RI

Au reste on voit que si a et n n'ont pas de commun diviseur plus grand que limite'', ou aura

«i=n j n=rt 4

u=0 l cos 2 (a u-\-b) — \ u=0fCos 1

fxn — 1 \

En considérant l'équation 4 \ * )=yi + nz' = 0, qui se décompose dans les deux autres y-\-z\/"(±n)^=:Oi y — s /■(+«) = (), (dont l'une a toujours pour racines des quantités de la forme x = cos *

+ /" — 1 sin 1 , [on trouve la valeur de l'intégrale définie

SCr^U n j n 2 \ 71—1

^(cos^ + Z'-lsin^) = ^(«(-1)—) et on en déduit de suite les valeurs de

Zj cos — ■ — , 2 8111 = .

Si on décomposait l'équation y-\-z\/~(+n) = 0 en deux autres, dont l'une contient la partie réelle, et l'autre la partie imaginaire des racines; on en déduirait par la division

x=zn x=n |

2a7^' ~ . 2a7IJi'

*=1 cos x— i sin

et ces deux fonctions qu'on pourra déterminer, seront encore des fonctions rationnelles de yfn.

Nous avons déjà prouvé (dans le mémoire sur la théorie des nombres déjà cité) qu'on avoit toujours S sin = = 0, c étant un nombre

entier quelconque; et n étant un nombre premier de la forme 6p-\-l. Maintenant comme si n n'est pas de la forme bp-\-\> on aura

*=" . 2cx*ti x=n . 2cX7l 2 sm = 2 sin ,

il en résulte que lorsque n est un nombre premier quelconque, et c un nombre entier, on a toujours 2 sin1 — — = 0. On déduirait de là la

valeur de S cos — en fonction de c (le nombre a étant donné par

I équation indéterminée 4/2 = a- -\- 27 b'). Au reste on aura toujours en général 2 siu- = 0, lorsque m est un nombre impair, c un

nombre entier quelconque, et n est un nombre premier. On pourrait généraliser beaucoup ces résultats et en déduire les valeurs de

. Ixn 2tti . 2a-'?r

sc=rt 9"! x=n COS x=n Sln