BC

il est clair que la fonction 0° ne peut prendre que l'une des trois valeurs

suivantes :

0°, 01, 0", qui donnent

Il résulte de là que la fonction 0° est égale à zéro pour la valeur x = 0,

et pour une valeur négative quelconque de x s et que 0° =1, pour toutes les valeurs positives de x.

Maintenant la fonction

s = o°xo°a~\

a pour valeur l'unité pour toutes les valeurs de x comprises entre x = 0, et x = as cette fonction se réduit à zéro pour toutes les autres valeurs

de x. Car le premier facteur 0° est égal à zéro depuis x = 0 jusqu'à

x = — <x>f et donne toujours 0° = 1, pour toute valeur positive de x. Le

second facteur 0° est égal à zéro depuis x = a jusqu'à x = oc , et donne

0° = 1, pour toutes les valeurs de x comprises entre x = a, x== — oc. Partant, puisque pour toutes les valeurs de x, comprises entre x = a, x = oo ; et entre x = 0, x = — oo , l'un des deux facteurs de z est égal à zéro; et que entre x = Q, x = a, ils sont tous les deux égaux à l'unité;

il en résulte enfin que le produit 0" 0° a pour valeur l'unité entre

ar = 0 , x= a, et que hors de ces limites on a toujours 0° 0" = 0.

En observant que pour x = 0, et x = a, on oura toujours 0° 0" = 0. Il faut remarquer ici, qu'étant donnée une fonction discontinue quelconque, on pourra toujours la considérer comme étant égale à la somme d'un nombre donné de fonctions, qui resteront continues entre des limites

données. Ces limites seront déterminés par les poiuts où il y a solution de continuité dans la fonction discontinue donnée. Maintenant, chacune des fonctions continues partielles, dont la fonction discontinue totale se compose, pourra être représentée par le produit de deux facteurs, dont l'un exprimera la valeur de la fonction discontinue entre deux limites de discontinuité, et l'autre exprimera la loi de discontinuité: pourvu que l'on ait toujours égard à la valeur de ces fonctions aux limites et ù d'autres circonstances qui tiennent aux valeurs infinies des fonctions dont on ne considère qu'une partie.

La fonction 0° devient zéro pour chaque valeur de (f> (a?) = 0, de manière que si on voulait exprimer de cette manière le contour d'un

polygone, il est clair qu'en employant des facteurs de la forme 0" 0" (Ax+B) pour représenter chaque côté, ou aura pour chaque sommet une valeur de l'ordonnée égal à zéro, ce qui serait inexact. Mais il est facile dans chaque cas de corriger cette erreur. Pour fixer les idées nous allons prendre un exemple. Supposons qu'on doive trouver l'équation de la ligne abed.... (Fig. 1.) telle que ac soit une ligue droite, et cd.... une parabole. Soit h e l'axe des ordonnées et e g l'axe des abscisses, soit cf= n, et exprimons en général par y = Ax-\-B, l'équation de la droite abc, et par y ■=. /"(Cx-J-D) l'équation de la parabole cd. Il s'agit de trouver une fonction de x telle que depuis x = — ce, jusqu'à x = n, elle devienne Ax-\-B, et que depuis x=n jusqu'à x—<x, elle devienne yf(Cx-{-D). Il est clair qu'en appellant f{x) cette fonction inconnue, on pourra faire f(jcj = F(x)-\- ^(^c), pourvu que F(x) soit égale à Ax-\-B depuis x = — ce jusqu'à x = n, et s'évanouisse depuis x = n jusqu'à j?=oc; et pourvu que -^(.r) soit égale à ^"(Cx-\-D) depuis x = n jusqu'à x = <x>, et s'évanouisse depuis x=n jusqu'à x = — oc. Maintenant les fonctions F{x) et ^0*0 restent continues entre les limites x = — oc, x = n; x = n, x = ce : donc il faudra les décomposer en deux facteurs dont l'un exprime la condition de discontinuité, et l'autre la valeur numérique de la fonction. On voit que si on multiplie Ax-\-B par une fonction ty{x) telle qu'elle soit égale à l'unité depuis x = — oc jusqu'à x = n, et qu'elle devienne zéro depuis ar = n jusqu'à x = oc, on aura d'abord la droite abc, et puis une valeur y = 0 pour toutes les autres valeurs de x: de même si on multiplie f(Cx-\-D) par une fonction ÇL(x) telle qu'elle soit égale à l'unité de-

puis x-=-n. jusqu'à x = co , et qu'elle s'évanouisse depuis x = n jusqu'à

a.== o0y on aura la parabole cd et puis une valeur de j = 0 pour

toutes les autres valeurs de x. Et comme ces valeurs de y = 0 n'ajoutent rien à la valeur des ordonnées, on aura enfin

f(x) = F(x) + * (s) = <P (*) (^r + B) + ft (*) v^(C* + D). Mais on a vu qu'on pouvait faire

d'où il résulte enfin, que la fonction cherchée f{x) est donnée par l'équation

f(ar) = 0'»"~"X {A x + B) + 00*"" v^(Ctf + D). Il faut observer cependant que pour la valeur x = n , au lieu d'obtenir, comme on le devrait, f(n)=An + B, on trouve f(n) = 0, parceque (/" et o"X" sont toutes deux égales à zéro lorsqu'on fait x=n: cependant on aura une valeur exacte même pour cette limite x — n, en prenant pour <p(x) la valeur 1 — 0U ; car cette fonction donnera alors Ç(x) = i, pour toutes les valeurs comprises entre x = n, x= — co (en y comprenant la valeur x = n), et se réduira à zéro pour toutes les valeurs comprises entre x = n, x = co. Ainsi on aura

et l'équation

y - (i __ &*r ') (AX + B) + G0*"" /"(C* -f- D)

sera l'équation de la courbe abcd — qui est composée de la ligne droite abc et de l'arc de parabole cd....

Toute la question consiste à trouver une fonction F(x) telle qu'elle ait la valeur 1 entre les limites x = 0, x = a, et s'évanouisse entre x = 0, x — — oo, et entre x = n, x = oç: car eu multipliant F (.x) par la fonction \}j(x) qui exprime la valeur de la fonction discontinue entre les deux limites x = a, x = 0, on aura F(x)^{x% qui représentera une partie de la fonction discontinue entre les deux limites a? = 0, x = a, qu'on peut supposer être deux points où la fonction totale cesse d'être représentée par la fonction ^(x); ou en d'autres termes, être deux points successifs de discontinuité. Ou peut trouver plusieurs valeurs de la fonction F(x), et ces valeurs diffèrent aux limites: ainsi la fonction

donne t\x, =■ 0, pour jf = 0, et pour x = a. La fonction

F(x) = (l O»-x)(l-O0~) donne F(x)=l, pour les limites x = 0, x = a; la valeur

F(x) = (i— ar*)a,a"

donne F(x) — 1, pour ar = 0, et /'(x) ^= 0, pour xsza. Enfin la valeur

*W = (cf+îT^Tû donne *>} = * '

pour a- = 0 et pour x=a; en observant toujours que toutes ces valeurs de F {x) donnent F(x) = 0 depuis x = 0 jusqu'à x = — <x>j et depuis x=a jusqu'à x = oc : et qu'on a /•'(>) = 1 entre les limites ar = 0, .r = a : indépendamment des valeurs des limites que nous avons déjà déterminées.

Au reste ces diverses expressions peuvent être considérées comme étant les limites d'autres fonctions dans lesquelles le zéro est remplacé par une quantité très petite. Si l'on exprime par d une quantité très petite, la fontion 0V sera la limite de la fonction dx ; et celle-ci aura une valeur très petite ou très grande selon que x est positif ou négatif. Lorsque x = 0, on aura dx—\. On voit de même que la fonction

(/ est la limite de d'r, et que Q 1 est la limite de la fonction jqjj:

en supposant toujours que d est une quantité très petite.

Les fonctions que nous venons de considérer jouissent de plusieurs propriétés remarquables. Elles servent à transformer en fonctions exponentielles un grand nombre d'intégrales définies qu'on croyait irréductibles. Ainsi l'on a

doù l'on déduit ce rapport assez singulier:

(«i e—nx

==0-*-f 1 ~*~0*+l* On voit par la formule précédente, que nos expressions s appliquent à la tbeorie mathématique de la chaleur et qu'elles simplifient beaucoup 1 expression de certaines fonctions, qu'on ne savait représenter que par

des intégrales définies. Les formules qu'on obtient de cette manière sont très simples, et rentrent dans l'algèbre ordinaire. Nous pensons même qui si au lien" d'exprimer les fonctions discontinues par des séries infinies ou par des intégrales définies, on les avait représentées d'abord par des fonctions du genre de celles que nous venons d'exposer, on aurait évité beaucoup de disputes et de malentendus sur les fonctions discontinues dont la marcbe et les propriétés ne sont, en dernière analyse pas moins évidentes que celles des fonctions les plus simples. Mais nos expressions trouveront surtout une application utile dans la théorie des nombres. Car elles dounent, sous formes finies et par des exponentielles seulement, la valeur en nombres de transcendantes numériques, dont on connaissait à peine quelques propriétés, et dont on ne pouvait avoir aucune expression générale. D'ailleurs pour simplifier la question, nous éviterons les valeurs de 0" que nous avons considérées au commencement de ce mémoire: ce qui rendra tout à fait élémentaires les recherches suivantes.

Il est évident que yr0 = 0è = 0; maintenant la fonction 0i+xr (dans laquelle x doit toujours être un nombre entier) sera égale à zéro tant que x restera positif, et deviendra iuQuie lorsque x sera négatif. Il résulte de là que la fonction

sera égale à l'unité tant que x restera entier et positif, et deviendra égale à zéro lorsque x sera un nombre entier négatif.

On sait que la somme des puissances mm" des racines de l'équation x" — 1=0, sera égale à n ou à zéro, selon que le nombre

— sera un nombre entier ou une fraction. Maintenant si on divise l'ère

quation proposée par x — 1, on aura

et il est clair qu'en exprimant par Pm la somme des puissances mmp* des racines de l'équation X = 0, on aura 1-|- P,„ = «, lorsque — est un nombre entier, et 1 -J- Pm = 0 , dans le cas contraire. Il s'agit maintenant d'exprimer Pm généralement en fonctions des coefficieus de l'équation X=0. Nous avons démontré ailleurs *) qu'étant donnée l'équation Xl=xn — alxn-l — a2xn-2 — ca= 0,

*) Mémoires de mathématiques et de physique, tome I. p 11.

si on exprime par J>m la somme des puissances ///""" de ses racines, on aura

{A.) lSm=m0m-f(m-l)flm l(fl,H(m-^û,M(f/!+fll(«l)) +

(m — 3) am,[a3 + a, a, + 0,(0, + «,(«,))] + {m — /) <7m, ^, -f etc. ;

dans laquelle la loi de la formation des termes est manifeste, car le coefficient J, se forme en changeant m en t dans tous les termes cpii précèdent {m — t)am,At, et en égalant à l'unité (dans tous ces mêmes termes) les coefficiens numériques m, m — 1, m — 3, etc.

Pour appliquer cette formule avec succès dans les cas particuliers, il faut que les coefficiens ali o2, o3, etc. soient donnés en fonction des • ■\posans des puissances de x qu'ils multiplient dans l'équation A\ = 0. Cela est nécessaire surtout pour savoir à priori quels sont les termes de cette expression qui doivent s'évanouir, lorsque m étant plus grand que n, on aurait des termes de la forme om, »,„,, etc. qui manquent tous dans I équation Xl = 0. Ainsi par exemple dans l'équation X = 0, il est clair que pour avoir la valeur de Pm, il faut exprimer la condition que les coefficiens de A" = 0 sont tous égaux à l'unité, mais qu'il n'y en a que n: c'est-à-dire (si on compare les deux équations A = (), Xx = 0), que

°. = «s = az = .... = an = — i ; et que

Maintenant si l'on fait en général

lP — l + 0"+i-P'

on voit que cette valeur satisfera aux conditions énoncés précédemment, car on aura

ar i|n«+à-p l>

(tant que n>p, ou même lorsque n = p) et

ap — iJ.ir+5-f '

lorsque n<^p.

Il résulte de là que

(B.) 1 + Pm=l — m. i+Qn+i m — (m — l)-1+0^-m+,(npîp-+Fr)

(m 2). 1^Q„+i m-)-2 \i^.0"+i-2 r+cr+î-1 \i 4- O'+t-'// " "

( .' 1 / —1 1 ( -1 >etc^

• ••• — \jn—t). i ^ Qn+i m+t \t ^ 0n+i, — 1 + u +,-.+! \i-|0'+"-7 V

et le second membre de cette équation sera égal à zéro où à n, selon

que — sera une fraction irréductible, ou un nombre entier.

Ce second membre est évidemment une fonction de m et de ni si on le représente, pour abréger, par f(m, n), il est clair que la somme des diviseurs de m compris dans la série des nombres

a, e-t-1, g-J-2, .... a-\-by sera donnée par la suite F(m,a) + F(m,a-\-l)+F(m,a-]-'2)....-\-F(m,a-\-b) — S F{ni,x).

Cette suite contient h -f- 1 séries semblables entre elles et peut s'écrire de cette manière:

etc. ]

+ l — " m • i-j-o+'+i-"1 (m ~~ J) • rq^+i+F^+i \i j oa+1+i-1/ ~~ ete*

-f- 1 m . j | Qn+j+4 m (w 1) • i^(j"+6-H-"'+l Vi-{-0',+t+i-v et°* en substituant les valeurs de F (m, a), F (m, a-\- 1) .. . . etc. en nombres. Cette dernière formule qui, quant à la forme, a quelque rapport avec l'expression de Laplace pour les nombres de Bernoulli, sert à exprimer en nombres et en termes finis, la somme des diviseurs d'un nombre quelconque qui sont compris entre deux limites données; transcendante numérique qu'on n'avait pu, jusqu'à présent, représenter d'aucune manière en termes finis. Il est clair que si au lieu de la somme, on cberche le nombre des diviseurs de m compris dans la suite

a, « + 1, .... a -f- b9 on aura l'expression

±F(m,a) + ^lF(m)a + î)....+^F(m,a + b) = ~~"£+1±F(m,x),

qu'on pourra réduire eu nombres en substituant les valeurs de F(m, a), F(m, o + l) etc., que nous avons déjà trouvées.

Pour obtenir la somme des diviseurs du nombre entier m, qui ne surpassent pas /•, on fera a = 0, b = r, dans la formule (S.): maintenant si on appelle fr(m) cette somme des diviseurs de m qui ne surpassent pas r, on sait que le problème de la partition des nombres peut se ramener à la détermination de f,(m). Car si l'on désigue en général par M^(j)

le nombre de foi» que le nombre entier y peut résulter de la somme de s termes de la série des nombres naturels

1, 2, 3, 4, etc.

et si Ion fait, pour abréger, y — = u, on aura:

et comme /,(«) peut toujours s'exprimer en nombres en termes finis, en fesant û = 0, b = s dans la formule (C); le second membre de 1 équation précédente sera tout connu, et on aura, par conséquent, l'expression oénérale de M, (y): ce qui résout généralement le problème de la partition des nombres, qu'on ne savait résoudre jusqu'à présent que dans les cas particuliers, lorsque y et s étaient donnés en nombres.

Ou sait, par le théorème de Wilson, que le produit 1 . 2 . 3 . 4 . . . . (x — 1 ) -f- 1 = / 'x. , sera divisible par x lorsque x est nombre premier; et que cette division ne pourra pas s'élFectuer dans le cas coutraire. Il résulte de là que si Ton fait m =f(x), n =x, daus la formule (B.), on aura:

— (/(•*•) — 2) • !j o-v+i-/^:+î Vi | u-v+i-a — i j u-v+ï-l (rqro^+~j ) ~~ e c* »

et cette expression aura pour valeur x, ou zéro, selon que est un

nombre entier ou fractionnaire; ou bien (ce qui est la même chose) selon que x est un nombre premier, ou un nombre composé. Il résulte de là, que la somme des nombres premiers contenus dans la suite de nombres

a, a-\-i, cr-j-2, .... a -+• b, sera donnée par la formule:

+ 1 -/(«+î).A44)a+^u+o-(^g+0-^-1+QU+1^l,,+,H.. (ïqz^+5=î) — etc.

+1 —f(a+ù). 1^0a+6+i-/(«+<,) — (Ac+6)— !)• i^oc+6+i-^c«+6J+1 Vl+O^+^-v ~~ etc' , qui est composée d'un nombre fini de termes; car chaque série partielle s'arrête nécessairement après un certain nombre de termes: puisque dans la formule {A.) on s'arrête dès qu'on trouve un coefficient extérieur é«d

à zéro. A» reste il serait aisé de trouver une fonction discontinue telle, qu'elle exprimât la somme des nombres premiers, compris dans la suite

a, a -j- 1, c-{-2, .... a-\-b, sans qu'il fût nécessaire d'y ajouter aucune condition: on n'aurait, pour cela, qu'à faire

ap == Vi-j u'-hRv u-j-op+ij '

au lieu de

On =

daus la formule (J.).

Si on voulait seulement le nombre des nombres premiers compris

dans la série

ou obtiendrait ce nombre en divisant par a la première ligne de la formule (D.); par a-j-1 la seconde, par a-\-'2 la. troisième: et enfin par a-\-b la dernière.

Si l'on exprime par Rm la somme des puissances mmfi des racines

de l" équation

çf—y = 0,

il est clair qu'on aura Rm=- ny" , ou Rm = 0, selon que — est un nombre entier ou une fraction irréductible, II résulte de là que si l'on fait le produit

(xm —y) >-1 — y ) (x— — y ) . . . . (as» - y) (x - y) = X , = o, et qu'on appelle Tm la somme des puissances m""" des racines de l'équation X, = 0, on aura

y« = > + -r + j r + y y + • • • • + my>

et les nombres «, $, y5 • • • • etc-? seront tous les diviseurs de m.

Maintenant si ou veut trouver un nombre premier plus grand que le nombre p, on fera (dans la valeur précédente de Tm) m = 1.2.3... .../>+ 1 ; et il est évident que le moindre des nombres a, (3, y ... . etc. (autre que l'unité) sera un nombre premier plus grand que p.

Eu effectuant le produit, on trouve (en posant ~ = s)

X\ = ■>" -y) (xm->-r) .... (x —y)

= r'-jj-'-'-jr-"-- [y—y^x"1— (y jV"*— (y — 'ly^x'-* — etc.

= x1— o.x'1— a x" "*— - o3.r'"3 — a,x"'— aby^ — etc. = 0:

et si on représente, comme nous l'avons déjà lait, par M,(ç) le nombre de fois que le nombre (j peut être formé par l'addition de t terme» diil'é-

rens pris dans la série

on aura en général:

a, = yllUr) -fM^r) +fM3(r) .... ±fMr(r); et en substituant successivement les valeurs de axl at, a3f etc. dans l'expression (--A), on trouvera généralement la valeur de Tm , et par suite ou aura le plus petit des exposans «, (3, y, .... etc., qui sera un nombre entier plus grand que p.

Si l'on fait y = l, dans la valeur de X, = 0, on obtiendra (comme Eu 1er l'a démontré):

(je— y) (pc*—y) .... (*m— y) = (x — l)(x9— l)(x3— 1). . . .(xm— 1)

= a?' — x*~l — x,~2-\-x"~5-\-x':~'....±jc ....etc.= 0, et partant:

Mr (r) — Mr x (/• — 1 ) + M,2 (/• — 2) ±M, (/•) = ± 1 , ou bien s 0,

selon que r est ou n'est pas de la forme :f=—- On voit dont que le

problème de la partition des nombres peut se réduire assez simplement à une suite récurrente.

La métbode que nous venons d'exposer, conduit nécessairement à trouver un nombre premier plus grand qu'une limite donnée; mais ccpendaut elle n'indique pas a priori, quel est le plus petit des diviseurs «, (3, 7, etc.; et elle n'est pas, par conséquent, une formule générale. Car il faut réduire la valeur de Tm en nombres pour connaître quel est le plus petit des nombres a, (i, 7, etc. ; et par suite le nombre premier cherché, plus graud que p. Cependant, ou peut trouver une formule générale de cette espèce, car si on fait, pour abréger, 1 .2.3..../; -\-l — ?n, et qu'on exprime en général par en , la série

(m ~' ' l+0"+i-m+* \L+0"+4-2 l+0'!+i-' \l-j-U "+i-Jy etC*

(que nous avons déjà démontré être égale à n ou à zéro selon que — est ou n'est pas un nombre entier j , il est clair que

exprimeront tons les diviseurs de m. Partant si Ion suppose que et est le plus petit de ces diviseurs, il n'y aura que ce nombre là qui rendra positives toutes les différences

€., — c, } £j °d e* ^u .... em^—eli car si e, n'était pas le plus petit des nombres el , c2 , ez , .... em , dans la suite des différences précédentes, il y aurait au moins une valeur néoative. Il résulte de là que la fraction

se réduira dans le dénominateur à l'unité lorsque el est plus petit que tous les autres termes e2, e3, etc.; mais qu'elle aura au dénominateur au moins une valeur infinie dans le cas contraire ; ce qui fera évanouir la fraction. Le ternve (Y'-1-"* a été introduit pour éviter les valeurs de el = l, e q. car ce terme devient infini dans ces deux cas, et fait évanouir

la fraction.

Si l'on fait maintenant toutes les combinaisons possibles, on trouvera la formule:

oit*»-*. +oi +">-". . . . . + të+'m— 'f 4- oe'-l-î + 1

qui aura toujours pour valeur numérique et , en supposant que ef est le plus petit des diviseurs de m (autres que limité): e, sera toujours un nombre premier plus grand que p.

La formule que nous venons de trouver peut toujours se réduire "énéralemeut en nombres en termes finis; elle ne contient que les valeurs de p et des nombres inférieurs à p s les quantités elt e2 , eif .... ém , sont connues et peuvent s'exprimer en nombres ; nous les avons introduites dans notre formule pour en abréger et simplifier l'écriture.

MÉMOIRE