cosax / dxÇ(x) sincra? — sinaxr dx<P(x) cosax

/ a'P \ / rp(x) , d2.rr(x^ ^ (— if d*~'.ç> x \

— U* — (— lfM/\ a "Ta1!/^ a-P~l d&P-* >

et l'on voit que le second membre ne contiendra ni cosojt, ni sin«:r. II est clair que si Ç Cpe) = A sin m x -f- B cos m x , on pourra établir l'équation

rf ^ - = — m2Q(x), et par conséquent on obtiendra la valeur de l'intégrale (12.) délivrée de sin car, et de cosaxj la même chose arrivera en général lorsque <P(x) sera de la forme

A1 sin mx x + A2 sin m2 x -J- At sin mtx -\- etc. ,

-{- 2^ cos m, J7 -j- B2cosm2 a? + £< cos wf a? -f- etc.,

et lorsqu'on aura

Ç(x) = a -f- bx + ca:2 -f- c?j?3 4- a";

et dans d'autres cas.

Maintenant, puisque les valeurs particulières de V, V19 V2, etc., peuvent toujours s'exprimer par des fonctions de la forme

jt J P, sin/?! x -f- P2 sin/z2 a? -j" A SU1 ^ ^ I

|+ Qi cos/JiJ? + 02cos/î2;r -f- Qvcos/zgo-f

on sera toujours assuré que les sinus et cosinus des arcs irrationnels ne se trouveront pas dans l'intégrale complète, quel que soit le nombre des puissances de S que l'on voudra considérer.

Tl faut observer que si l'on avait ( — 1)PM— a^ = 0, le second membre de l'équation (12.) aurait une valeur infinie: on rencontrerait cette circonstance si l'un des nombres «,, n2, n3, .... nq, etc., compris dans les valeurs de F, F,,F2, etc., était égal à «,• alors en reprenant le calcul on trouverait, après les réductions, un terme de la forme Nx sïnnrlx, qui contiendrait lare de cercle #, et qui rendrait nul, dans le cas que nous considérons, l'effet de l'approximation : mais il est clair que le nombre m de la formule (11.) pourra toujours être déterminé de manière que cela n'arrive pas, et il suffira à cet effet que le dénominateur ne soit pas zéro, comme nous l'avons déjà indiqué.

La formule (12.) exige, pour être appliquée facilement, que la fonction <p(x) puisse se réduire à une suite finie de monômes composés d'un seul facteur: cependant en poussant fort loin l'approximation, et en calculant un grand nombre de termes de la série V-\-BVt -f- ÏÏV2 + etc., on aurait en général

A cos «! cos a2 cos c3 . . . . cos an . sin b1 sin b2 . . . • sin bm \ <P(.r) = \ -f- ^cosc, cosca cosc3 .... coscp . sin c?i siu tfa .... sine?,. ^ ;

. . . . etc.

pour opérer les réductions nécessaires dans cette formule on pourra faire usage de l'équation cos ^ CQS ^ CQS ffj . . . . cos Un

= 5^(0057 + «S. cos (7 — 2/7,.) -\-S.S .cos (1/ — 2/7, — 2ax) -J- etc.),

dans laquelle les arcs of, a2, o3 , .... /7„, sont indéterminés et tous différens entre eux, et donnent a, -f- a2 -)- a3 . . . . -f- ar = r/ j en indic[iiant par S.cos(ç — 2û\), ^a somme de tous les termes de la forme cos (q — -20,), où l'on a fait successivement y s 1 , 2, 3 , ,. . . . n : en représentant par •S. S. cos (</ — 2r/y — 2c.), la somme de tous les termes de la forme cos(? — 2ay — 2 g.), où l'on a fait d'abord successivement j= 1, 2, 3, . . . .n; et où l'on a donné à z toutes les valeurs t, 2, 3, .... n (pourvu que l'on néglige tous les termes dans lesquels on aurait r = ~); et ainsi de suite jusqu'au dernier terme: en observant toujours d'omettre tous les termes de cette formule, qui seraient égaux à l'un de ceux que l'on a déjà trouvés. En différcntiant cette équation par rapport à al , a2 , o3 , etc. , on obtiendrait des expressions semblables, pour le produit d'un nombre quelconque de sinus et de cosinus.

M. Fourier en adoptant la loi de Newton a trouvé, que la demisomme des températures de deux points de l'armille situés aux extrémités d'un diamètre quelconque, forme toujours, au bout d'un temps très -long, une quantité constante, et égale à la température moyenne de l'armille. Maintenant, puisque ce résultat à été confirmé par l'expérience, il est clair <pi il devra se dédiure encore de la loi du refroidissement découverte par MM. Dulong et Petit. En effet, en reprenant la valeur de v trouvée précédemment ( 1 1 . ) , et en y supposant t très - grand , on devra considérer seulement deux espèces de termes : ceux dans lesquels on a s = 0, et ceux qui résultent de s=l: c'est-à-dire les termes multipliés par e-6*,

et par e ^ r*' ; puisque tous les autres qui contiennent quelques-uns des

-a(b+aiil)t (6+44),

facteurs e r.' ; e v T J etc.; sont trop petits (dans l'hypothèse

de t très -grand) pour être comparés à ceux-ci. Alors la valeur de v se réduira à la forme

v = B.^ + ^r^'rinf +£lÉrK4>cosf ,

et il est clair que si dans cette équation on substitue x + nr, au lieu de ar, on aura la température vx , du point de l'armille diamétralement opposé à celui dont la distance à l'origine est x, exprimée de cette manière

/JQe-H^e-(6^)'sin-Bie-(6+^'cos^;

et partant

Si dans la formule (11.) on substitue pour b sa valeur c<$, on trouvera, que l'expression de M. Fourier contient seulement la première puissance de S, et que la nôtre renferme aussi S2. Avec notre méthode, on pourra pousser l'approximation aussi loin que l'on voudra, sans crainte de rencontrer jamais des arcs de cercle qui la rendraient nulle; et on pourra toujours déterminer les constantes arbitraires (que l'on trouve en prenant des intégrales particulières des premières équations différentielles, pour les substituer dans celles qui suivent) de manière que tous les termes aillent toujours en décroissant, et qu'aucun dénominateur ne s'évanouisse; comme nous l'avons fait dans l'analyse précédente.

On sait que l'équilibre des températures dans une armille, dont un point est soumis à une température constante, est donné lorsqu'on adopte la loi de Newton, par 1 équation

dx3

dont l'intégrale est v = A e"x -f- Jl e~"x, A et At étant deux constantes arbitraires. En partant de la loi de M. Dulong on obtient, pour léquilibre des températures dans le vide, l'équation

qui a pour intégrale

C et C\ étant deux nouvelles constantes arbitraires. Lorsque v est une petite quautité, on peut supposer sans erreur sensible

et en faisant C,/"(o^) = logE; a S = n2j et réduisant, on aura

lenx nv y n»t>» e™ 2nven* . n'y2

VÏÏ~~VÏJJ)) — 1 + c — E* £V\ç>i" c '

et par suite

e'-y-(C) EV~(C) j nM , A -„* . v = -J^E~-^7^ - Ae +Al* '

en faisant A=-j-1-jt', J, = -~ — ; et comme ^ est ('gai à la tempe-

rature £ du point que l'on considère, moins la température T de l'enceinte, on obtiendra enfin l'équation

t = A enx + Àx e-nx + 7;

nui dans le cas de T = 0, coïncide avec celle que nous avions déjà trouvée , en supposant le refroidissement proportionnel à la différence des températures.

Si l'on considère une barre indéfinie très -mince, et que l'on suppose un foyer de température constante placé sur cette barre à l'origine des coordonnées, lorsque l'équilibre des températures se sera établi, cet

état sera représenté par l'équation —£ = riiv, pourvu que la température

v soit assez petite pour pouvoir négliger, dans le développement de e'v, les puissances de ïïv supérieures à la première: maintenant on sait (pie l'intégrale de l'équation précédente est v=C enx -f- C\ e~nx; mais comme d'ailleurs létat permanent de la barre est exprimé depuis x = — oc , jusqu'à x = -\- ce , par l'équation

/2 fclqcosqx\n

et que quelque valeur que l'on attribue aux constantes, ces deux expressions de v ne peuvent jamais coïncider, il en résulterait que l'intégrale de

l'équation -—^■ = n2v, qui est linéaire, pourrait se former de la somme

des deux valeurs de v que nous venons de rapporter, et contiendrait trois constantes arbitraires. Pour expliquer ce paradoxe il est nécessaire d'ob-

server que l'équation — j- = n2 v , n'exprime l'état permanent de la barre,

que dans les points qui permettent un flux de cbaleur du point qui précède immédiatement celui que l'on considère, à celui-ci, et de celui-ci, à l'autre qui le suit immédiatement; tandis (pie le foyer, que nous avons placé à 1 origine des coordonnées, envoyé un flux continuel de chaleur a tous les points de la barre qui sont situés à sa droite et à sa gauche. Le même résultat se déduirait de la considération de la figure, qui exprime les valeurs des températures pour chaque point de la barre, et dont 1 equation est

car pour a? = 0 , au lieu de donner -~ - = «2 C2 , comme cette courbe devrait faire si elle satisfaisait dans tous ses points â l'équation -r^ = n*y, on voit, par la construction, qu'elle donne ^r = °°; puisque la courbe

dont nous parlons est formée de deux demi -logarithmiques égales, qui se réunissent de manière à avoir leur tangente commune au point de contact perpendiculaire à l'axe des abscisses. Les mêmes considérations s'appliquent à une barre dont plusieurs points sont entretenus à des températures constantes: elles sont très -simples, mais nous avons cru devoir les placer ici, comme étant propres à limiter l'étendue que l'on serait tenté d'attribuer aux équations différentielles du mouvement de la chaleur, ou à leurs intégrales. Il faudra surtout y avoir égard, lorsqu'on voudra connaître l'état calorifique d'un corps, dont un ou plusieurs points pris dans son intérieur ou à sa surface, sont supposés des foyers de températures invariables.

Une autre observation que nous croyons ne pas devoir omettre, c'est que lorsque dans l'armille circulaire, que nous avons considérée, nous sommes partis de la propriété connue, que la température du point x devait être égale à celle du point dont la distance à l'origine est x-\-2ric9 pour déterminer la forme des fonctions circulaires comprises dans l'intégrale, nous lavons fait en suivant 1 exemple des illustres géomètres qiû nous ont précédé dans ce genre de recherches. Cependant il paraît, qu'au lieu de partir de cette considération auxiliaire, ou aurait dû déterminer les coé'fficiens de l'arc x d'après l'équation qui exprime la figure de l'armille, et l'irradiation qui se fait intérieurement entre les diverses parties de l'anneau; irradiation qui est modifiée, comme l'on sait, d'après la courbure intérieure de l'armille. Ceci deviendrait surtout évident, si l'on devait déterminer le mouvement de la chaleur sur une surface cylindrique creuse.

Enfin il faut remarquer, que la théorie mathématique de la chaleur a pour but de trouver à chaque instant la température d'un point quelconque, d'après les conditions initiales du problème et la figure du corps que l'on considère. Cependant, dans la solution de ce problème,

on suppose toujours que les coordonnées du point on question n'ont point changé, pendant que le corps s'est échauffe ou refroidi ; quoiqu'il soit certain que ce point a changé de position, d'après l'augmentation ou la diminution de volume que le corps a souiFerte par l'action de la chaleur. En opérant de cette manière on trouve la température d'une molécule matérielle, exprimée en fonction des coordonnées du point qu'elle occupait dans l'espace au commencement du phénomène, et du tems écoulé depuis la cessation de l'état initial: pour corriger les formules que l'on a obtenues, il faut connaître la loi d'après laquelle les corps se dilatent par l'effet de la chaleur. Si l'on suppose les dilatations linéaires élémentaires, proportionnelles aux accroissemens de la température, ce qiu paraît toujours permis, du moins entre certaines limites de l'échelle thermométrique, on trouvera que le point qui, lorsque la température du corps était zéro, avait x pour distance à l'origine des coordonnées, sera éloigné de l'origine de la quantité .rl = I <lx(i + kî'); v étant donné en fonction de x

et de t; et le coefficient a étant donné dans chaque cas par l'expérience. Mais ceci n'est qu'un aperçu, que nous reprendrons dans une autre circonstance.

Ce mémoire est le même, à quelques cliangeiuens près, qui a été lu eu 1825 a l'Académie Royale des Sciences de Paris.

MÉMOIRE