SUR LA THÉORIE DES NOMBRES

INTRODUCTION

.Lies géomètres qui se sont occupés de l'analyse indéterminée, sont parvenus par leurs recherches plutôt à résoudre des questions spéciales, qu'à faire avancer l'ensemble de la science. Leurs méthodes, toujours bornées au problème qu'ils voulaient traiter, cessaient d'être utiles quand on tâchait de les appliquer à des questions plus étendues: bien plus, pour traiter un problème quelconque il fallait que les quantités connues fussent données en nombres; car sans cela, le manque absolu de formules générales empêchait de résoudre une équation indéterminée à cocfficiens algébriques, même lorsqu'elle était du premier degré. De sorte que la théorie des nombres presqu'immobile au milieu des progrès des autres parties de l'anabyse, quelle avait vu naître et s'élever successivement, s'en trouvait séparée et ne partageait pas leur perfectionnement commun. Cet isolement, qui forme la difficulté principale de la théorie des nombres, dépend de la méthode que l'on a suivie jusqu'ici pour mettre en équation les problèmes d'anal} se indéterminée; car en exprimant seulement les relations qui doivent exister entre les valeurs des inconnues, on a toujours négligé de représenter par des signes algébriques les conditions auxquelles ces inconnues doivent satisfaire, afin quelles soient des nombres entiers ou rationnels. De sorte que ces conditions étant seulement sous -entendues, on ne peut pas les soumettre aux règles ordinaires de l'algèbre, et il en résulte un nom eau genre d'analyse, dont tout le succès dépend de la sagacité particulière de chacun des géomètres qui le cultivent, sans que les travaux des uns soient profitables aux recherches des autres. II y a quelque teins que nous avons tâché de faire disparaître cette imperfection, et déjà nous avons montré ailleurs qu'en écrivant en analyse toutes les conditions du problème, les questions que Ion appelle indéterminées, deviennent toutes plus que déterminées, puisque Ion obtient toujours un nombre d'équations qui surpasse de l'unité celui des inconnues. Nous reproduisons dabord ici les

formules que nous avons données dans cette occasion, pour exprimer par des séries convergentes le nombre ou la somme des racines d'une équation indéterminée, et nous y ajoutons de nouvelles expressions. Puis nous reprenons ce problème a priori dans toute sa généralité, et nous montrons comment, en partant des principes les plus élémentaires de L'analyse, on trouve pour chaque inconnue une équation algébrique dont le degré est égal à la limite que l'on attribue à l'inconnue, et qui exprime la condition que celle-ci doit être un nombre entier: de sorte qu'avant de cette manière un nombre d'équations égal à celui des inconnues, en les combinant avec l'équation qui exprime les relations qui doivent exister entre les valeurs des variables, on aura après l'élimination une équation de condition qui ne contiendra que les coefficiens de l'équation proposée, et les limites qu'on aura attribuées aux inconnues. D'où il résulte que toute équation indéterminée, est réellement plus que déterminée. Ce résultat remarquable avait échappé à Eu 1er qui croyait que les équations indéterminées devenaient plus que déterminées, seulement lorsque le nombre des formes que devaient prendre des fonctions données des variables, surpassait celui des inconnues. On explique par là, la contradiction qui se manifestait entre le nom d'équations indéterminées, et le fait (pu* montrait que souvent elles n'admettaient pas de solutions: ce qui aurait dû faire soupçonner qu il existait une équation de condition laquelle n'étant pas satisfaite, le problème ne pouvait pas être résolu. Et d'ailleurs en partant de la forme des racines des équations déterminées, et en observant que le nombre des solutions dans une équation indéterminée n'était pas donné par le degré de l'équation, on aurait pu prévoir que cette équation de condition était une fonction des coefficiens de l'équation proposée, et de la limite que l'on attribuait aux variables.

Les principes que nous exposons dans ce mémoire sont suffisaus pour trouver, directement et sans tâtonnement, toutes les solutions d'une équation indéterminée, lorsque la limite que l'on attribue aux variables n'est pas linfini: mais comme le degré de l'équation de condition augmente avec les limites des inconnues ; si l'on cherche toutes les solutions possibles d'une équation indéterminée, on trouvera une série infinie dont il s'agira d'avoir la somme pour résoudre la question proposée. Cette somme pourra s exprimer par des intégrales définies, mais leur valeur numérique sera en général fort difficile à calculer; pour en faciliter la recherche il fau-

'drait recourir à des principes (pie nous n'avons pas cru devoir exposer dans ce mémoire, qui a pour but seulement de montrer en général l'esprit de notre méthode. Cependant pour qu'on ne puisse pas croire que notre théorie n'est pas susceptible d'être appliquée aux problèmes particuliers, et pour montrer de quelle manière nos formules peuvent se simplifier dans le plus grand nombre des cas, nous considérons spécialement dans ce mémoire les équations qui sont du premier degré par rapport à l'une «les inconnues, et que M. Gaufs a appellées congruences.

En donnant d'abord la théorie générale dos congruences nous trouvons, que les relations existentes entre les coè'fficiens des équations algébriques et leurs racines, s'étendent aux congruences dont toutes les racines sont entières: nous démontrons de cette manière les théorèmes de Fermât et de Wilson, et beaucoup d'autres propositions nouvelles. Puis en appliquant aux congruences les principes qui renferment la théorie "énérale des équations indéterminées, on trouve les congruences de condition qui doivent être satisfaites afin que le problème soit résoluble: et ces conditions se simplifient beaucoup, à l'aide du théorème de Fermât, lorsque le module est un nombre premier.

En effectuant l'élimination entre les congruences, de la même manière que pour les équations, il devient facile d'obtenir le résultat final; et on trouve ainsi les relations qui doivent exister entre les coè'fficiens dune congruence et le module, afin qu'elle soit résoluble. Ces relations, qui sont des congruences de condition, renferment toutes les conditions connues jusqu'à présent. Nous plaçons ici une corte digression sur les congruences à module variable, dans laquelle nous faisons voir qu'à l'aide de ces congruences on peut résoudre une classe assez étendue d'équations indéterminées, dont les plus simples avaient été traitées par La grange.

Pour chercher les conditions qui doivent être satisfaites afin qu'une consruence soit résoluble, au lieu de faire l'élimination à laide des coëfficiens, on peut substituer les racines des congruences réduites à la forme d'équations déterminées: de cette manière on introduit les fonctions circulaires dans la théorie des congruences, et on trouve des formules qui la comprennent toute entière. Mais ces expressions ne sont pas assez simples pour qu'on puisse les appliquer avec facilité aux cas particuliers: par conséquent nous avons dû reprendre co sujet d'une autre manière; et en partant d'une propriété très -simple de l'équation binôme, nous avons

trouvé des formules qui expriment le nombre et la somme des diviseurs d'un nombre quelconque, et nous avons formé deux intégrales aux différences finies qui donnent le nombre et la somme des racines d'une congruence quelconque. Ces formules étant appliquées à la congruence du premier degré, fournissent l'expression générale de ses racines, qui sont une fonction trigonométrique des coefficiens et du module: et comme cette congruence équivaut à l'équation indéterminée du premier degré, on trouve ainsi les racines de cette équation en fonction de ses coefficiens, ce qui n'avait jamais été fait.

Nos formules générales étant appliquées au congruences du second degré, donnent tous les tbéorèmes connus sur les résidus quadratiques: on en déduit aussi la manière de reconnaître à priori si un nombre quelconque est ou n'est pas résidu quadratique d'un nombre premier donné; et il en resuite une proposition générale qui renferme la théorème fondamental de M. G au s s.

La formule qui sert de base à notre théorie, et qui établit un rapport si singulier entre les solutions des congruences et les fonctions circulaires, fournit le moyen de résoudre directement 1rs équations à deux termes. 31. Gauss qui a découvert le premier cette résolution par une méthode particulière, et Lagrange qui l'a ramenée ensuite à sa théorie générale des équations, ont supposé la connaissance des racines primitives. La théorie que nous exposons dans ce mémoire est indépendante de cette recherche, et d'ailleurs elle est beaucoup plus simple que les méthodes trouvées par ces deux grands géomètres, qui exigent de très -longs calculs pour être appliquées. On trouvera dans la suite de ces mémoires une méthode générale et très- simple pour traiter les équations de cette classe, de mêmes que celles d'où dépend la dnision en parties égales de l'arc de la Lemniscate, et beaucoup d'autres; et l'on verra alors pourquoi la résolution de ces équations déterminées se réduit toujours ù un problème d'analyse indéterminée.

En appliquant notre principe général aux congruence du troisième et du quatrième degré, nous avons trouvé des relations fort remarquables entre le nombre des solutions de certaines congruences, et les racines de quelques équations indéterminées du second degré. Nous avons tiré de là des considérations générales sur les résidus cubiques et bicarrés, sur lesquels on n'avait encore rien publié, en montrant comment l'on devait

modifier les formes des nombres premiers qui servent de module, afin d'avoir des théorèmes généraux. On sait que pour avoir tous les théorèmes connus sur les résidus quadratiques d'un nombre premier, il suffit que la forme linéaire de ce nombre soit donnée. Mais cela est insuffisant pour les résidus cubiques et bicarrés, et il faut que le nombre qui sert de module soit alors d'une forme quadratique donnée. Nous parvenons de cette manière à trouver la forme cubique des nombres premiers qu'on n'avait jamais considérée jusqu'à présent. On pourrait pousser plus loin l'examen des formes des degrés supérieurs, en observant que pour chaque degré le nombre des innconnues doit égaler ou surpasser l'exposant. Le même chose arrive pour les congruences, et il est digne de remarque que quand on a déterminé le nombre des solutions d'uue con» gruence, laquelle a autant d'inconnues qu'il y a d'unités dans l'exposant qui marque son degré, on aura tout de suite le nombre des solutions d'une autre congruence du même degré qui aurait le même module, mais qui contiendrait un plus grand nombre d'inconnues. C'est de cette considération que nous déduisons un théorème général sur les congruences de tous les degrés, qui renferme comme cas particulier un théorème deLagrange sur les congruences du second degré à deux inconnues.

L'analyse succiute que nous venons de donner de notre mémoire suffit pour montrer la possibilité de déduire d'un seul principe général toute la théorie des nombres. Nous n'avons traité ici qu'une classe d'équations indéterminées: mais nous montrerons dans la suite comment on en peut résoudre un grand nombre d'autres, en appliquant le calcul d'approximation aux équations indéterminées, auxquelles il paraissait absolument inappliquable, mais qui cependant dans ce seul cas fournit des solutions exactes. Et nous fairons voir dans un mémoire particulier, comment l'on peut classer et discuter les trancendantes numériques, telles que les nombres premiers, les diviseurs des nombres, etc. En liant la théorie des nombres aux autres parties de l'analyse, il était certain que comme celles-ci contribueraient à son perfectionnement, elles en recevraient des secours; et c'est ce que nous montrerons dans la suite de ces recherches à l'égard des intégrales définies et fonctions circidaires, dont plusieurs propriétés remarquables et inconnues jusqu'à présent, découlent de l'analyse indéterminée. Enfin nous fairons voir comment la considération des differens ordres d'irrationalité devient très -utile dans la résolution des équations numériques.

Analyse.

Nous avons montré pour la première fois, dans le 28' Volume des Mémoires de l'académie Royale des Sciences de Turin , qu'étant proposé de résoudre en nombres entiers l'équation

<PO>J, =, etc.) = 0,

(que nous indiquerons pour abréger par Ç> = 0) pour exprimer que x, yt zy . . . . etc., doivent être des nombres entiers, on a les équations

sin:nr = 0; sinj9r = 0; siu ztt = 0; . . . . etc.; dont le nombre est égal à celui des inconnues, et qui doivent exister en même tems que l'équation proposée. Nous avons trouvé encore que le nombre des solutions entières et positives, plus grandes que zéro, de l'équation <p = 0, est exprimé, à très -peu près par la formule

2 2 ~2 e-IU(.v+r+i....+ eteO<71#

S'il s'agissait d'exprimer le nombre des solutions entières de l'équation <P = 0, en duii uant à x,y3 z, . ... etc., toutes les valeurs 1,2, 3,.... n — 1, on aurait la formule

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