r— = 2 sin s I 2 sm — k~ 2 sin — 4 2 8H
u=oin „=o 2" «=fl -" «,=o 2" 4„=o 2n
+ — 2 sin^-r — + etc.
Maintenant il faut remarquer d'abord que lorsque p = '2sn, on
„-, . 2snn . ...
aura toujours 2 sin— = — - = 0; puis ou aura toujours
(/pu t pn\ . px\ — cns I -fr | -^/•"T1 cos T- . = A.
Et comme le dénominateur de A ne devient zéro que lorsque p=.2su; et que dans ce cas A = 0, on fera abstraction de ce cas.
A présent /) = 4m, donne -4 = 0; /) = 4m-|-2, donne A=. — cotj^; h<ss4iw + l donne ^ = 5- cot^ — — ; p =4m— 1, donne
^ s= — - cot Ç^ + s— : d'où enfin on tire
TTiTT' = "P5 (47+2) ^-4—^+3 2(47+T) cot-rP-
p=OC j p=OC J ^ p=00 j
+ *, WR> + pJ 2(47+3) COt <*> +3)47; - £ 2Î47+3]
- /T 1 cot(4p+2)^ I -T * cot(2p + t),
+ ^-T + |-4-) = fi-
La théorème de Parseval peut se réduire aux intégrales défiuies aux différences chaquefois que les deux séries sur lesquelles on opère sont composées d'un nombre fiui de termes. En effet soient données les deux séries
c°+ OiX + a^x2 .... + a„a" = <P(x),
On sait que A œ S I cos ~ • + /" — 1 sin — = — ) = 0 , tant que
1 r=ov P P '
c<CPî et que lorsque c = 0 on a A =■ p ; si Ion substitue donc cos:i^^- + /" — lsin:^-1- pour x dans les produits Ç(x) /•[ — J, on aura des termes de la forme ai)b{)-\-albi — + etc. puis des termes de la forme
afcos-^ + y^ — 1 sin^^-^J, et enfin des termes de la forme:
^(tOS^+^-lsin2^)-';
et si l'on fait p = n + m + 1 il est clair que / sera toujours moindre que m + n + 1 ; et parsuite en prenant l'intégrale finie dans les deux membres depuis y = 0, jusqu'il y — n -f- m + i, on aura
nlibu -f- o, bi -f- a, bB -j- etc.
X ^(cos -t^-xï - /•-! «in - £^-) .
On pourrait donner ù ce théorème la même forme qu'au théorème de Varceral en écrivant
o»b„ -\-albi-\- a2 b, -f- etc.
j y=ii + m+l . 2yn Qvst \
X F(cos -^J- /"! 8in -P^LJ\
~/ 2r« r 1 • 2rn \ TJ 2v,t . , . 2v-t \»
Il résulte de là ce théorème (qui est vrai même lorsque les fonctions <p{x) et Fi — J sont composées d'un nomhre iufiui de termes) „que ,,1'on a toujours, quelle que soit la valeur de n,
„ ° £" 9 (cos ^ + ^— 1 sin Hl£) . F (cos ^ — y^— 1 sin ^) = 2 «?>^cos-^ \f— lsm-^-j.F^cos^ f- /^ — l sm -^ — î .'
Il est clair que dans l'analyse précédente on pourrait arriver à la limite par rapport à n et m et qu'en passant des différences aux différentielles on ohtiendra le théorème deParseval. En effet faisant , n . .
= E; n-\-m + l = —, ys = us y = — les limites y — 0, y = n+m-\-l
deviennent — = 0, — — n-\-m-\-l = — , et passant des différences aux différentielles on aura e = du, et partant
o„i,,-j-ffl6i + o.6,-|-etc. = — / [tp'cosw-f-/" — lsinu).F(cosu — /" — isiuu) -f- <P ^cos u — yf — l sin u) . F (cos u -f- \f — 1 sin u)] d u. On pourrait de même par ces formules trouver des expressions analogues au théorème de Fourier, exprimées seulement en intégrales aux différences. En effet étant données les deux séries
Ce
q>(x+y) m <p(*)+r^+ £^ +etc.
tx+l
H- = l+- + ^+etc.
que l'on suppose toutes deux composées d'un nombre n fini de termes, on aura par la formule que nous avons trouvée précédemment
f y=2^+1l r+.(cos2-^ï-^lPin:^ï)^+,
et par suite (en faisant x = 0)
2" + * yZo
-gyC'+O,./ ,\
1 t"+le 2"+'
— ?yn/— I
I îy.V-U
Si dans cette expression on fait /z = °c et que l'on passe des différences aux différentielles, on trouvera la formule
^' 2n J0 i te,Y-i
que nous avions déjà donnée dans le Tome XXVIII. des Mémoires de l'Académie de Turin.
Enfin il est clair qu'on aura aussi l'équation
a y=2«-M z—OO
$(0 = ô s Kl— r
qui se prêtera facilement aux applications.
MÉMOIRE
SUR L INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENCES DE TOUS LES ORDRES.
Lu îi l'Académie RovaJe des sciences de Parie le 28. Octobre 1833.
Introduction,
Il existe eu analyse plusieurs questions qu'on sait résoudre seulement dans les cas particuliers, mais dont on ne connaît pas la résolution générale. Je me propose de prouver, dans une autre occasion, que l'on possède tous les élémens nécessaires pour écrire eu analyse les opérations particulières qu'on sait effectuer, et pour en déduire dans tous les cas la formule générale cherchée. Mais dans le mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui ù l'Académie, je m'occupe seulement d'une question spéciale du genre de celles que je viens d'indiquer: c'est-à-dire de l'intégration des équations linéaires aux différences de tous les ordres.
On sait «pie dans toute équation aux différences, si" Ion donne une valeur déterminée à la variable, on pourra toujours trouvjerH^expression de l'inconnue à l'aide d'éliminations successives. Intégrer l'équation proposée n'est autre chose que trouver le résultat d'un nombre indéfini d'éliminations. Non seulement ce problème n'a pas été résolu daus toute sa généralité, mais même dans les équations qu'on appelle linéaires, on ne sait résoudre complètement que celle du premier ordre, dont l'intégrale a été donnée par Lagrange. L'intégration des équations linéaires aux différences est une question d'autant plus importante, qu'elle se présente lorsqu'on cherche l'expression en série de l'intégrale des équations différentielles linéaires, équations qui se rencontrent sans cesse dans les applications de l'analyse au calcul des phénomènes naturels.
En 1827 j'ai publié un mémoire sur quelques formules générales d'analyse, dans lequel je suis parvenu à exprimer le terme géuéral du développement du polynôme, sans passer par les termes précédens, comme on l'avait fait jusqu'alors. Pour arriver à cette formule j'ai dû intégrer une équation linéaire aux différences d'ordre indéfini. Maintenant pour trouver l'intégrale d'une équation linéaire aux différences d'un ordre déterminé
Ce 2
quelconque, j'ai taché de la réduire à une autre équation d'ordre indéfini du genre de celles que j'avais intégrées dans le mémoire cité. A cet effet j'ai supposé que l'équation proposée était d'ordre indéfini, et puis j'ai mulplié chacun de ses termes par une fonction discontinue telle qu'elle devint zéro pour tous les termes ajoutés à l'équation proposée, et qu'elle fut égale à l'unité pour tous les termes compris dans cette équation. De cette manière ayant ramené l'équation proposée à une autre équation que j'avais déjà intégrée, je n'ai eu qu'à eiFectuer les substitutions pour avoir l'intégrale cherchée. Dans ce mémoire je donne l'intégrale de l'équation linéaire aux différences du second ordre à coefficiens variables. Par une analyse absolument semblable, on intégrerait toutes les équations linéaires aux différences des ordres supérieurs.
Les fonctions discontinues que j'ai choisies pour facteurs, sont d'une grande simplicité. Je les ai employées pour la première fois dans un mémoire qui a paru récemment dans le Journal de Math, de Mr. C relie. On pourrait se servir également des autres fonctions discontinues déjà connues, et on résoudrait également le problème.
Analyse.
Etant pcoposée l'équation aux différences d'ordre indéfini
• • • • + f2 0-ob"-vo-2 + ç\ K)r.v0-. ;
si l'on y substitue successivement les valeurs de y2, y3, yii etc., déduites des mêmes équations, on aura la série
+ (pXo-,(oco){cp3{3)ro+cf^3)yl + cpi(3)[cF2(2)y0+(pl(2)yl]}
y* (4)/o+ v W>\ + <p* (4) te (2) ?o + % GO/iJ j
+ 9V* (*o) j+ ^ (4) fc (3) r0 + qpa (3)r, (3) [*. (2)yQ+cpl (2)y ]}(
!<?s (5)/o+ v*(Wr, + <p> W te (2)*.+ V* C2)/,) +'v*d-»Caro>^
+ 9», (*0) te„-» K-2)7a + 9>*<H> K~2^. + etc} + <P, 0"O {7>*0-i (*0— l)7o+ V'tf-i (*0— 1)^i + etc î
dans laquelle la loi des termes est manifeste, car le terme A , se forme en changeant x0 en u dans tous les termes précédens.
A présent si l'on partage cette série en autant de séries partielles qu'il y a de facteurs, ou, ce qui revient au même, si l'on groupe successivement tous les termes composés d'un seul, ou de deux, ou de trois facteurs, et ainsi de suite (en ne considérant généralement Ç0(u)y0-\- <Pi(")yi que comme un seul facteur) on aura l'équation
+ ^o-î(^û)(yi(2)ro+y1(2)j1)+Vj(.0 3(x0)(y3(3)ro+y2(3)Jl)
+ V -vu-* (*„> (<P* (4)*> + V3 (4)rJ • • • • »••+»■ C*„1 (r.v()-2 fo— 2) Tm+9*J* (*o— 2) y,)
+V3WK(3)(?,(2)r0+?,(%1))
+ ^o-*K){r2(4)(rî(2)j0+yl(2)r1)+9)l(4)(9,3(3)ro+y2(3)ri)}...
j 9»»^(*<r-2)(9».Ca)r.+»,(2)r1) |
","t"yîla'0Jj+^0-5(x0-2)(y3(3)jo + y2(3)ri)....+ etc.f + etc.
dans laquelle on a indiqué par Bly B2, B3} etc. les séries composées d'un seul, de deux, de trois facteurs etc.
Maintenant la série B, a pour terme général
v Xtf-xx OJ (?>*, (*») r0 + s««r-i fo ) r»)
(pourvu que l'on donne successivement à xL toutes les valeurs 2, 3, 4, . . . ... x0 — 1) et partant on aura
+ etc.
De même la série B3 a pour terme général
<f>*0-*i K) v**-*» (*.) t>*a (xJr0 + rv< Wr.)
Z' où l'on doit faire successivement N
•il — " ~-, Oj *Tj • • • • CCl ~~a m M.
d'où l'on déduira
2 2 9>x0^x1 (*0) y,,-,, (ar.) (y»a (*s) 70 + <p*2-i (*,)r ,)•
Il est évident qu'en continuant de la même manière on obtiendra en général
x,=x<j Xî=ï! xu^=xul
B — 2 S . . . . 2 ffxû-xl{xQ)(pX}-Xt{xl)<fx^Xi (x,)
.... (p*^»0*„»)yo+9>*„-i--»(*2)y ).
Et si l'on fait pour abréger,
„ v -, —v x — *• 2 log 2
ou aura aussi
2 log 2
Bu — es ' 9x0^M9xl^{*l)»>>(Vxu*(*v~i)y0+9xu-1-*(x*-i)yi)
2 log 2
Et enfin
yXo = Bl + Et + Bi....+BXa l
iV*B(*oî/»+V*«r-.l(*o)j|'i
2 log 2 |+B2XV=1 ^="-'+1 (r^., (x,..,) j0+ jpx^-, (x. JyJlvx^-x^i*»-*)]"-*.
L'analyse précédente n'est qu'une répétition de celle qui nous avait déjà servi à trouver le développement du polynôme (Mémoires de math, et de phys. Tom. I. pag. 3 — 6 ). Nous allons voir maintenant comment elle peut s'appliquer ù l'intégration de l'équation linéaire aux différences du second ordre.
Soit proposée l'équation linéaire du second ordre y 2 — e* Yz-i + b, y-2+ Cz dans laquelle azt b., c-, sont des fonctions de z. Ou sait qu'on peut toujours la réduire à une autre équation linéaire aussi et du second orre, qui ne contiendra de terme en z seulement. Supposons q ne cettnouvelle équation soit de la forme
Yz9 = /i 00 y*0-. +/z 00 y --o+î ;
si l'on fait en général f , ,
l+O*"" (u étant un nombre entier positif).
on aura toujours
<pu (•*"<>) = 0, (lorsque u> 2) et
<P„ (■*"<>) = 1> (lorsque « < 3) Ou aura donc identiquement
= va-o (*0)r0 + »>*o-» (XJ r, + 9>*0-* (xq) yù •• • •+ 9»« (*0 JV* + v» K)^-» s
et comme cette équation, d'après ce que nous avons déjù vu, a pour intégrale
2 log 2
+ 2 es= x< " i+,(?i.ru.ir.ru l)ro+^u.l—(^-.)rl)[fir^.2-xli.l(-r«-2)]"~4,
on aura enfin, en substituant en général la valeur de
2 log 2
. U-X0 J=l 5C.= II— I
«1=2 Vl-j-O5-""1 1 + 0T J«->~7 L[-(-(
et cette formule donnera l'intégrale de l'équation linéaire du second ordre
y.v0 = /. W r.v0-i +/« Wn-o-: y
en observant que la série des fonctions
M**), /.OO, .... /rOO, et»
est tout à fait arbitraire, pourvu que/, et fx correspondent aux valeurs qui se déduisent de l'équation proposée et que parmi les autres fonctions fi(xo)j f*(.xo)y e*c* i' n)' en a,t aucune qui devienne infinie.
Pour transformer l'équation du second ordre, en une équation
d'ordre indéfini , nous avons multiplié par le facteur ; — , mais on
1 + 0' " pourra se servir de toute autre fonction discontinue -p(u) telle (pion ait 4>(u)=.Q, lorsque K>2, et -^ (a) = 1 , lorsque u<2 (« étant un nombre entier positif quelconque).
Il est clair que par la même méthode on parviendrait à intégrer toutes les équations linéaires aux différences des degrés supérieurs. Seulement si l'on voulait, par exemple, intégrer l'équation du troisième ordre
y>0 = /. (*«) Xx0-»+/« (•*•<>) y.v„-, +/3 («•«) y.r„-3 ,
après lavoir transformée comme ci -dessus dans l'équation d'ordre indéfini y Xo = <p,o (x0) y0 + <p,0, (*J 7. + 0.VO-2 (* ) y* + <P-v0-3 (*.) Xî • • • ■ + <P. Oo) r.v„-, il ne faudra commencer la substitution que par y3; en laissant y0, y,, y2, qui seront les trois constantes arbitraires de l'intégrale.
Errata, Corrections.
Page 12, ligne 19 apréciable appréciables
— 13,-17 la là
— 13, — 31 Nous savons Nous avons
— 17, — 19 +cdv + ctdv
— 19, — 15 £,€05^^/(^+2^) £lCosxj/(- + 2i.2)
— 21, — 14 cosx(— +2n») cosxj/(A.f 2n')
— 29, — 28 géoètres géomètres
3i r. f dt ■ r*d<t ■
— 31, — 5 / — ^sinox, / — isuiox
— 31, — 21 pourtant partout
,, 9, <p(a + b)yt(a+b) g, (a + 6) 4- y, (a + b)
— 32, — 3 pourtant partout
— 43, — 18 et 19 (dans ces deux lignes il faut changer par-
tout tpt en 95)
— 58, — 5 théorème exclusif et assez curieux . . théorème assez curieux - 113 21 /(""f-6?3) — 2m»y /fm4-6^)'-2m»)y
— 114, — 29 (58.) soit moindre que f£ (58.) (avec les signes changés) soit moin-
dres que ii.
= .Wl-/""),>-«tt.) = „,-(,«ïi»± +*,..)
\ na y / \ na y I
— 145, — 31 J. Arntjo F. Arago
— 148, — 6 soit est
— 148, — 23 faire z = tp(z) faire z = x, et par conséquent z = <p(z),
— 149, — 2 dz = rt z = rt
— 157, — 10 et 11 proposée, et en cherchant . . . proposée; en cherchant
— 157, — 24 était est
— 157, — 31 /(rj; et comme en général/ est . . H(rt) ; et comme n exprime généralement
— 157, — 34 n'ait n'a
158, 1 réduire rendre
— 161, — 15 <p(yfzdx) ç(y,fzdx)
— 169, — 28 éliminant y» éliminant v
— 186, — (dernière) Parceval Parsevai
Errata. Corrections.
Pagel96, ligne 27 = —2 — = 1 — 2 —
— 196, — (dernière) uN2 n#2
4m(4m— l)....(2ra+l) 4m(4m — 1)... ,(2m + l)
— 198, — 3 = an » • = "u
198, — 3 =6 — bu
— 198, - 4 = hn ~ *"
__ 198, 21 F(MI>MI,Ma+r) F(Mt,M2....Ma,r),
i9i)t 28 puis on aura toujours et que l'on aura aussi
200, — 1 p = 2iu p z= 2sn
201, - 5 Pnrceval Pnrsevnl
2oe, - i8 y2 = *zyz-i+hyz-2+cz • • y-~ = azy*-i+bzyz-i+cz
__ 206, — 20 orre ordre
- 206] — 21 contiendra contiendra pas
206, — 21 certnou cette nou
206, - 23 y.-0=/,(=c0)yx0-i+/2(*oJyîo+îi ^o=/i(I.)rx()-I+AWy,0-!
- 207, — 6 +A(*0)yjro l +/2K) rx0-4
- 207, - 15 +é-Xu*+Xul +0l-*"-8-*"-«
- 207, - 24 +oi~1' +0ï-B
- -im^w^m
