Soient, comme dans le précédent Mémoire
.r , j, ç les coordonnées rectangulaires de l'étoile satellite rapportées à des axes passant par l'étoile centrale : les axes des jc et des x étant dans le plan perpendiculaire au rayon visuel, et l'axe des z sur le prolongement de celui-ci;
r la distance des deux étoiles;
a l'angle de position du satellite, corrigé de l'effet de la précession;
P sa distance apparente à l'étoile centrale ;
a,, Tangle de position de l'axe des x.
Pour la facilité des calculs numériques, on pourra donner à cet axe une direction à peu près parallèle à la direction de rallongement de l'orbite apparente; l'angle de position de l'axe des y sera go® -+- ao.
l^es équations difTérentielles du mouvement relatif du satellite sont :
di" ^ r
Hi'usage que nous voulons faire de ces équations (*) exige que Ton ait cal" culé préalablement les coordonnées par les formules
( a7=:pC0s{a — ao}, l X = psin(a— -ao),
et qu'ensuite, au moyen d'un procédé d'interpolation, celui de M. Gauchy par exemple , appliqué aux valeurs précédentes de x et de j, on ait déterminé les coefficients des développements des valeurs générales de ces quantités, ordonnés suivant les puissances du temps. La forme de ces développements est
!xz=za -\- bt -h ct^ -^ df -{-et* -i- . . . >
Les valeurs des coordonnées x et j et de leurs dérivées des divers ordres^
{*) Les deqx premières équations (i) fournissent le moyen d^établir, entre les don-, nées, deux équations de condition qu^il est aisé do vérifier, à peu près, à l'aide d''un.. tracé.
Ayant calculé les coordonnées x et^ par les équations (2), on pourra construire deux^ courbes, dont le temps t représentera les abscisses, tandis que x et/ représenteront les^ ordonnées. Au point où ces courbes rencontreront Taxe des abscisses, on aura
mais, dans ce cas, les cquafions (1) donnent
dt* ' dt*
Il s'ensuit que les courbes dont il s'agit, devront présenter des points d'inflexion \W où elles couperont l'axe des abscisses. S'il n'en est point ainsi, on sera porté h taxerd'inexactitude une ou plusieurs observations.
à laquelle se rapportent let calculs , Tune de celles où les étoiles coïDcident en apparence.
4. La première équation (i) permet d'éliminer immédiatement — , des équations (5), (6) et (9) ; elle donne, à cet effet,
Il faut noter que reifi étant nécessairement positifs, les données doivent satisfaire à la condition
c'est-à-dire que x et --7^ doivent être de signes contraires.
Substituons la valeur (10) dans les équations (5), (6) et (9), il viendra
d^ X d^x/ieix 3 rdr\
'dF '^'dF\xdt'^7^~dt)^^'
(il bis) { r d —^
d^x d^x\ i d^x Sidxrdr i5 /rdr^ 3 ^^ I
"dF ^lïriJc'dF'^l^^xdF'th'^7^\^)'^'r'^ dt J ~~^
d — ' dt dx^ dy^ dz* r^ d^x
^"^^ ''lû^'^dr'^lïr'^df^'^'x'dF'
Pour simplifier, soient
/ dx
\ dt
Les quantités H et H' seront des nombres connus et non susceptibles de
d^x devenir indéterminés , puisque nous supposons x et --r-j essentiellement dif-
férents de zéro.
Au moyen de ces valeurs , on transforme aisément les équations (ti bis) iiiixie il suit:
rdr
3 bis) [ ^
2 fLc rdr 5 frdr\ ' de „,
X dt dt r^\dt ) dt
a première de celles-ci donne
n substituant cette valeur et Texpression (12) dans la deuxième équaion (i3 bis)^ il viendra
„. ri. €ix „ ^„ , dx^ dr^ dz^ r^ d^ x „, .
'' a: dt dt^ dt^ dt^ x dt^
[)n a d'ailleurs, par les équations (8) et (14)9
r r-v dx dy dz „ ^
^ ^ dt ^ dt dt
Nous devons éliminer des équations (i5) et (16), la quantité r% au moyen de réquation (7). Dans ce buf, posons
l'équation (16) donnera
(i8) z^=:Pa:^4-Hz\
^ ^ dt
Quant à Téquation (i5), nous poserons en outre
/ X . ^„ B.dx i d^x
Cette nouvelle auxiliaire peut encore, au moyen de la valeur (i3) de H',
^ ^„ H dx 7.~dF I dt'
^ X dt ô X ôd^x
IF
s'écrire ainsi :
L'expression ( 19) de Q* réduit d*abord Tequation ( i5 ) à
, , dx* dr* ds*
^ ' di^^ dt^^di-"^'^'
Cette rebtion rnootre que U Taleor de Q* est essentielleroent positive. Noos mettrons maintenant l*éqoation (20) sons la forme
. . . dz Il ne reste pins qu'à éliminer — entre cette dernière et l'équation (18), de
laquelle on tire
dz^ P*jr<
dt^ z»
Substituons cette valeur dans l'équation (20 bis)^ et divisons ensuite par x\ il viendra
(.:»)i,[Q'(*»+j^')-(^' + g)-^HPx'] + (Q.-H')J-P'g=o.
^. Telle est l'équation qui fera connaître sf Avant de la résoudre, nous | allons lui donner une autre forme, et démontrer d'abord que la quantité I
Q' — H' est nécessairement positive. Soient -7- la vitesse dans l'orbite réelle,
dv .
et -7- la vitesse angulaire ; l'équation (20) donne
(23) QV> = =:r^-4-5^,;
mais, de l'équation (14)7 on tire
dr^
soustrayant membre à membre, et divisant par r% il vient quantité essentiellement positive.
Soient donc
Téquation (22) donnera
ou bien
-^aXl-V— À'» = o.
Cette équation, considérée comme étant du deuxième degré, a ses racines réelles et de signes contraires ; or, le rapport ( - j étant nécessairement positif, nous n^avons à considérer que la racine positive dont la valeur est
(26 bis) \^) ^ ^^''^ ^^ "~ ^•
Si Ton veut calculer cette expression par la trigonométrie, on fera usage d^m angle auxiliaire f , en posant
tang(p = p
le radical deviendra alors
± k VMhtâmç^ = î
^ ^ COSf
et comme cette quantité doit être positive , il faudra prendre ^ de manier que cos (p et k soient de même signe, ou siuf de même signe que k* \ il viendra ainsi
(l — COSç)= -; (l — COSy),
cosf %\ntf
d'où
(îy=^'tangi,.
La valeur de z en fonction de x se déduira de cette équation ou de (26 bii) , Additions i852. 3
et prendra le signe +. Cela doit être, puisqu'il n'est pas possible de distinguer si le satellite est en deçà on au delà de l*étoile centrale.
fiz Px' La valeur de — est donnée par l'cqualion (ai); mais le ternie qu'elle
renferme, peut donner lieu à une indétermination, attendu que Px' et z sont tels, que Tnne de ces quantités ne peut devenir très- petite, sans que Tautre le devienne en même temps. En effet, substituons la valeur de A'' dans réquation (26), et multiplions par R'x*, il viendra
K'z* -+■ 2AK}x'z' — P'.r^ = o.
Cette expression montre que P:r' et z s'annulent ensemble; elle donne, d'ailleurs.
(.7) ^=±K.y/.*+(iy = ±Kxy/licosi,.
Si donc le rapport — ► se montre mal déterminé, on devra employer Tune
ou l'autre des expressions (27), en leur donnant le signe qui résulte de celui de P x', et du signe que l'on aura admis pour z.
D'ailleurs , ayant calculé r par Téquation (7)9 on pourra vérifier les calculs au moyen de Féquation (20) qui donne
(-8) = Qv^ + 2 j.
rdr On calculera ensuite —, soit par l'équation (8), soit par l'équation (i4)>
puis la valeur de fA, par réquation (10).
0. Connaissant les trois coordonnées et leurs dérivées du premier ordre , ainsi que la constante \t , le calcul des éléments n'offre plus de difficultés. Je me dispenserais de prolonger l'exposé des formules , si Temploi de certaines fonctions déjà employées ne simplifiait les calculs qui restent à effectuer. Ces fonctions présentent, en outre, des moyens de vérifications numériques.
La valeur connue de l'inverse du demi-grand axe est
^ . V 121/ {28 to -= (
dx^ dy^ dz^
di' dt' dr '
elle devient, en vertu des écjualions (lo) et (20),
rff»
-r- étant positif dans l'ellipse, nul dans la parabole et négatif dans l'hyper-
bole, le signe du second membre de l'équation (219) indique à laquelle de ces courbes appartient Torbitie, sans qu'il soit nécessaire de poursuivre les calculs au delà de la valeur de Q^
Nous avons maintenant , pour expressions des constantes des aires, les formules
„ dz dy
dt -^ di ^
puis , les suivaiites , pour calculer la longitude du nœud Q et l'inclinaison I,
(3i) taDg(Q-a.) = — -,
(62j tangl- ^„ -rin(Q«.)G^— cos(Q-«.)G^'
La première de ces formules exige que sin(Q '— a«) ait le signe de G ; la seconde suppose I compris entre o degré et 180 degrés. L'expression du demi-paramètre est .
n=-(fi'-hG"-hG"') = i[ . ,.- ^ , . , T
,33. I ** (iLs»n(ft— «.JMDlJ
L'équation connue des aires dans l'orbite, va nous fournir une autre expression de n, qui pourra servir à la vérification des calculs numériques; cette équation est
or, on a , par les équations (24) et (25) ,
dp--'
il s'ensuit
(34) KV« = pll,
ou
puis
dt'
On a aussi, entre l'excentricité E, l'anomalie vraie V et la dérivée -r-»^^ relation
EsinV = \/- -, qui donne, à cause de Téquation (i4),
EsinV=y/5H.= yf|H.
En substituant ici la valeur de — tirée de Téquation (35), il vient
(36) EsinV=?5;
on a d'ailleurs, par l'équation polaire de l'orbite,
(37) EcosV= 1.
Ces deux dernières équations donnent, par division , la tangente de l'angle V qui se trouve déterminé sans ambiguïté ; E se déduit ensuite de l'une ou de l'autre, et sa valeur doit satisfaire à la relation
La vérification analytique est facile à faire. En effet, élevons au carré , et ajoutons membre à membre les équations (36) et (37) , il viendra
E* = 1 2 — hi;
on en tire
e..-![îMl^,],
DU , à cause de la première équation (26) et de ré€]uation (35),
mais )a valeur de la parenthèse est -- 9 d'après l'équation (29) , il vient donc
équation qui coïncide avec l'équation (38).
Le moyen mouvement N se tire de la formule connue
qui donne
et, en vertu de Féquation (10),
Les formules propres au calcul des deux éléments qui restent encore à déterminer, ne présentent rien qui ne soit connu ; nous ne nous y arrêterons donc point : elles seront d'ailleurs rapportées dans le résumé qui terminera ce Mémoire.
7. Je pense qu'il ne sera pas inutile de montrer que les formules auxquelles nous sommes parvenus, ne tombent point en défaut, lorsque la
djc d^ 3C
valeur de — se trouve égale à zéro , celle de x n'étant pas nulle. En effet , -j-^
ne pouvant devenir nul dans le cas où x ne l'est pas, il en résulte d'abord que H et H' ne sont point indéterminés. On voit aisément que les auxiliaires P etQ' restent déterminées; l'auxiliaire K-, d'après sa signification , ne peut être nulle ; les coefficients k et X', et par suite les valeurs
de ( -~ )^^ T^ restent pareillement déterminés.
ir est bon encore d'examiner ce que deviennent ces formules, lorsque , tout
rdr en conservant l'hypothèse actuelle, on suppose en outre — = o. Cette nouvelle hypothèse répond au cas où le satellite se trouverait à l'une des extrémités du grand axe, ou bien décrirait une orbite circulaire. L'équation (i4) montre qu'alors on aurait H = o ; il faudrait donc , d'après l'équation (i3),
d^x que Ton. eût d'abord --j-^ = o.
Pour plus de simplicité, nous considérerons seulement le cas extrême où Torbite coïncide avec le rayon visuel, ce qui entraine les relations ^ = o,
dr
dt
L'équation (17) donne P == H ou P = o. 11 résulte de la deuxième écpia-
tion (i3 his)^ que H' s'annule dans le cas d'une orbite circulaire, mais ne
s'annule pas si le satellite est simplement à Tune des extrémités du grand
rdr
axe, dans une orbite excentrique, attendu que r/.-— n'est pas nul dans
cette circonstance. Quoi qu*il en soit, on a, par Téquation (19),
I d'^pc X dV et, par les équations (a5),
K» = QS X=-, /-'=o.
L'équation (26) se réduit alors à
équation dont laseule racine réelle est - =r o. Ce résultat n*est point indé-
termine, et pouvait être prévu.
dx di
dz Quant à la valeur de — ? Téqnation (28) donne simplement
Relations entre les dérivées différentielles des coordonnées x et y.
8. J'ai dit que la méthode actuelle s'appliquerait encore au cas d'une orbite dont Tinclinaison serait quelconque.
Dans le cas général , il existe entre les dérivées contenues dans les développements de a: et de y y des équations de condition qu'il est bon de faire connaître.
Formons la valeur de G", équation (3o) , au moyen des valeurs de jc et ^, ainsi que de leurs dérivées tirées des équations ( 3) ; il vient
x=za -{- bt -irct^ -h dt^ -h et* -h ft^ -!-•.••, Jlz=zb'-^'2c't-+-3d't'-h^e't^-^'5/'t'-+-6g't'-h. ..;
puis ,
en multipliant
xdy dt
- ab* -\- 2.ac' -4- bb'
t H- 3 ad'
t^-Jr^ac' 4-3W
-h cb'
-f- 2rr'
H- r/Zi'
-h 3rW -\- 2ec' -h /6'
On obtiendra, par une simple transposition d'accents,
jrdx dt "~"
a' b ^ la' c
t'+Sa'f
-hiib'c
-hSb'/
