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( ± ïir^(x+y+z...+etc:/°Ç°±ctc.

On pourrait encore faire usage de la formule

x=in v^n r=r/i .

et il serait facile de trouver plusieurs autres expressions semblables, propres ù représenter le nombre ou la somme des solutions de l'équation proposée.

Le second membre de l'équation (13.) est une série qui finira toujours par devenir convergente, et dont ebaque terme pourra être calculé à l'aide des formules de la page 9. Mais pour avoir une valeur approchée du premier membre de l'équation (13.) il faut calculer, dans le second membre, un nombre de termes qui augmente avec la limite n fie l'intégration; de manière que l'on obtient toujours une expression de degré indéfini, qui est fonction des coefficiens de l'équation <p = 0, et de la

limite n. Il faut remarquer surtout que les coefGciens des variables x, y, z, .... etc., dans le développement en série de l'intégrale qui forme le premier membre de l'équation (13.), sont tels qu'en calculant un certain nombre de termes, il ne reste à peu près que ce qu'il faut pour donner le nombre des solutions de l'équation proposée. C'est de cette considération, et de l'examen attentif de la nature de ces coefficiens (qui s'expriment aussi par dos intégrales définies) que l'on pourrait déduire des considérations qui jetteraient beaucoup de lumière sur la marcbe de la fonction représentée par la formule (13.): mais ces recbercbes ne sauraient trouver place ici, et nous les exposerons dans un travail particulier.

Cet aperçu suffirait déjà pour montrer de quelle manière on pourrait réduire la théorie des nombres à l'analyse ordinaire: mais nous allons reprendre maintenant cette question dans toute sa généralité.

Étant proposée une équation à plusieurs inconnues à résoudres en nombres rationnels, fractionnaires ou entiers, on pourra toujours la préparer de manière que tous les nombres cherchés doivent être entiers et positifs: puisqu'en général, si l'équation proposée est de la forme

(p (x,y, z, . . . . etc.) = 0, et que l'on cherche pour x, y, z, .... etc. , des valeurs fractionnaires, en faisant

* = :?> T—^ * = ?» etc->

on aura l'équation

<P(?, <T> 1T> etc.) = 0,

dans laquelle il ne faudra chercher pour

*»» ^o yu y* » 2u ~2> etc->

que des valeurs entières: et d'ailleurs s'il y avait des solutions négatives on les obtiendrait en changeant les signes des variables. Nous supposerons par conséquent que ces réductions soient toujours effectuées dans les équations dont nous chercherons la résolution.

Soit proposé de résoudre en nombres entiers et positifs l'équation <P (x, y, z, . . . . etc.) = 0 que nous représenterons comme auparavant par Ç = 0. Avec les méthodes connues on s'arrête là, et on tâche de résoudre cette équation en s'aidant de la forme particulière de ses coefficiens. Mais l'équation <p = 0, exprime seulement les relations qui doivent exister entre les inconnues,

et n'indique pas que ces inconnues ne doivent recevoir que des valeurs entières et positives: pour exprimer cette dernière condition l'on supposera d'abord que l'on veuille trouver toutes les solutions qui s'obtienneut en donnant à x des valeurs moindres qu'une limite donnée a; à y des valeurs plus petites que b ; à z des valeurs moindres que c ; et ainsi de suite : a, b, c, . . . » etc. , étant des nombres entiers et positifs. Il est clair qu'à cet effet l'on devra donner ù x, y, z, . . . . etc. , toutes les valeurs comprises dans les séries

y = 0, 1, 2, 3, 6 — lï

. etc.;

et faire toutes les combinaisons possibles dans l'équation <p = 0. On observera que toutes ces valeurs de x se trouveront parmi les racines de

l'équation

X = x(ar— l)(ar— 2) (je — (a — 1)) = 0;

et que de mêmes les valeurs de y et de z seront comprises parmi les racines des équations

etc.

Les équations précédentes expriment les conditions que x soit un nombre entier positif moindre que a; que y soit un nombre entier positif moindre que b; et ainsi de suite. Ces équations dont le nombre est égal à celui des inconnues, étant combinées avec l'équation <p = 0, fournissent toutes les conditions du problème; de manière qu'ayant un nombre total d'équations qui surpasse de l'unité le nombre des inconnues, le problème sera plus que déterminé; en éliminant successivement toutes les inconnues entre ces équations, on aura une autre équation de condition F=0, qui comprendra les limites a, b, c, . . . . etc., assignées aux variables, et les coefficiens de l'équation proposée; et qui exprimera la relation qui doit exister entre ces quantités afin que le problème soit résoluble. Lorsque l'équation de condition sera satisfaite, et que l'on sera assuré que l'équation proposé peut être résolue, on reprendra l'une des équations à une seule inconnue que l'on a obtenues par léliraination avant de parvenir ù l'équation F = 0. Soit Xa=Q9 cette équation en x seul;

en cherchant le plus grand diviseur commun entre X = 0, et -X, = 0, on aura une équation de la forme Xt — 0, qui ne contiendra que l'inconnue x et dont le degré sera égal au nombre des valeurs de x qui satisfont à l'équation proposée; et en résolvant l'équation X2=0, on aura toutes les valeurs de x qui satisfont à l'équation $ = 0. On pourrait trouver de même les valeurs des autres inconnues, qui résolvent l'équation proposée; et l'on voit que ce principe s'applique encore à la recherche directe des racines rationnelles d'une équation à une seule inconnue; car ce problème aussi dépend de la théorie des nombres.

Avec la méthode que nous venons d'indiquer, on a seulement les racines inégales ; mais s'il y a des racines égales, elles peuvent se trouver avec facilité de la manière suivante. Nous supposerons d'abord, pour simplifier la question, qu'il s'agisse d'une équation à deux inconnues seulement; puisque la méthode est absolument la même lorsque le nombre des variables est plus grand.

Maintenant soit proposé de résoudre en nombres rationnels l'équation

et supposons que «valeurs rationnelles de x-=a, correspondent à une seule valeur rationnelles de y = bi (n étant un nombre plus grand que l'unité) en différentiant l'équation proposée par rapport à x, et cherchant le plus grand commun diviseur A, entre

^g^ et <P<*,y),

on aura A = F(x,y), et il y aura un reste R=J(y) qui ne contiendra plus x, et qui par supposition devra se réduire à zéro. Si Ion fait par conséquent f(y) = 0, on cherchera les racines rationnelles y = b, y=bL, y=zbt, .... etc., de cette équation, lorsqu'il en existe, et en substituant successivement b, A,, b3i .... etc., pour y dans l'expression de A on aura les équations

F(x,b) = 0; F(x,bl) = 0; F(x, bj = 0; . . . . etc. que l'on tâchera de réduire à la forme (x— a)"-1 = 0 ; et on trouvera de cette manière les valeurs multiples de x que l'on cherche.

Si l'on avait identiquement R = 0, on trouverait l'équation A = F(x,y) = (x— ^(j))7-' = 0, qui devrait exister en même tems que l'équation Ç(x,y) =0, et qui en «ei-ïiit Mn facteur: l'on ne pourrait donc pas déterminer de cette manière

la valeur de y = b ; mais en divisant le polynôme <p (x, y) = 0 par A, le quotient Q contiendrait un seule des n racines égales; et en cherchant le plus grand commun diviseur entre A et Q, on aurait l'équation x — \p(y)=0. Nous avons supposé qu'il y avait seulement n valeurs de x=a, correspondantes à une valeur de y = b: mais si outre celles-là il y avait m valeurs de x égales à c, et r valeurs égales à e, etc., il serait facile d'appliquer encore à ce cas la méthode que nous venons d'exposer.

Soit proposée par exemple l'équation

x2 — Ixy + If — 1 = 0, dans laquelle on veuille savoir si parmi les valeurs rationnelles de y qui la résolvent il y en a une égale à b, et telle qu'il lui corresponde n valeurs de x— a; n étant un nomhre plus grand que l'unité. A cet effet on différentiera l'équation proposée par rapport à x, et l'on aura x— j=0; puis en cherchant le plus grand commun diviseur, entre ces deux équations, l'on trouvera x — y pour ce diviseur et 2 y3 — y2 — 1 = 0 pour reste, et comme cette dernière équation est satisfaite en faisant y= 1, si l'on substitue cette valeur dans l'équation proposée, on aura

x-— 2x + 1 = (x— lf = 1 ; et par conséquent l'équation

x2—2xy -f- 2j3 — 1 = 0, est telle que deux valeurs de x = 1, correspondent à la racine y = 1.

On voit, par ce qui précède, quelles opérations il faudrait faire dans tous les cas; car si l'équation proposée contenait n inconnues, on la réduirait toujours à une autre qui en aurait n — 1 seulement.

Maintenant il et clair que toute la théorie des nombres se ramène au problème de l'élimination; puisqu'il suffirait d'éliminer toutes les inconnues entre les équations

<p(x,y,z,.... etc.) = 0, X = 0, Y = 0, Z = 0, etc. ,

que nous avons établies précédemment, pour trouver l'équation de condition F = 0, qui renferme la resolution de l'équation proposée. L'élimination générale entre ces équations ne saurait s'effectuer avec les méthodes connues; il est vrai que l'on pourrait substituer directement les valeurs des inconnues, mais il serait très - difficile de résoudre la question par cette voie. Pour la traiter avec quelque succès il faut recourir aux intégrales définies, et spécialement aux intégrales dont la valeur est indépendante des constantes qu'elles renferment. Mais nous nous réservons de

donner cette théorie générale dans une autre occasion, et nous nous bornerons pour le moment à considérer les équations dans lesquelles l'une des inconnues est élevée seulement aux premier degré, et que M. Gauss a nommées congruences; et nous déduirons d'une seule formule tout ce que Ton savait sur ce genre d'équations, et beaucoup d'autres résultats nouveaux. Cela nous fournira l'occasion de montrer un exemple des simplifications remarquables dont notre méthode est susceptible, lorsqu'on l'applique aux cas particuliers, et des artifices d'analyse dont il faut faire usaiTe pour résoudre ce genre de questions. Soit proposé de résoudre l'équation