Nous distinguons deux cas
I®. Celui où les éléments approchés ayant été calculés d'après les formules que nous venons de présenter, on se proposera d'obtenir une solution plus exacte en rapportant tous les calculs à l'époque adoptée dans la première approximation ;
2®. Le cas où les éléments approchés auront été calculés en suivant une méthode non fondée sur l'emploi des dérivées de. la longitude et de la latitude; ou bien celui dans lequel les éléments ayant été calculés par notre méthode, on voudra les corriger en employant de nouvelles observations qui exigent , pour Fusage bien entendu des séries , le changement de l'époque à laquelle se rapportent les calculs.
Notre but n'est pas précisément d'obtenir les corrections des éléments de
1, , . . , ." , doL d^OL d^a. dB
I orbite, mais bien les corrections des quantités a, -7-? -r—? -7-- ; ô et -r-
^ ^ dt dt^ de ' dt
qui servent à calculer les éléments. Le moyen d'obtenir ces corrections est le même dans les deux cas : on devra calculer d'abord une éphéméride des positions de la planète , en se servant des éléments approchés. Il est trèsavantageux d'employer, à cet effet, les coordonnées rectangulaires du Soleil, que l'on trouve dans les Éphémérides de Berlin ou dans le ISautical Almanach; en ayant le soin, pour ce dernier recueil, d'ajouter aux coordonnées j, et z, du Soleil les corrections
/ , ( 5r, = — 0,000 ooiq3. A,
(xxxii) \ '^ * :^ o»
afin de tenir compte de la latitude ^ à\\ Soleil à laquelle on n'a pas eu égard. On obtient immédiatement les ascensions droites et déclinaisons vraies , en partant de l'anomalie excentrique. Il ne reste qu'à ajouter l'aberration , pour avoir les positions géocentriques apparentes.
On peut également se servir des formules ordinaires, que nous reproduis sons ci-dessous n** 32, pour calculer les valeurs de a^t 0; il faut alors cor- Hgcr, de l'aberration seulement, le rayon vecteur et la longitude de la Terrç
tirés des Tables, et ajouter à la latitude obtenue 9, le terme
(xxxiii) ^0 = - cosô . 4 ,
 désignant la distance de la planète à la Terre. On aura ainsi les longitudes et latitudes vraies auxquelles il faudra ajouter Taberration (voir la note du n° 58] , pour avoir les longitudes et latitudes géocentriques apparentes.
Dans le cas des petites planètes, les positions géocentriques peuvent être calculées avec sécurité de cinq en cinq jours jusqu^aux dixièmes de seconde, puis interpolées au moyen de formules générales que le manque de temps m'a empêché de publier jusqu'ici, et dont j'extrais, pour le cas actuel, les suivantes :
5§Uo =Au — 0,4A'«-ho,24A^tt — o,i68A*a-f-o,i278A^a — .. 25 S^Uo = A»i* — o,8 A^M -ho,64 A* tt — 0,528 A*a
, . . 1255'Mo = A=*w — i,2A'tt+ i«20A*a — ....
(xxxiv) \ :
625 ^«0 = ^*u — i,6a^zc4-..., 3i 25 ^*Mb = A*« — .. .,
Dans ces formules, Au, A' m, A^m, . . ., désignent les différences finies de la fonction «, de cinq en cinq jours par exemple, et ^ Uo 7 ^^ «*o > ^^«0 ? • • • > les différences finies de la même fonction, pour l'intervalle d'un jour et le premier rang de la série. I^es coefficients numériques sont d'ailleurs rigoureusement exacts.
Ayant tiré de l'éphéméride ainsi interpolée ^ les positions apparentes pour les époques des observations , et ajouté les parallaxes , la comparaison se fait immédiatement.
Considérant les excès des ascensions droites et déclinaisons observées sur les positions calculées, on groupera tous les résultats compris dans des intervalles de temps pendant lesquels on pourra admettre que les excès varient proportionnellement aux temps. Il n'est pas nécessaire que cette hypothèse se réalise absolument ; il suffit que l'erreur qui en résulte soit notablement au-dessous des erreurs des observations. Si, dans chaque groupe, on prend l'excès moyen, et qu'on le fasse correspondre à la moyenne des temps, le résultat sera d'autant plus près d'être exempt des erreurs des observations, que celles-ci seront plus nombreuses; les écarts pourront donc être attribués principalement aux erreurs des éléments. Ces excès , ajoutés aux coordonnées géocentriques tirées de l'éphéméride , donneront des positions dites positions normales. De cette manière , on condense quatre-vingts à cent observations en dix ou douze positions ée cette espèce , dont chacune prend un poids dépendant du nombre et de la précision des observations qui concourent à les former.
Il est bon, pour les comparaisons ultérieures, de transformer immédiatement en longitudes et latitudes, les ascensions droites et déclinaisons provenant des positions normales.
Il reste actuellement à convertir en excès de longitude et de latitude, les excès des observations en ascension droite et déclinaison trouvés ci-dessus ; à cet effet , on se servira des formules
cosa cosA coso>> — sinOsinD
cos op = sm w — =- = sin u ) sin 9 =: =- >
^ cosD cosO cosOcosD
(xxxv) < ^ cosç ^^ sin© ^^
^ ' ^ S<x=z — 7-5DH ^cosD^JR,
cos 9 cos 9
^0 = sin <f Sjy — cos <f cosD 9 Si ;
où A et D désignent les ascensions droites et déclinaisons 9 ^A et ^D les excès des observations sur le calcul , &> l'obliquité de Féclîptique , et «p un angle auxiliaire auquel on donne quelquefois la dénomination d* angle de position. L'angle 7 étant déterminé par son sinus et son cosinus , il ne peut y avoir d'ambiguïté. Ce sont ces quantités Sol et $Q que nous avons désignées par x dans le n** IIS.
Ayant pris pour origine du temps une époque peu différente de l'époque moyenne des observations, ou mieux cette dernière , il s'agira de représenter les quantités x P^r des séries , ce qui se fera en suivant exactement les indications données dans le n^ 26 , pour le développement de a ou G ; /»' étant le poids des moyennes, on posera
Parvenu aux valeurs de û , ^ , c , c?, . . . , que l'on convertira , à l'exception de a, en nombres abstraits, en multipliant par sin i'^ on aura à l'origine du temps,
^a ou $Q=:a
,doL .ûfô ,
S -— ou S-—- = b, dt dt '
(xxxvi) l ^d'oL ^d^Q
S—-- ou tf--- = 2<:, dt^ dt"" '
d^oi
dt^
32. Dans le premier cas> examiné au commencement du numéro précédent, il suffira d'ajouter ces corrections respectivement aux valeurs primi-
doL d^oL d^ot ^ dB d'Q ,, , . , , d'B
tives de «, -, —, — ^ 0, - et—; (la valeur corrigée de — ne
tloit servir qu'à vérifier la concordance des données).
Dans le !>econd cas , il faudra préalablement calculer les valeurs primitives de a et 0. Les formules suivantes , très-connues d'ailleurs, sont appropriées à ce but ^ et serviraient au calcul d'une éphéméride, comme nous l'avons dit plus haut; observons toutefois que la longitude de la Terre et le logarithme de son rayon vecteur, tirés des Tables, doivent être corrigés ici non-seulement de l'effet de l'aberration, mais , en outre , des quantités — ^ J et — ^ logR, données par les équations (vni). (Dans le calcul d'une éphéméride, on n'aurait point à opérer la réduction au centre de gravité de la Terre et de la Lune.) Voici ces formules :
f XXXVII ) N"r + e — m — lu ; — r. sinu] = o.
^ ' \ smi /
(Ici t désigne le nombre de jours compté depuis l'époque de l'anomalie moyenne.) Il s'agit de tirer a de cette équation. Soit -^ la valeur de son premier membre , pour une valeur approchée de a ; la correction approchée de cette quantité seia
■h ( XXXVII bis) Su =
I — E cos u (xxxviii j tang - V = tang I 45° H — >î 1 lang - u, r = A cosu -r-rr •
Si u et V se trouvent trop voisins de o de§ré ou i8o degrés, on remplacera la seconde par Tune de celles-ci :
(xxxix) ^=A(i~Ecosi.)=-— ^— ^.
(XL) i ^-Q=--ft + v,
1 tang ((^, — S) = tang(t^— Q) cosi;
on doit choisir (f^, — Q) de sorte que son cosinus et celui de (p — Q ) aient le même signe .
(xLi) tang> = sin(i/, — Q) tangl,
>*doit être pris entre -1-90° et — go°;
(XLIl) -. = .cOS>.
Pour compter les longitudes à partir de l'équinoxe vrai; si /' désigne le nombre de jours écoulés à partir de ^époque à laquelle se rapporte la longitude moyenne Çl du nœud ascendant , on aura
p, = (p, — Q) 4- Q -f o",i375. . . i' 4- nutation en longitude, (xuii) ! tang(«-.,)= ^MÈ-"^)^ ,
,'Dans le cas du calcul d'une éphéméride, on ne devrait corriger J et logR que de TefTet de Faberradon.) Il faut prendre a — f, de sorte que son sinus soit de signe contraire à sin ( $ — t'i). On en déduit a.
