ST
«=<U- '.'«eus— +a* x=0i 2acos^il-f a3 *=0 1— 2acos =^-ï + a'
etc. etc.
mais il suffira d'avoir indiqué la metbode à employer dans tous les cas.
Ou a vu dans le Mémoire sur la théorie des nombres que la dé-
x=n / 2xmir 2.xm;r\ , termination de 2 (cos + /" — 1 sin - } dépend en général de la
résolution déquations dont les coefficiens sont donnés en fonction du nombre des solutions qui ont les congruences xm -J- 1 = 0 ( mod. n ), xm+j"' + lsE() (mod. n) etc. Ces nombres que nous avons appelés Nlf N2, iV„ etc. servent à la recherche des équations auxiliaires à l'aide desquelles on peut résoudre les équations à deux termes. Lorsque m = 3, et m=4, on peut toujours trouver N2 et N3 à l'aide des équations 4- /z = o" -f- 27 Z»- j n = flr -(- b"1. Dans les autres cas il faut résoudre effectivement les congruences que nous venons d'indiquer. Maintenant nous allons exposer une rélatiou qui réduit les nombres 1Y2, JV2, etc. ù être congrus à des quantités données. Nous commencerons par démontrer par notre métbode deux théorèmes déjïi counus, et nous généraliserons ensuite notre analyse.
Dans le seconde volume du Journal de Mathématiques de Mr. Crelte, Mr. Jucobi a énoncé sans démonstration le théorème suivant.
„ Soit n un nombre premier de la forme 6/> -f- 1 , ou sait que l'é- „quation 4 n = a- -}- 27 Z»2 aura une seule solution en nombres entiers po- ,,sitifs. Maintenant je dis qu'on aura toujours
± — lTTJ73t^72^ (mod. b/î+1).'
Pour démontrer ce théorème nous rappelerons que nous avons démontré dans le Mémoire sur la théorie des nombres, que si l'on exprime par Nz le nombre des solutions entières, positives et moindres que n de la congruence s? -f- y * + 1 = 0 (mod./?). ou aura toujours N2 = n±a — ,2
(où H faut prendre le signe -f" ou 'e signe — selon que a est de la forme 3 jr-f-1 ou (^e 'a forme 3 q — 1). Maintenant si Ton exprime toujours (comme
nous l'avons fait dans le Mémoire cité) par an a2, ai} au, a2p
les 2p résidus cubiques de n et par blt b2, .... bu, .... b2p; clt c2, .... cu, .... c2py les deux séries qui comprennent les non- résidus cubiques de n, et si l'on représente successivement par Mlt M2, M3, le nombre des solutions des congruences xn-\-l ='au (mod. /?); yn-{-i=bu (mod. n); zn-\-l=cu (mod. n); il est clair d'abord qu'on pourra changer respectivement au, bu, et cu, en — au, — bu, — cu, sans que Mu M2, MZi changent de valeur, et si l'on conserve aux lettres A, B, C, les valeurs que nous leur avons déjà attribuées, on aura
nMl = /r+ A1 (l+3A)+B2(l + 3B)+ C2 (1 + 3C):
nM2 = rt2 + ^£(l + 3^)-f£C'(l + 3fl) + C'^(l-f :}C);
nM, = n- + AC (1 + 3 A)-\-BA{\ -f- 3 B) -f- CB (1 + 3 C).
A présent il est clair que si v = r est une racine de la congruence du se-
sond degré *- = 0 (mod. n) , on aura toujours
(«„)*'' = 1 (mod. n) ; (b u?p = r (mod. n) ; (cj4p == r (mod. n) ; et par suite
Kl"(a-3+l)4'' = lrr-^C^+l)4" = l + Mi + rM. + r-Mt (mod. n). x=o *==i
Mais nous avons démontré dans le même Mémoire que s étant un
nombre premier, on a 2 (#*) — — 1 (mod. s); (lorsque £=0(mod. * — 1))
tandis que S (a?f) = 0 (mod. .s), lorsque la congruence t = 0 (mod. J — 1),
n'est pas résoluble. Et comme en développant (xn-±-iyp, on ne trouve que trois exposans (12 p, 6p, et 0) qui soient divisibles par n — 1, on aura enfln u xs=a
V (x3 + 1 )*' = 1 + 2 (xJ+ 1 )4p
Si on élimine les quantités A, B, C et r à l'aide de la congruence r3 — 1^0 (mod. n), et des équations connues
l+^j£+G' = 0; 2r=r^(l + 3^)+B(l+3B) + C(l + 3C); uN2 = n2+A(l + 3^)2 + £(l-|-3£)2 + 6X1+3 C')2;
on trouvera
A, + 2 = t 2.3,...2pP <mod- bP + l)
et par suite
±« = 1.2.3....2» ■ (ln0(,• 6>°+ 0,
où il fa u rira prendre le signe -4- lorsque ûr = 3^-{-l, et le signe lorsque a = 3</ — 1. On peut appliquer les mêmes principes à la démonstration du théorème suivant dû à M. Gauss :
„Lorsque n = Hm +1 est un nombre premier, l'équation rr-f- 16 b~=zn „na qu ne seule solution entière et positive. Maintenent je dis qu'on aura „ toujours
+ 2a = 1.2.. ..2m (mod.Siw+l)." .
En effet en conservant les notations du mémoire plusieurs fois cité, et si l'on appelé respectivement Ml , M2 , M3 , M+ , le nombre des solutions entières, positives et moindres que n des congruences
x* + 1 = o„ (mod. n) ; y* +1 == £„ (mod. ») ; s4 -f 1 = cn (mod. n) ;
/,+ -f-l = rfn (mod. «);
et par r une racine de la congruence =0 (mod. n), on aura
l'V+l)4'" = l + 'i^V+ir = Mt + rM.—Mi — rMt (mod. «).
Mais les quantités Mly M2, M3, Mt, peuvent s'exprimer en fonction de ^, S, C, D, r comme nous venons de le voir, pour le troisième degré. Et comme les quantités Ay B, C, D, r, peuvent être éliminées à l'aide de * la congruence /'4 — 1 = 0 (mod. n) et des équations
4/! = /i + ^(l + 4^ + £(l+4B) + C(l + 4C)+'Z>(l + 4J)); «.V2 = /2J+^(14.4^)2+B(1+4B)2+C(1+4C)-+D(1-|-4Z))2 et que l'on a
1 + JS (*'+ 1 T^l-2=^^4^) = MAvMf-mr+Mt (mod. «) on obtiendra enfin après l'élimination, ^
On peut appliquer les mêmes principes aux congruences des degrés supérieurs. En effet, si l'on exprime respectivement par Mt , M, , 71/,,
le nombre des solutions (entières, positives et moindres que n) des congruences
.r° + l = c„ (mod. ap + 1); ya-f 1 ~.b (raod. o/> + l); ....
.... va + l = â„ (mod. ap + 1);
(dans lesquelles «=«/? + 1 est un nombre premier) et si l'on sépare la
partie réelle de la partie imaginaire dans les râleurs de A, B, C, etc. en
posant
«4 = Pi + 9i /"— ^ » B = /* + h /"— ! î c = /'3 + Ç'3/"— 1 etc., on aura
„M2 =-• «"-KM-fuT— 1)(/V- ?2/— l)(l+«CM-?ii^— 1»
. . etc.
Maintenant pour les congruencea du degré a, outre l'intégrale
2 (.r°-f-l)2p, on devra aussi considérer les intégrales 2 (xa-{-l)*p;
2 (x"4-2)f'pj et ainsi de suite. Ou bien les intégrales
x=ap4-l 5C=ap-f-l }-=ap-fl
S (xa+l); 2 2 (x"+y-+J);
SC=rap-fl y=ap-4-l iz^a/i-f-l
2 2 2 (JP»-f-y" + s"-fl); etc.
oc=0 y=0 z=0
et comme toutes ces intégrales se réduisent, d'un côté à être congrues
(selon le module «) à des coëffîciens du développement du polynôme, et
* que d'un autre côté on peut les rendre congrues (selon le même module n)
à des expressions de cette forme F (JW, , M2 , Ma-\- r) ( en indiquant par
r une racine de la congruence -= — =- = 0 (mod. n) , on exprimera toutes
ces intégrales de deux manières par vL , />, , çt , /?2 , y2 » ftj 73 > etc. , et
par les coëffîciens du développement du polynôme. Mais si Ton élimine
toutes ces quantités à l'aide de la congruence ra — 1 = 0 (mod. n) et de»
équations
1 + jLJLB -f R = 0,
nIVl — /i+^lVfl.4) + £(t-f-a2*)....-M(l-f-«Jî), nN2 — n2+A(l+aAT+B(l-\-(iB)2....+R(l+aRy,
etc.
qui se décomposent chacune en deux ù l'aide des équations
4 = Pi + Çif—i; B = p~ + ?ivr— 1; c = r3 + ?)V—i, etc.
on aura alors autant d'équations qu'il en fant pour éliminer toutes ces quantités, et il ne restera que les quantités TV,, TV, , etc. qui seront toutes données par des congruences de la forme
Nt e^ D (mod. n) ; TV, = y (mod. />) ; TV3 = P (mod. n) ; et ainsi de suite.
Les quantités B, y, P, etc. étant toutes connues, on déterminera par là TV,, TV2 , TV, etc. ù l'aide de ces congruences, et les coefficiens des équations auxiliaires s'en déduiront sans difficulté.
Quoique ce Mémoire ne soit destiné qu'à la recherche de la valeur de quelques intégrales définies aux différences, qui dépendent d'équations déterminées ou indéterminées, et que nous ayons l'intention de reprendre ce sujet pins généralement dans une autre occasion, cependant nous ne terminerons pas ce Mémoire sans indiquer quelques formules assez générales propres à déterminer les valeurs des intégrales définies aux différences, et nous réserverons les détails et les développemens pour un travail spécial.
On sait que tant que x < -^ , on a
\x = sinx — ^ sm 2* + y sin 3a: — | sin 4 x -f- etc. et par suite
et cette équation sera vraie en donnant à u toutes les valeurs 1 , 2 , .'», , . . .. . n — 1.
D'où l'on déduira
