rfV
La substitution de ces valeurs dans la troisième équation (3o), donne une expression de la constante G" ordonnée suivant les puissances du temps. Cette expression devant rester la même quel que soit t^ il en résulte que G" est égal à la partie indépendante de /, et que les coeHicients des différentes puissances de cette variable doivent être nuls séparément. On a donc
'— ab' —
2[ac' —
H- ibc'-
iiae' -
+ 2{bd'-
{cd'—
■ b'f) + 2 [ce' -
■Ce),
Dans ces équations, la loi des coefficients numériques est très- simple; ils croissent d'une unité dans le sens vertical , et décroissent de deux unités dans le sens horizontal.
Les équations (4o) sont des équations de condition entre les coefficients des développements de x et de j, et, par suite, entre les dérivées de ces quantités qu'ils représentent^ non-seulement à l'époque t=:o, mais encore a toute autre époque, puisque l'origine du temps est quelconque. .
Les seuls coefQcients de même ordre qui soient indépendants dans les deux scries, sont a, a', b et b'; les autres sont liés entre eux par les équations (4o).
iO
Si , |>ar exemple, les observations ont fait connaître les valeurs de a, b, Cy d^ âj/,. . .j puis» de a' ei b\ ces équations serviront, au besoin, pour calculer successivement tf^d'^e^^fy^y,,,.
Dans le cas où les coefHcients a^ b, Cy d^ . . . seront exprimés en fonctions d'une on plusieurs indéterminées, et ceux de l'autre série, en fonctions d*une ou plusieurs autres indéterminées, il faudra substituer les valeurs indéterminées de a, 6, c, . . ., a', 6', c', . . . dans les équations (4o). Leur résolution fera connaître les valeurs des indéterminées, si leur nombre est égal à celui des équations. Si le nombre des indéterminées est plus grand , Je problème restera indéterminé; s'il est plus petit, on aura une ou plusieurs équations de condition entre les données.
Résumé des formules à employer dans la déterminalion des éléments des orbites relatives des étoiles doubles , lorsque le plan de l'orbite coïncide y ou à peu près, avec le rayon visuel.
9. Les formules qui suivent sont de simples transformations de celles
précédemment obtenues ; ces transformations résultent de l'emploi des équa-
dz tions (4) j et de la substitution , pour plus de symétrie, de a'^ et b" kzet --=■'
Supposons que l'on ait pris pour axe des x une droite à peu près parallèle à la direction de l'allongement de l'orbite apparente : ao étant l'angle de position de l'axe des :r, et 90° + ao celui de l'axe des j; on fera d'abord, pour chaque observation,
1^ X =pcos(a — ao),
( J = psin(a — ao).
On se servira de ces valeurs pour calculer, au moyen d'une méthode convenable d'interpolation , les coefficients des deux séries
Îx = a-\- bt -hct^ -i-dt^-het^ -{-/e^-h. . .,
en choisissant pour origine du temps f, une époque à laquelle x ne soit pas nul, attendu que les formules suivantes se rapportent essentiellement à l'origine du temps.
Ces coefficients exprimés, s'il y a lieu, en fonctions d'indéterminées, devront satisfaire aux équations (4o), et en outre à la condition
On calculera ensuite
K=y'4(e-ll-î)-.|„
(v) condirion K»>o,
II est aisé de reconnaître immédiatement si l'orbite est elliptique ; la condition, pour qu'il en soit ainsi, est
Si l'une ou Tautre des conditions (m) et (v) n'est pas remplie, il sera mutile de poursuivre les calculs. De même, si l'orbite doit être elliptique, et que l'inégalité (vu) n'ait pas lieu, on devra s'arrêter. Dans le cas contraire, on aura
(vin) {
La valeur de a\ qui pourra recevoir arbitrairement le signe -h ou le signe — , se tirera de l'équation
on aura, si on le préfère, par la trigonométrie,
A' tang,p=~
( prendre <j> de sorte que sin (p ait le même signe que X');
Il viendra ensuite
(î^y=-t'tangi,.
La valeur de — ^ pourra se trouver mal déterminée; il faudra alors calcuUr cette quantité par la formule
^ ' a V • \ ^ / V <^os ç 2 ^
en prenant pour signe , celui qui résulte des signes de P/j^ et de a". D\iilleurs, en calculant r par Téquation
(xii) r2=/7»-hfl"4-«"%
on pourrait tirer 6'' de Tune des suivantes qui seront utiles pour les vérifications
^^'"^ I ab-hab'-^a'b'—llrK
Ici commence, à proprement parler, le calcul des éléments :
(xiv)
(XV) l G' =i:«"6 — fl^»",
G"=ra^' — rt'^'; (xvi) vérification Ga -+- G' a' + G"rt"==: o,
('^vii) tang(Q — «„) = —-,;
sin(Q — ^») *^<^it avoir le signe de G.
(xviii) tang
G" ~" sin(Q ~ao)G" cos(i2 - a,)G"'
I doit être pris entre o degré et i8o degrés.
[np=G'4-G'^+G"»=r-;— .^-^-. . ,1' / > ) Lsm(J^ — ao)smIJ
(XIX) < voo / j
d ou II, et ensuite -•
Esi.iV=îî«, r K
E cos V = I ;
on en tire V sans ambiguïté, puis E.
La valeur de E pourra d'ailleurs être tirée des équations suivantes , qui conviendront particulièrement au cas des orbites réelles très-exceniriques,
(xxi) ^ ^ Â
E = sinnj.
l COS'ïî = " ~»
Dans les orbites peu excentriques, £ sera mieux déterminé par les équations (xx), bien qu'alors V ne puisse l'être aussi exactement ; et Ton obtiendra
une vérification, en calculant -— par la formule
(XXI H Â=-ir-
r Le moyen mouvement N exprimé en nombres abstraits est
d'où, durée de la révolution,
(XXIll) T=
L'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne, ou l'époque t du passage au périhélie, se calculent par les formules connues
tanc- V tang - u
('""^) "" tang (45»+ ^^
l Nr-f-e — CI ou N(r — t) = « — Esin/< [*]; on a, pour vérification,
(xxv) -sin/^ — cos>îsinV = o.
[*] L^usage de celte formule exige qu^on ne perde pas de vue Tcpoquc à laquelle se rapporte u ; c''esi celle qu^on a choisie pour ori{}ine du temps.
L'angie de position oc se calcule par la formule
(xxvi) Ungfa — a,)= —,
en prenant (a — a«) de manière que son sinus ait le signe de a' ; on a ensuile, pour déterminer Tangle > du rayon vecteur et de sa projection,
( XXVII ) tang > = -
et X doit être pris entre -f- 90 degrés et — 90 degrés.
I étant supposé peu différent de 90 degrés , la distance au nœud se tire de la formule
(xxyin) Ung(..-Sj)= '""^^ . ,
^ cos(a — y)sml
en prenant {y — Q) de manière que son cosinus ait le signe de cos(a — Q ; on peut ensuite, pour vérification, appliquer les formules
(^^,^) j cos(p- Q) = cos{a- Q)cosX,
Y sin X =r sin (v — Q) sin I.
La distance du périhélie au nœud est
Enfin , le rapport de la somme des masses /i?'4- m'^ des deux étoila, à la somme M + /t des masses du Soleil et de la Terre, est, comme dans le précédent Mémoire ,
T désignant la durée de Tannée sidérale, et xs' la parallaxe de Tétoile.
Lorsqu'on procédera à la comparaison des éléments avec les observations, on pourra calculer la distance angulaire du rayon vecteur projeté au nceuU' par la formule ordinaire
tang(a— Q) = tang(i'— Q)cosI;
mais, rinclinaison étant supposée très-forte , il faudra calculer Tangie l ^^ Tune ou l'autre des formules
cos(a— Q) sm(a— gî)
la première devant servir lorsque (p — Q) différera beaucoup de 90 àeff^^^ ou 270 degrés, et la seconde lorsque {v — Q) se rapprochera de ces valeiii^'
addition relative au cas ou l'on aurait x:=zo ou très-petit^ à
t instant auquel se rapportent les calculs.
10. Nous avons vu, au n<* 5, que si Ton a 4?= o, la première équation (i) se réduit à une équation de condition entre les données. Il en rébulte la nécessité de se procurer une nouvelle équation par la différentiation. A cet effet , et pour plus de simplicité , multl|)lions d^abord l'équation (6}
par—» elle donnera
rtlr
dm ■
-, , r^ d*x d^x ,,dx rdr ^x (rdr\^ dt
' p dt^ dr dt dt r^\dt I dt
En difTérentiant, il vient
rdr r* d^x ^r^d*xrdr ^d^x d^xrdr ,^dx ' dt
Il dt^ ^ fi dr dt di^ dt^ dt dt dt
rdr (42) ( . i5dx/rdry ___ d^ rdr dx ~dt
r^dt \dt) dt^ dt dtlir
X (rdry X rdr ' dt . elt
— 30 — — r- I -f-30— -r ; — ÔX O
' ^ dt r^ dt dt dt^ "~ "•
Cette équation contient une nouvelle dérivée dont il s'agît de former l'expression. Nous avons trouvé
'"di dx^ 4r' dz"^ n (^^) "dT'^dP'^dP'^dr'^^'
il vient 9 par la différentiation ,
rdr d^ —
dt /dxd^x dyd'^y dz d^z\ ^ rdr
"3?" ^^Xdi'dF'^dt'dF'^Jt dr) "^T^ dt^ mais on a, par les équations (i),
dz d^z ^ f dx dy dz\ ^ rdr
Jtlû^ '^'^ T^\ It '^ ^ li'^ ^dt) ''' '^ 7^'di'
dxd^x dyd^Y . . ... . .
il vient donc simplement
rdr
dt p rdr
dt^ r^ de
C'est d'ailleurs ce qu'on obtiendrait immédiatement en substituant d'abord à
^ -h ^ H- •j-jj dans l'équalion (43) , sa valeur fi | | (28 bis) ;
on
aurait ainsi
rdr ".—7-
et cette équation étant différentiée, donnerait l'équation (44)*
Revenons à Téquation (42); elle contient deux termes qui se réduisent à
, d^x rdr
d'uu autre côté, le dernier terme est
^ dt ik rdr
en vertu de Téquation (44) 9 ^ valeur est encore
r.d^x rdr '"10 'de'
et cette forme le rend finalement réductible avec la somme précédente. L'équation (4^) se réduit elle-même , au moyen de ces valeurs , à
d — r^d^x ^r^ d*x rdr ^d^x d^xrdr- dx 'de
,,n. I 7^"*" li^'d^'dê'^^ 'dF^'^'dF'dt~^dî"dr
rdr iS dx frdrY « ^ /rdr\^ x rdr '"de
Telle est Téquation qu'il faut joindre aux équations (5) et (6) : si Ton sup-
nir
. ' ^^ de . , , . .
pose les quantités r, — et — - — remplacées dans ces trois équations, par
leurs valeurs tirées de (7) , (8) et {9) , on aura à résoudre trois équations ne
fiz renfermant plus que les inconnues pt, 2 et — —
La résolution de ces équations serait très-compliquée; nous ne la tenterons pas. Mais, si nous remarquons que Thypothèse d'une orbite apparente très-allongée, jointe à la direction de Taxe des x suivant cet allongement,
entraîne pour conséquence la petitesse constante jde ^, et, par suite, de — ?
nous devons admettre, dans l'application actuelle de notre méthode, que ces quantités sont très-petites en même temps que x. Si Torbite n'était pas trèsallongée , on serait, à la rigueur, dispensé de recourir à la présente méthode, en appliquant celle que nous avons exposée dans le précédent Mémoire. On aura donc une première valeur approchée de chacune des trois
inconnues, en faisant-
dy li^ X
(47) .r=:o, jr=o, ;^ = o, -^ = 0;
Va dernière de ces équations résulte de la première, en vertu des équations (i ).
Les corrections des valeurs approchées pourront s'obtenir en faisant usage de la méthode des équations linéaires, ou bien en substituant les valeurs approchées des racines , dans les termes affectés de facteurs qui s'annulent par suite des hypothèses précédentes, et ajoutant ces termes aux parties connues, puis résolvant de nouveau les équations.
En vertu des équations (47) > les équations (7) , (8) et (9) donnent
rf/r , ,., rdr zdz ' ' de dx' dz^ u
et il vient , par l'équation (5) ,
dt L'équation (6) donne donc
d* X 6 d^x zdz
iVoîi
dt* ' z' dt^ dt °'
,f x ^^z I dt*
dt^ .
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