SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES AUX DIFFÉRENCES FINIES

Lu à l'Académie Royale des sciences de Paris, le S. Juillet 1S33.

Introduction.

J ja théorie des intégrales définies a occupé dans ces derniers teins les géomètres les plus célèbres. C'est surtout en cultivant cette branche du calcul intégral que les analystes sont arrivés ù ces belles formules de transformation qui ont tant perfectionné l'analyse des équations aux différentielles partielles, et qui par suite ont contribué puissamment aux progrès de la physique mathématique. Mais en s'occupaut presqu'exclusivement des intégrales définies aux différentielles, on a négligé beaucoup trop la théorie des intégrales définies aux différences. Il est vrai que par le théorème de Mr. Fourier on peut toujours passer de l'un à l'autre de ces genres d'intégrales: mais les formules qu'on obtient de cette manière, sont très difficiles à calculer et ne conduisent presque jamais à des résultats finis. Quant aux séries inGnies dont on connaît la somme, elles ne sont autre chose que des intégrales aux différences finies; mais ces intégrales ont toujours pour limites zéro et V infini, et on en cherche les valeurs par des méthodes toutes particulières.

Maintenant, il ma semblé que dans l'état actuel de l'analyse, il était nécessaire de considérer généralement la théorie des intégrales définies aux différences finies, quels que fussent les limites de l'intégration. Le sujet est neuf et fécond ; mais dans ce mémoire je me bornerai à exposer les recherches que j'ai faites sur les intégrales aux différences des fonctions circulaires; et je réserverai pour une autre occasion les résultats plus compliqués, et les applications de mes formules.

On sait que les fonctions circulaires qui servent à la division du cercle en parties égales, jouissent de la propriété remarquable de pouvoir être exprimées par les racines d'une équation algébrique, dont tons les coefficiens sont rationnels. Il résulte de là, que les sommes des puissances

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entières et positives des racines de ces équations , formant toujours des quantités rationnelles, et que toutes ces racines étant des fonctions circulaires qui varient d'après une loi connue, leur somme sera une intégrale aux différences finies, qui aura pour limites de l'intégration, zéro, et le degré de l'équation ou le nombre des parties dans lesquelles on veut diviser la circonférence. On déduit de là les intégrales définies aux différences d'une puissance positive quelconque du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente: seules fonctions circulaires qu'on sut faire dépendre, jusqu'à présent, de la résolution d'équations algébriques à coefficiens rationnels. Il n'était pas difficile de déduire de là les intégrales de ces mêmes fouctions élevées à des puissances négatives; et j'ai commencé par là mon travail. Puis j'ai montré qu'il existait une infinité d'autres fonctions circulaires qui se réduisaient à dépendre d'équations algébriques à coefficiens rationnels; mais que ces coefficiens, par une singularité dont l'analyse n'avait offert jusqu'ici aucun exemple, ne pouvaient être déterminés qu'en résolvant des équations indéterminées du premier degré. Les points de contact entre l'analyse algébrique et la théorie des nombres sont si rares, que j'ai cru pouvoir signaler ce rapprochement à l'attention des géomètres.

Les équations à deux termes qui servent à la division du cercle, peuvent se décomposer en d'autres équations, chacune desquelles à pour racines les sinus et cosinus de certains arcs, qui varient en général comme les puissances des nombre naturels. J'ai déduit de cette décomposition les valeurs de plusieurs intégrales définies aux différences, dont la détermination paraissait difficile. Pour obtenir ces valeurs, il fallait connaître les coefficiens des équations auxiliaires qui naissent de la résolution des équations à deux termes. Mr. Gauss et Mr. Legenrfre se sont occupés à plusieurs reprises de cette détermination ; mais ils ne l'ont effectuée que pour les trois premiers degrés: maintenant je donne dans ce mémoire une méthode générale pour trouver à l'aide de certaines congruences, les équations auxiliaires de tous les degrés, et j'en déduis les valeurs d'un grand nombre d'intégrales définies aux différences, qui n'étaient pas connues jusqu'à présent.

La théorie des intégrales définies aux différentielles renferme deux propositions fondamentales (le théorème de Mr. Fourier et celui de Mr. Parceral) dont l'utilité est bien connue de tous les géomètres. J'ai

pensé qu'il fallait chercher pour les intégrales définies aux différences finies des théorèmes analogues à ceux que je viens de citer; et je sius parvenu à exprimer (par des intégrales aux différences seulement) la somme des séries et la transformation générale des fonctions, lorsque ces séries et ces fonctions ne contiennent qu'un nombre fini de termes: si le nombre des termes devient infini, alors les intégrales aux différences se changent en intégrales aux différentielles, et, par un procédé analo»ue à celui dont s'est servi Mr. Poisson pour passer du théorème de Mr. Lay range A celui de Mr. Four 1er, on retombe sur les théorèmes dont j'ai parlé plus haut.

Ces expressions auxquelles j'ai ajouté d'autres formules nouvelles, forment la dernière partie de ce mémoire. Elfes peinent s'appliquer à un grand nombre de questions analytiques; elles sont utiles soutout dans l'intégration des équations linéaires aux différences; intégration qu'on faisait dépendre des intégrales définies aux différentielles, et qui désormais se déduira bien plus naturellement des intégrales définies aux différences finies.

Analyse.

On a vu par la formule (22.) de mou Mémoire sur la théorie des nombres que si l'on réprésente par <p une fonction quelconque de plusieurs variables <p (x, y, z, .... etc.) la série

1+ (C0S2J^ + /-! sîn «2*J + (cosili! . f x s;ni^ï) .... v m m I \ m ' ml

.... +(cos2(^)(p7r + /--lsin'.>(^i)(p^) aura pour valeur m ou zéro, selon que — sera un nombre entier ou une

fraction. Il résulte de là que l'intégrale

c=by%dz^ f , / 2ç>« , ' . 2<pji\

2 2 2 . . . . \l-\- Icos— [• yf— 1 sin — — ) . .

— 2 2 2 ....14-1 cos -2—

m X=a yzzLc z=e ' V m ' ' ?n

a pour valeur le nombre de solutions de la congruence (£> = <) (mod. m), comprises entre les limites x—a, x = o;y = e,y = d; z = e, z=fetc. On voit par là que l'intégrale

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x=b y=sd z=/