SUR QUELQUES FORMULES GÉNÉRALES D ANALYSE
INTRODUCTION
xj algèbre présente uu grand nombre de problèmes, tels que le développement du polynôme, la recherche des fonctions symétriques des racines des équations algébriques, l'élimination, etc. , dont la solution dépend dans chaque cas particulier des principes les plus élémentaires, mais qui offrent de grandes difficultés quand il s'agit de les résoudre eu général. Cependant le défaut de formules se fait sentir chaque fois que la solution d un problème exige, que Ion connaisse le résultat général des opérations qu'on sait effectuer seulement dans les cas particuliers; et comme cette circonstance se renouvelle souvent dans l'analyse, il en résulte une imperfection <p:i plane sur toute l'étendue de la science. Cette imperfection disparaîtrait si l'on savait, dans le développement d'un polynôme quelconque, trouver le terme général sans qu'il fût besoin de connaître les termes précédens, comme cela parait nécessaire au premier abord; car cette question renferme toutes celles de la même espèce que nous avons énoncées cidessus. Les géomètres allemands, qui se sont beaucoup occupés de ces recherches, ont tâché de tirer le développement du polynôme de l'analyse combinatoire , dont Leibnitz avait donné la première idée; mais leurs procédés qui reposent presqiventièrement sur la partition des nombres, (opération qu on ne sait par effectuer en général) ne peuvent fournir que des règles didactiques, et point de formules générales. D'autres analystes ont ramené ce problème au calcul différentiel et aux intégrales définies: ces méthodes qui sont plus directes, exigent cependant que Ion connaisse
les différentielles successives de certaines fonctions; et comme pour les obtenir il faut développer ces fonctions en séries, il est clair que le problème revient en dernière analyse à ce qu'il était d'abord, puisque il fuit calculer les termes préeédens pour avoir celui que l'on cberche. Ainsi jusqu'à présent, il n'y avait aucune formule générale, qui offrît sous une forme concise tous les termes dont le développement d'une fonction polvnome se compose, sans qu'il fut nécessaire de faire aucune opération préliminaire. Cependant il semble que dans l'état actuel de l'analyse il faut renoncer à tous les mo)Tens pratiques, comme l'on a depuis long tems abandonné les constructions graphiques pour la solution des problèmes ; et que l'on doit chercher des formules générales, qui aient pour caractère spécial de résoudre la question dans sa plus grande étendue, sans qu'il soit nécessaire, pour les appliquer aux cas particuliers, d'effectuer d'autre opération que celle d'y substituer les quantités connues. Chaque fois qu'une formule ne remplit pas ces conditions, elle est incomplète; parceque la valeur d'une quantité qui en dépendrait, ne saurait être substituée dans une autre expression.
Pour résoudre les questions qui nous occupent, nous avons ramené d'abord le développement d'un polynôme à une équation aux différences d'ordre indéfini, dont l'intégrale exprimée en série nous a donné le terme général du développement cherché: puis nous avons partagé cette série en autant d'autres séries partielles qu'il y a de facteurs dans les termes qui la composent; et nous avons pu de cette manière en obtenir la somme en termes finis. La formule que l'on trouve ainsi, est presqu'aussi simple que celle qui exprime l'intégrale de l'équation linéaire aux différences du premier ordre, et lui ressemble à quelques égards. On en déduit de suite une expression des nombres de Bernoulli, plus complète et moins difficile à calculer que toutes celles que l'on connaissait jusqu'à présent. Ceci nous conduit à exposer une formule assez simple, qui sert à développer par les puissances ascendantes de la variable, l'intégrale finie d'une fonction quelconque.
La méthode dont nous avons fait usage pour développer le polynôme, sert encore à trouver la somme des puissances des racines d'une équation algébrique quelconque: on obtient dans ce cas deux développemens, qui en dernière analyse sont identiques, et on les somme de la même mauière que la série que l'on avait obtenue pour le polynôme.
Nous déduisons des formules qui représentent ces développemcns, une expression générale de la somme des diviseurs d'un nombre quelconque; somme que l'on n'avait jamais pu soumettre à aucune loi régulière: et nous montrerons dans la suite comment ces mêmes formules peuvent servir à trouver directement un nombre premier plus grand qu'une limite quelconque. Lorsqu'on connaît la somme des racines d'une équation, toutes les autres fonctions symétriques des mêmes racines s'en déduisent: mais nous n'avons pas cru nécessaire de nous arrêter à exposer les formules qui les représentent. Cependant nous avons pensé qu'il ne serait pas tout à fait inutile de donner la formule générale d'élimination, entre deux équations algébriques de degrés quelconques; et nous l'avons exposée eu négligeant la démonstration qui est très -facile a retrouver.
Les formules que nous exposons daus ce mémoire, offrent l'avantage de pouvoir introduire dans le calcul, sous forme finie, le résultat d'opérations qui dépendent de développemens très -longs à effectuer. Nous avons cru nécessaire de les placer à la tête de ces recherches, à cause des applications fréquentes que nous en fuirons dans la suite, à l'analyse numérique et à diverses questions de calcul intégral.
ANALYSE
Etant proposé de développer suivant les puissances ascendantes de z, le polpiome indéfini
( i + 0l z + a2 z\ . . . -f- c, s*+ etc.)" = 1 +y, z + yt z\... +yx ~*+ etc. , si l'on prend la différentielle logarithmique de chacun des membres de ci'tte étpiation, et que l'on égale les coéfficiens des mêmes puissances de s, on aura la suite d'équations aux différences Ji = m Ci ; 2y2 = 2 m a2 -f ( m — 1 ) a, y, ; 3y3 =* 3 m a3 + Ç2 m— X) o2y\ -f- (m — 2) a, y2 ■
1 . xyx = xm ax-}-((x— l)w— l)a.v,y,-f- ((x— T)m— 2) ax„yi -f- etc. et en substituant dans la dernière, les valeurs de y,, y2 , y3 , etc., déduites des équations précédentes, on aura l'intégrale de 1 équation (1.) exprimée en série de cette manière
2. r,=^+((^-l)^-O^(^«0+((^-3)m-2)^(2wa-+(w-1)"-("ia-') +((^-Om-0^+etc,
et il sera facile de saisir la loi des termes, puisque le coefficient |3, , est égal à la somme de tous les termes précédens dans lesquels on a changé x et t.
A l'aide des substitutions successives on peut toujours exprimer en série l'intégrale d'une équation aux différences; mais les formules que l'on obtient de cette manière manquent de symétrie, et ne peuvent pas aisément se représenter à l'esprit; pour les rendre utiles il faut les réduire à une forme finie, et c'est ce que nous allons faire maintenant.
Si dans l'équation (2.) on réunit par groupes les termes composés de deux, de trois, .... de u -f- 1 facteurs, (en ne considérant comme facteurs que les coëfficiens indéterminés alf o2 , a, , . . . . ax , etc. , du polynôme) et si l'on désigne ces groupes par A2 , A% , .... Au±x , etc. , on aura
X ma v I +((x-l)m-l) ^ (max) + ((x-2) m-2) ^ [rha ;) + ((x-3) m-3) ^ (ma,)
=< +((^-0w-0^(wo<)+ etc.
I + ((.r-?)/»-2)^((m-1)(:)1 (m-^) +((;r-3)m-3)^((2"'--1K (™^±{™Z?hi±lL'lÀ) + etc.
-f- etc.
== ""** -j- -^ + ^; -f- -^„+i -f- etc.
Maintenant le groupe A% a pour terme général l'expression
— m aXi ((x — x,) m — x,) ax Xl
dans laquelle xx reçoit successivement les valeurs 1, 2, 3, ... . x — I ; l'on aura donc
A2 = 'Z~maXi((x—xi) m—xja^^,
en intégrant entre les limites x, = 1, ar, = x. Le groupe^ a pour terme
général
^T «v, ((^ — x,) w — x,) ax Xi ((x, — xB) m — x2) aXi x% ,
où il faut donner à x, toutes les valeurs 2, 3, 4, ... . x — 1 ; et faire successivement xz = 1, 2, 3, . . . . x, — 1 ; on trouvera par conséquent
A, = S 2 ~^—a ((x — x,) m — xj ax ((x, — *,) w — x9) «r,^, ,
eu intégrant entre les limites
Xi ^^ ~j .*'i — X j ./"i — 1, X2 XL •
Et en général on aura l'équation
222».. Ox ,/0r-*\)™--*\K-.v .((ari-jr^/w-jrO**,-*?»"^»- i-JrJw-j:...)/!, v ,
où il faut intégrer entre les limites
xi=u, xt=x; x1=u—\,xî=xl; ;rj=«— 2, xz=xz; .... a?B=l, xu-=-xu ., . En exprimant les intégrales définies aux différences par la notation de M. Fourier, on aura *,=**,=*, xB=»M (((*-*>-*>x x.((x-^m-x2Kt ,,....1
mais comme l'on a *=«+i »s=^,
2 log 2
Ii=:x 5C2— *i xu=xu t s-—t xs=zu—s+i
<? étant la base des logarithmes hyperboliques, et que l'on a aussi par la notation de Va n demi onde
— — — ((x-xjm-xj ax Xi ((xt-xjm-xt) a X2 .... {(xu x-xu)m-x,) ax Xu
= \^{^u-—ocu)m—xu)aXui x^ (pourvu que l'on suppose x0 = x) on trouvera
s=u+i xs=xs,
S log 2
Ju+l = e ma I— ((x„,~ xu)m — xu)ax x\
et puisque U=X;
yx = m o v -f- 2 Ju+l on obtiendra enfin «=»
