jx = mff.r+2 e maA^Xu^x^m-Xu)aXu

en faisant toujours x0 = x *).

*) Nous aurions pa noas épargner cette réduction, en écrivant x0 an lieu de -r dans tout ce qui»'précède ; mais nous ne l'avons pas fait, à cause des difficultés typo-

On peut encore réduire cette expression à la forme suivante

2 Iog .SV S Iog — {^-xt^m~œ^\ax.

yx — mox + m 2 e aXu e

en exprimant toujours par e la, base des logarithmes hyperboliques , et faisant t0 = x.

Ou sait qu'étant donnée la série

^-=— t~t* 7 ? ; — =i+rJ-+j^,....+j.^Hetc.;

e 1 1+r2+r23-";+r2.3....(a:-ri)+etc-

les nombres de Bernoulli seront exprimés par la relation

Bx = 1.2.3.....' (x-\- l)yx+l .

Si à présent on fait dans la formule (3;) • ;

et tw = — 1 ; on aura • . .

'( . s iog s •■ • y

R r'i ri' * iVr ae*='~*-(-iV r"" i • il

pr+1 ] *=i [xu-j-l] LC^^^Hrlj.Jj-.

J 1.2.3..,:(.r+l) ~~ 1.2.3....X \ Eâ/ 1.2.3....^-1) \ JL2~3 ~~ ÏÏ2 \~ O/J V(

-^—n iy i " t- (.__ i\ f S (•

( i.2\ 1.2.3....X i.i'.3....(^-ij\- j.v etcv' ;;■

En faisant dans cette expression successivement x =1,2, 3, etc., on obtiendra les valeurs déjà connues

2i0 = -{; BlS=2(-£ + £) = J; £2 = G(-/? + T\ + &-£) = 0; etc. Cette formule est assez simple, et le calcul numérique, pour chaque -cas particulier, en est plus aisé que dans les expressions connues jusqu'à présent: d'ailleurs elle est générale, et fournit même la valeur de B0-= — •£, que d'autres formules (celle de La Place par exemple) ne donnent pas: nous l'avons rapportée comme uue application très -simple du développement du polynôme que nous venons de trouver.

graphiques, gue nous nui-ions renconlrôes dans l'impression des formules exposées dans <e mémoire | difficultés que le manque des caractères nécessaires rend plus grandes en Toscane qu'ailleurs.

Les nombres Je Bernoulli ne sont au fond autre chose que les coéfficiens des diverses puissances fle la variable dans le développement de 2 s", multipliés par des nombres couuus: s'il s'agissait de développer la fonction indéterminée 2<p(.s) par les puissances ascendantes de z, ou uurait un résultat assez simple que nous allons faire connaître. Etant donnée l'équation

<P(-) = ^+e^ + M? + exzx + etc,

elle se réduit à

e«s = 1 + u z + ~- + 4— + etc.;

lorsque <p (s) = e"% et on aura dans ce cas

e0 = 1 ; el = u; ea = j-^; . . . . ^ = — — — -; etc.

Si l'on fait à présent