des fonctions, on avait toujours réuni implicitement la fonction qui donne la valeur en général, à celle qui exprime la condition de discontinuité, sans discuter la valeur de celle-ci aux limites, et sans séparer en facteurs ces deux fonctions, il avait pu arriver dans quelques cas que l'on eût fait usage d'une formule de discontinuité qui ne fût pas exacte aux limites. En effet en cherchant à vérifier notre supposition sur quelques exemples de fonctions discontinues, discutées par les géoèmtres qui se sont occupés de la théorie de la chaleur, nous avons trouvé, pour quelques-unes de ces formules, la moitié de la valeur qu'elles devaient avoir aux limites: d'autres expressions, qui représentaient deux portions de courbe qui se coupent aux limites, nous ont donné pour ces points des valeurs exactes, comme cela devait arriver d'après notre analyse. Nous avons appliqué les mêmes considérations à quelques séries que l'on savait représenter des fonctions discontinues, et dans quelques cas nous avons trouvé aux limites la moitié de la valeur cherchée; mais dans d'autres exemples, ayant rencontré des valeurs qui

n'étaient pas la demi- somme de celles qu'avait la fonction très -près des limites, nous avons reconnu par là, que sans avoir discuté dans chaque formule la marche de la fonction qui exprime la condition de discontinuité, il est impossible d'assigner à priori d'une manière générale les valeurs des limites, et qu'il faut toujours les vérifier à posteriori.

Tout ce que nous venons de dire sur les valeurs que les fonctions discontinues prennent aux limites, tient spécialement à l'analyse pure; ces considérations seraient utiles dans les applications, si l'on pouvait supposer que les lois physiques restent les mêmes aux limites, lorsque les fonctions qui expriment les conditions initiales du problème changent brusquement de nature; mais cette hypothèse est peu vraisemblable, et n'est pas confirmée par les observations.

Toutes les formules que l'on avait trouvées jusqu'à présent, pour exprimer les fonctions discontinues, contenaient des séries infinies ou des intégrales définies, et l'on supposait qu'elles formaient une classe particulière de transcendantes: cependant en considérant les diverses valeurs des formules qui se présentent sous la forme §, on peut parvenir à représenter les fonctions discontinues en général, par des expressions qui ne contiennent que des fonctions logarithmiques et circulaires. Nous donnons pour exemple une de ces formules, et en l'appliquant à quelques cas particuliers, nous en déduisons des conséquences assez singulières. Ces expressions peuvent servir dans la détermination des valeurs des intégrales définies, et sont d'un grand usage dans la théorie des fonctions entières, comme nous espérons le montrer dans la suite de ces mémoires.

ANALYSE

go

On sait que l'intégrale définie A = / — sin </ x a pour valeur — ,

tant que x demeure positif et plus grand (pie zéro ; et c'est dans ce sens qu'il faut entendre l'expression des géomètres, que la valeur de cette intégrale est indépendante de xi car lorsque x = Q, on trouve A = Qet en faisant x négatif on obtient A = — . Il résulte de là que l'intégrale définie ° » « »

B = f^-smbç cos?* = ïf^sin(b + x)9 + ïj^sia(l> — x)<7,

a pour valeur — lorsque x a une valeur quelconque comprise entre x = — b,

et x = + b ; que pour x = ± b, ou trouve B = — ; et que depuis x = b, jusqu'à jr=oo, et depuis .r = — b, jusqu'à X = — ce, ou obtient #= 0. On voit par conséquent que la formule

n 71 . Pdq .

c = -j-rj ôrsmr/*">

a pour valeur zéro, depuis x = 0, jusqu'à x = — ce ; que pour x = 0, elle donne C=-^-, et que pour toutes les valeurs positives de x, on a C'=7r. De même la formule

D = / —2 siu&qcos(x — a — b) y,

fournira Z) = 0, depuis x = a, jusqu'à x = — oc, et depuis x = a-\-2b, jusqu'à x = ce ; pour x = a , et pour x = « -{- 2 Zi , on obtiendra D = -^- ;

et D = 7j- , depuis x = c , jusqu'à or = c -J- 2 b. Maintenant si l'on multi-

o plie l'intégrale Dy par la fonction — <P(x), on aura l'expression

E = — <p(x) / — ? sin-^cosfx — a — W,

qui aura pour valeur zéro , depuis x — a , jusqu'à x = — ce , et depuis x = a -j- 6, jusqu'à a? = ce : et qui depuis x = a , jusqu'à x = a -}- Z> , exprimera exactement la fonction <p (x), excepté pour les deux limites x = or, x—a-^b, pour lesquelles on aura.E = ^p, £= . yva~r ^ gn fajsant jes mêmes considérations sur la formule

■§- <Px (*)y ^ w"n y cos (x — a — b — y ) 7, on trouvera des résultats semblables; et pourtant l'expression

deviendra nulle depuis a: = c, jusqu'à x = — 00 , et depuis ar = a -f- Z> -f- c

,, . , r, OP(a) m . jp (pj(a + b-\-c)

jusqu'à x = ce ; et donnera F = 21^-Z f p0UP x = c , et b = 2— ! — ^

pour x = a + b + c> et F=ff(a^b)^ (a + fc), pour ar=« + 4i et corn-

cidera avec la fonction <p (o-) depuis x = a , jusqu'à x = a + A .> et avec la fonction (^ (x) , depuis x = a -}- A , jusqu'à x — a -J- 6 -f- c.

Si les deux fonctions <P(&)t ^(jO? sont telles, qu'elles puissent représenter deux portions de deux courbes qui se coupent lorsque x = a-\-b, on aura pour le point d'intersection <p (a + b) = 0, (a + b) ; et pourtant la formule F sera exacte même pour la valeur x = a-\-b, puisque dans ce

cas F — yIH±)+ ?' (g + 7') = <p (g + &)• L'on voit par là que les formules précédentes peuvent servir à représenter le contour d'un polygone dont les côtés sont des courbes quelconques: ce qu'on ne saurait faire si nos expressions donnaient pour les limites une valeur quelconque autre que

y(a + ") + yi (a"t~ X9 puisque dans les polygones la loi de continuité venant

à se rompre à chaque sommet, les formules que nous avons trouvées donnent pour tous ces points la demi- somme des deux ordonnées que l'on obtient en les considérant comme appartenant tantôt à l'un, tantôt à l'autre des deux côtés qui viennent s'y couper.

Si l'on voulait exprimer une fonction discontinue de x, qui donnât l'unité pour toutes les valeurs de x comprises entre x = a, x = o-\-b, sans excepter ces limites, et qui fût constamment égale à zéro pour toutes les autres valeurs réelles de x, on trouverait aisément la formule

2 rdq . bq l b\

— / — ^sin-TpCOslx — a ^la

'+ Jî (f —f^s\n(x-a-b)g)f±3-ûn ^cos(x — a — £j9

= -il/?*^(----s)r)V¥1/^fc5?--(--'-ï)'-

On peut parvenir directement au même résultat en observant que si l'on indique par y l'intégrale définie

2 rdq . bq ( b\

— / — - sin — cos l x — a — -^ ) y,

le problème que nous venons de résoudre, se réduit à trouver une fonction de y telle que pour j = 1 , et pour y = i elle donne <P(j) = I , et pour y = 0 elle fournisse <p(y) = 0; puisque 1, £■ et 0, sont les trois valeurs de y i d'où l'on déduit

Ou pont trouver une infinité «Te formules propres à vérifia! les conditions précédentes; mais on voit qu'elles conduirout toutes à des expressions du second degré, puisque il s'agit de trouver une équatiou qui ait deux racines. En général si l'on avait une fonction discontinue quelconque, qui eût seulement un nombre fini n de valeurs différentes dans une étendue finie ou infinie de la variable, il est clair que l'on pourrait, dans le même intervalle, la réduire à n'exprimer qu'une valeur constante donnée, à l'aide d'une équation du degré n qui aurait pour racines les diverses valeurs de la fonction connue. On pourrait même à 1 aide de la théorie des équations, transformer une fonction discontinue, qui n'aurait qu'un nombre déterminé de valeurs, eu une autre fonction discontinue de forme donnée quelconque; ce qui du reste ne saurait offrir aucune difficulté dans l'application.

Maintenant il résulte des considérations précédentes, que lorsque par les conditions d'un problème on sera conduit à une formule qui contiendra des fonctions discontinues, cette formule sera exacte aux limites , ou non, selon que l'on y sera parvenu à l'aide des expressions précédentes qui représentent exactement la fonction même aux limites, ou de celles qui ne donnent pour ces points, que la moitié des valeurs cherchées.

Pour appliquer ces réflexions à quelque cas particulier, nous considérerons le mouvement linéaire de la chaleur dans une barre infinie de très -petite épaisseur., en supposant que les températures iuitiales des points de la barre situés entre x = — 1, a? = -f-l, aient pour valeur commune 1, et que tous les autres points depuis x = — 1, jusqu'à x = — ce, et depuis ar- = 1, jusqu'à x = oc, soient à la température zéro. Les géomètres qui ont traité cette question, ont trouvé qu'en indiquant par t le tems écoulé depuis le commencement de l'observation, par v la température du point (pie l'on considère, et par x sa distance à l'origine des coordonnées, on avait l'équation

maintenant si l'on fait t = 0, dans cette formule , on devrait retrouver les températures initiales; mais par la discussion que nous avons faite précédemment de 1 intégrale définie

Lfii

sin ç cos ç x,

on trouve qu'elle satisfait aux conditions initiales du problème pour toutes les valeurs de x, excepté pour af==±l; car pour ces valeurs elle donne v=-\. Ainsi l'équation précédente n'exprime pas les conditions initiales, telles que nous les avions demandées; et correspond à un état initial qui donnerait v = 0, depuis x = — 1, jusqu'à x = — co, et depuis x = 1, jusqu'à x = <x> ; fournirait v = | pour x = + 1 ; et V = 1 , depuis x = — 1, jusqu'à jç= 1.

Pour représenter l'état des températures permanentes dans une barre, échauffée par un foyer dont la température est 1, on a la formule

2 Pdq cos qx

qui exprime deux courbes logarithmiques se coupant lorsque x = 0, à une distance égale à l'unité au dessus de Taxe des abscisses : maintenant comme au point d'intersection on a e° = 1, on sera dans le cas d'un polygone, et l'équation sera exacte même pour les limites de chaque fonction; ce qui peut se vérifier aisément, puisqu'en faisant x = 0, on a

2 r dq 2.71 .

C'est peut-être par des considérations semblables, que l'on parviendrait à trouver à priori pourquoi la série

(1 — cosa\ . . /l — cos2a\ . 0 . /l — rns3«\ . 0 , , — ) sma? + l — ~ ) sm2or + 1 ^ 1 sin Sx -f- etc.

(dont la somme est — tant que l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre 0 et a, et qui se réduit à zéro pour une valeur quelconque de x comprise entre a et -jt), a pour valeur -^- lorsqu'on fait a- = « = — ; ce qui est aisé à vérifier, puisqu'elle se réduit alors à ^l — cos— J siny +2"\1 — cos-tj-J sm-y- + ~^\l — cos-^-J sin-^- -f-etc.

= 1 — y"T"T — 7 "T 'o •••• etc == -^- •

Tout ce que nous avons dit jusqu'ici nous parait démontrer la nécessité de discuter dans chaque cas particulier la valeur des limites dans les fonctions discontinues, à moins que l'on ne connaisse par avance la nature de la formule d'où l'on a déduit les expressions qu'il s'agit de vérifier : car une formule qui exprime une fonction discontinue quelconque est |e produit de deux facteurs, dont l'un représente l'équation à laquelle cette formule doit satisfaire entre deux limites données, et l'autre exprime la con- •

dition de la discontinuité: ot on a vu <|ue celle-ci peut être exacte ou non aux limites. Si ces deux facteurs étaient toujours en évidence, il serait aisé dans tous les cas de vérifier les valeurs des limites ; mais dans les formules auxquelles on parvient eu résolvant les problèmes qui comportent la discontinuité des fonctions, ces facteurs sont renfermés dans une expression commune, et on ne saurait les séparer. Par conséquent il faut dans chaque cas particulier discuter les valeurs des limites.

Les formules que nous avons trouvées précédemment, et qui mettent en évidence les facteurs dont nous venons de parler, sont utiles dans quelques cas pour faire connaître directement la marche de la fonction discontinue: ou trouve par exemple

2 Pdqeosrjx e~x-\-ex . /e~x — e*\ P d (/sin q x

V ~nJ "HhP- ~~ 2 " n )J q '

et l'on voit que ces expressions serviraient de même a représenter l'état permanent dune barre, dans laquelle il y aurait un nombre quelconque de foyers de température constante.

On pourrait aussi, par des formules semblables, exprimer des fonction discontinues à deux ou à un plus grand nombre de variables : pourvu (pie l'on modifiât convenablement les conditions des limites.

Qu'il nous soit permis de remarquer ici, que l'on, fairait disparaître quelques-unes des difficultés qui se rencontrent dans l'emploi des formules de transformation, dont on se sert pour l'intégration des équations aux différentielles partielles, et dans l'étendue qu'il faut attribuer aux fonctions arbitraires discontiuues, si Ion faisait usage de la formule

«m - - ± h yfrH-*"*-^) . ? .(*-r-e-^) | .y

«pie nous avons donnée dans les Mémoires de l'Académie de -Turin. Parce» pie la quantité x qui est indéterminée, et qui doit s'évanouir d'ellemême, sert a détruire les' erreurs que l'on pourrait commettre en attribuant au développement de <P(t) une forme qui ne lui conviendrait point. Du resté ces considérations, qui sont indispensables pour obtenir des résultats exacts, intéressent spécialement fanasse des- équations aux différentielles partielles qui expriment' le mouvement de la chaleur, lorsqu'on suppose que les températures initiales ne sont pas assujetties aux lois <le continuité: car eu considérant la question sous le rappott physique, il parait peu probable qu'aux limites de ces fonctions discontinues, la commuui-

cation de la chaleur de molécule à molécule se fasse d'après la différence des températures.

Jusqu'à présent on n'a représenté les fonctions discontinues réelles, que par des suites infinies ou par des intégrales définies; et l'on ne connaît aucune expression finie qui ne renferme que des quantités algébriques et des fonctions exponentielles ou circulaires, mais qui puisse cependant représenter une fonction discontinue. Toutefois en observant qu'en général, lorsque une fonction cesse d'obéir à la loi de continuité, on peut toujours supposer qu'elle passe par § au point où elle change brusquement de nature, on parvient à trouver des formules qui ne contiennent que les transcendantes de 1 algèbre élémentaire, et qui peuvent exprimer une fonction discontinue quelconque. Sans exposer les recherches qui nous ont conduit à ce résultat, et qui exigeraient de trop longs développemens , nous nous bornerons à vérifier à posteriori une de ces expressions, d'où l'on en pourra déduire une infinité d'autres.

Les géomètres qui se sont occupés de la détermination des valeurs particulières des coé'fficieus différentiels, ont reconnu depuis long -teins que la fonction #"log;r, qui lorsque x = 0 prend la forme §, se réduit à zéro pour cette valeur de x lorsque n est une quantité positive, et qu'elle devient infinie lorsque n est négative: maintenant si l'on discute les diverses valeurs de l'expression

lorsque y = 0, ou ce qui revient au même de l'expression

on verra que lorsque x est une quantité positive quelconque plus grande que n, on aura (x — n)IogO:= — oo, et par conséquent

x == e(iogo)C-œ e-»r-œ eo f.

mais comme on a, lorsque x = n,

O.logO = 0, on trouvera

eUogo)c0-loso__ gflogOc0^ e-« 0;

et enfin lorsque x est une quantité quelconque comprise entre n et l'infini négatif on aura x — n = — /;, et par conséquent

(x — «)logO = — /j( — <x>) = oo; et partant

eOoB<o«t'<*'»<*->=s g-me" = *-• -- o.

D'où il résulte que la fonction

,. , (logo) (x — n) e(logo)«v " J*

est égale à zéro depuis x = — x , jusques et inclusivement à x = n , et que depuis x = n, jusqu'à ;r=?o, cette fonction a pour valeur l'unité. Ainsi le produit

^1^0)e°°SO)(X-«) nogo)eC"60> <« + »-*>

est nul pour toutes les valeurs de x comprises entre x = a et x = — x>; et entre x = a-\-b et a? = oc ; et est égal à l'imité pour toutes les valeurs de x comprises entre x = a et x = a-\-b; excepté ces dernières limites pour lesquelles il se réduit ù zéro. On peut observer que l'on a

Maintenant pour appliquer ces formules à un exemple nous chercherons, comme nous l'avons déjà fait, la formule qui exprime l'état permanent des températures dans une barre très -mince de longueur indéfinie, qui a un foyer de chaleur placé à l'origine des coordonnées et dont la température constante est égale à l'unité; et nous aurons

v = er.0'r"V+e-v.cos^0u~",C

1 fdJL nj 1

d'où l'on déduit l'équation

qui donne la relation