VOICI LA FORMULE

A la sonme des surfaces des bases parullèles et opposées du solide à évaluer, ajouter quatre fois la surface d'une coupe purallèle aux buses et à demi-distance entre elles; puis multiplier le tout pur la sixième purtie de la hauteur (I1.), longueur (L.) ou diuinètre (D.) du solide. *

La définition du prismoïde, telle que généralement donnée, s'entend d’un solide ayant des bases parallèles bornées par des lignes ou côtés qui le sont également.

Ce parallélisme des côtés ou arêtes des bases opposées n’exelut point, mais en mème temps ne suppose pas qu'il y ait proportionnalité entre ces côtés ou arêtes. |

Le tronc de pyramide est donc un prismoïde. Il en est de même du tronc-de-cone qui n’est qu’une pyramide infinitaire, ou une pyramide ayant pour base un polygone d’un nombre infini de côtés.

* Voir la formule à l’article ‘ Stéréométrie ”’ dans le grand dictionnaire universel du XIXeme siècle par P. Larousse. ??

Maintenant, que deux des arêtes parallèles de l’une quelconque des bases du tronc s’approchent l’une de l’autre, jusqu’à ce qu'elles se rencontrent et se confondent en une seule et même ligne ou arête ; alors avons-nous le coin qui n’est donc autre chose qu’un prismoïde,.

Puis, que cette ligne, cette arête, ce côté devienne de plus en plus court et jusqu’à se réduire enfin à un point ; alors nous avons la nyramide qui est encore un prismoïde, comme l’est aussi le cône.

Il est à peine nécessaire de rappeler que le prisme, le cylindre sont des prismoïdes dont *es côtés correspondants des bases opposées sont égaux en même temps que parallèles, de même que pour les troncs de pyramide et de cône, les côtés opposés sont proportionnels en même temps que parallèles.

Or, les neuf-dixièmes et davantage de tous les vaisseaux de capacité de par le monde entier, et cela sur une grande comme sur une petite échelle, affectent la forme du tronc de cône où de pyramide; cette dernière, comme en font foi, les vaisseaux à périmètre rectiligne: boîtes, cuves, anges, citernes et voitures de capacité ; la première nous apparaissant sous les mille et une variétés de cuves de brasserie, savonneries, ete.—saloirs, tinettes à beurre, etc.—le seau ordinaire en bois ou métal, etc.—le goblet à boire, le plat creux, l’écuelle, la tasse, la cuve à laver, terrine à lait et que sais-je encore ; l’abat-jour de lampe, le fut de colonne grecque, fut de canon, la bouée, ie quai, pilier, réservoir, la tour, la corbeille, manne, meule de foin, toiture, le phare et le reste.

Voici des formes que chaque jour le genre humain est appelé à évaluer. Elles s'adressent à l’œil, à la main la plus inexpérimentée. Pourquoi donc ne pas enseigner un moyen, une méthode de faire la chose que chacun peut apprendre et non seulement apprendre, mais se rappeler toute sa vie, sans danger de jamais l'oublier, la confondre avec d’autres règles dont on a que faire, puisque cette seule et même formule s'applique indifféremment à tous les corps.

Pourquoi continuer la vieille routine lorsque comme on le voit ici,

il est tellement plus simple, plus concis, plus expéditif surtout, de faire Mo CL ; |

dans tous les cas l'application de la formule générale, que d’avoir recours

à une règle plus difhcile à comprendre et à la quelle il faut dévouer dix fois le temps nécessaire à la première.

La formule de Legendre, exacte et élégante qu’elle soit, requiert une surface moyenne géométrique entre celles des bases ou extrémités opposées du solide sous considération. Cette moyenne est bien plus difficile à concevoir pour la masse des hommes que la moyenne arithmétique qui n’est que la demi-somme, pendant que pour arriver à la première il y a à multiplier ensemble les surfaces des deux bases, puis à extraire la racine carrée de leur produit ; opération longue et ennuyeuse, connue seulement du petit nombre, des plus difficile à retenir, oubliée sitôt qu’apprise, et par là même inutile.

Avec la formule proposée, au contraire, l'opération est telle que l'enfant même peut en avoir raison, louvrier, l'artisan illettré s’en rappeler sa vie durant, en faire la facile application ; car, on lui a enseigné à l’école à trouver la surface d’une figure plane, celle du cerele entre-autres, figure qu'il conçoit comme composée de triangles ou pouvant se résoudre, se décomposer en une série de triangles juxtaposés par autant de lignes menées du centre à des points équidistants, ou non, sur la circonférence, et la surface, de là, égale à la somme de celles des triangles composants ; c’est-à-dire, égale au produit de la circonférence — somme des bases des triangles — par le demi-rayon, la demi-hauteur des secteurs consécutifs dont l’ensemble fait le cercle.

Eh bien, de toutes les formes ou à peu près, ci-dessus énnmérées, les bases opposées, la section centrale ou à mi-chemin entre ces bases sont des cercles, et l'opération s’expédie davantage, en prenant dans les tables calculées à cet effet, à un mètre près, un pied, un pouce, une ligne, une fraction de cette dernière, les surfaces voulues.

Le travail se réduit alors à la seule opération arithmétique d’ajouter ensemble, addition simple, les surfaces ainsi tracées, c’est-à-dire les surfaces des deux bases avec quatre fois la surface intermédiaire, pour en

multiplier la somme par la sixième partie de la hauteur ou profondeur du corps dont il s’agit.

En d’autres termes l'opération se réduit à la plus simple forme d’arithmétique enseignée dans les écoles les plus élémentaires, à savoir :

l'addition et la multiplication simples, ou d'unités de même espèce, avec le surcroit de la division s’il y a à réduire les unités ainsi trouvées, le contenu eubique, le volume en mètres, pieds pouces où lignes, etc., en unités d’un autre nom : gallons, litres, etc.

Je ne veux, moi, qu’une seule formule appliquée à tous les corps, à tous les solides, à toutes les formes et de suite l’on se demandera : mais, pourquoi dans le cas par exemple du prisme, du cylindre, du cône entier, de la pyramide proprement dite, pourquoi dis-je, substituer à une forme plus simple de procéder, une autre qui a l'air de l’être moins ; c’est que la chose à sa raison d’être, pour les millitrs et millions à qui la mémoire fait défaut, et qui risqueraient avec plus d’une formule, à les confondre et appliquer mal à propos, tandis que ce défaut de mémoire se peut conjurer, par un fort simple procédé de raisonnement comme je vais de suite le faire voir.

Que n’ai-je vu d'étudiants, au sortir même du collége, douteux déjà de la formule particulière à appliquer à la pyramide ou au cône, au conoïde, au sphéroïde. Dans l’un, le premier solide, le volume ressortant de la base par le tiers de la hauteur ; dans le second, la vase par la demihauteur ; le troisième, la base encore par les deux tiers de la hauteur ; enfin dans le prisme, le cylindre, de rechef la base par la hauteur tout entière : quatre formules à apprendre, à retenir pour ces seules formes de même nombre, avec formule additionnelle pour chaque segment, trone onglet ou autre partie composante de chacun de ces solides comme de tous les autres dont je ne fais point mention. Toute erreur, dans le choix, l'application de la formule, est nécessairement fatale au résultat,

Mais avec la formule, une et unique, universelle que je propose de substituer à toutes les autres et dans tous les cas possibles, il ne saurait y avoir erreur. Prenez la pyramide, le cône ; posez la superficie, de l’une de ses bases, son sommet, égale zéro (0) — elle est évidemment nulle si la figure se termine absolument par une pointe, un simple point sans étendue appréciable — posez au-dessous la superficie de l’autre base, la base proprement dite. Le diamètre à mi-hauteur est évidemment la moitié du diam. correspondant de la base, la moyenne arithmétique, entre les diamètres des deux bouts ; or X & — #3 donc la superficie à mihauteur ou celle de la section ou coupe du milieu est du quart de celle

de la base. Mais il faut prendre 4 fois cette surface, c’est-à-dire, qu’à la surface de la base il faut ajouter une quantité égale à cette surface, puis multiplier le tout, la somme de ces surfaces, par un sixième de la hauteur, ce qui donne le résultat voulu, puisque deux fois la base par le sixième de la hauteur, est la même chose que une fois la base, la base par le tiers de la hauteur.

C’est uinsi que l'opérateur en revient à la règle ordinaire, par un procédé de raisonnement mental, aussi facile que celui qu’on se fait dans le cas des axiomes que l’on déduit l'un de l’autre en se donnant tout simplement la peine d'y penser.

De même, pour le prisme, le cylindre, où vous voyez de suite, que ses bases et sections parallèles étant égales de superficie ou de surface, celle des deux bases plus 4 fois celle de la section au centre de la hauteurs équivaut évidemment à 6 fois celle de la base, et que 6 fois la surface de la base par le sixième de la hauteur, vous ramène de suite et avant d'avoir posé un chiffre sur le papier, à la règle ordinaire qui donne le volume comme égal au produit de la base par la hauteur, et encore une fois, sans la nécessité de se rappeler cette formule, conne formule séparée et différente de la formule générale.

Mais le grand avantage de cette règle, une et universelle, sa beauté pour ainsi dire est rendue plus frappante dans le calcul des solides plus compliqués, c’est à dire de ceux qui le sont avec les règl:s ordinaires.

Dans la sphère, le sphéroïde, les surfaces planes des bases ou extrémités opposées du solide se réduisent chacune à zéro, puisque un plan ne leur touche qu’en un seul point. C’est pourquoi la formule appliquée à ces corps se réduit à 4 fois la surface médiane par le sixième du diamètre perpendiculaire à la section; ce qui revient encore à la règle ordinaire de: la surface sphérique parle tiers du rayon, puisque quatre grands cercles égalent cette surface sphérique ; ou à la règle de : la base ou section par les deux tiers de la hauteur, puisque 4 fois la base ou section par le sixième de la hauteur ou diamètre équivaut encore à : la base par les deux tiers de la hauteur.

Qu'il soit proposé maintenant de mesurer le liquide, le fluide, dans un vaisseau ayant la forme d’un segment de sphéroïde plus ou moins

US) du

grand que le demi-sphéroïide, et incliné d’une manière quelconque à l'horizon. Ceci par les règles ordinaires, devient une opération très laborieuse, puisqu'il faut calculer les dimensions du solide entier dont le segment en question, formé par le fluide, fait partie, pour faire entrer comme facteurs dans l'évaluation à faire les axes conjugués du solide ; tandis que par l4 formule proposée, l’on n’a pas à s'inquiéter des dimensions du solide entier dont la partie à évaluer est un segment.

Que la règle s'applique à tous ces cas, c’est ce qui a été abondamment prouvé par moi-même (voir mon traité de 1866) pour tout segment quelconque de sphère ou de sphéroïde ; pour un onglet quelconque de ces solides ccntenu entre des plans passant dans une direction quelconque par le centre du solide ; pour un tronc quelconque de ces corps soit central, soit latéral, contenu entre des plans parallèles inclinés sous un angle quelconque aux axes ; pour un conoïde parabolique ou hyperbolique quelconque, droit ou incliné, ainsi que pour un tronc quelconque d’iceux à bases parallèles.

Cette preuve a été établie par M. R. Steckel du département des ingénieurs à Ottawa, par M. le capt. Deville membre de cette Société, par feu le Rd. M. Maingui, professeur de mathématiques à l’Université Laval, par le Rd. M. Billion du Séminaire de St. Sulpice, Montréal ; enfin par sa grâce, l'Evêque Langevin de Rimouski et par plusieurs autres mathématiciens des plus capables.

M. Maingui dit (page IX de sa brochurr et tel que déjà cité au commencement de cette conférence).

“ Cette formule de M. Baillairgé a l’immense avantage de pouvoir “ remplacer toutes les autres formules pour le cubage des corps.”

De plus, c’est la seule formule qui rende possible l’enseignement de la stéréométrie, dans toutes les écoles, si élémentaires qu’elles le soient, et comme je viens de le faire voir, l'application en est d'autant plus facile, pour ainsi dire, que le corps est plus difficile à évaluer par les règles ordinaires, puisque pour le conoïde par exemple, le segment de sphère, de sphéroïde, l’un au moins des facteurs est zéro, pendant que deux de ces mêmes facteurs se réduisent à zéro dans la sphère, le sphéroïde, les onglets de ces solides. De même pour le coin, l’une des bases

étant une simple ligne ou arête, la superficie en est nulle, et encore dans certains prismoïdes ou les deux bases sont des lignes ou arêtes perpendiculaires ou inclinées l’un à l’autre dans des plans opposés parallèles entre eux.

C’est ainsi que pendant que l'élève de collège ou d'université après avoir dévoué beaucoup de son temps à apprendre cent formules variées pour le cubage d’autant de solides, les aura irrémédiablement oubliées, dans la suite ; l'artisan, le marchand, celui qui n'aura jamais fréquenté qu’une école de village, pourra, n'ayant qu’une seule règle à apprendre, s’en rappeler toute sa vie, et être toujours prêt à en faire l'application.

Dans le mesurage des fuseaux, c’est-à dire surtout du tronc central de ces solides, forme représentative des mille et une variétés et dimensions de futailles — la formule générale ne donne le contenu, la quantité qu’à un dixième près, un vingtième, une demie même ou environ de un par cent, soit à un demi centième près, un millième ou un demi millième près ; et cependant, même ici, c’est la seule formule pratique qui puisse donner un resultat sur l'exactitude du quel l’on puisse compter.

Jamais, pour les futailles, l’on ne fera usage des formules exactes dans l'évaluation de leur contenu ; la chose est impraticable ; ces formules sont trop longues, trop compliquées et le marchand de vin vous dira que la jauge fondée sur ces formules ne donne d'ordinaire le contenu réel qu'à 2 à 3 par cent près de la vérité, et la marge est quelquefois plus grande.

Cette assertion à bien sa raison d’être puisque en opérant comme on le fait toujours, comme on doit le faire pour toute forme à moitiés symétriques ; en opérant sur l’une de ces moitiés, l’on fait entrer en ligne de compte le diamètre moyen de la futaille, c’est-à-dire de la partie comprise entre le bouge et le fond, c’est-à-dire encore le facteur même qui fait varier le contenu ; chose dont la jauge ne peut évidemment tenir aucun compte pusqu'elle ne donne que la distance diagonale de la bonde au côté opposé du fond du vaisseau et que sous des diamêtres invariables du bouge et du fond du tonneau, petit où grand, il peut y avoir et il y a en effet mille courbures possibles, mille renflements plus ou moins grands qui fcat varier le contenu.

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Passons maintenant aux onglets de cône, conoïde, cylindre, sphéroïde, etc., où le plan de section ne passe pas par l’axe ou centre de la figure, et disons qu'ici encore la formule générale, comme dans le cas des futailles, est celle qu’il convient d’emj oyer d’orû'naire dans la pratique, donnant comme elle le fait le volume, le contenu réel à un demi par cent près de la vérité. L'on ne saurait jamais se rappeler les formules exactes pour cuber l'onglet, pas plus que le fuseau, et s'en rappela-t-on que jamais dans la pratique on n’y dévouerait le temps nécessaire, sauf peut-être dans des cas très particuliers à la science. Plutôt que de le faire, l’on aura recours à la méthode bien connu et par trop usitée des tâtonnements (en anglais : fudging, rule of thumb) système des termes moyens (averaging) pour en arriver à un résultat différent souvent de la vérité au montant de 3, 4 et 5 par cent, souvent d'avantage, pendant que l'application de la formule prismoïdale amènerait le résultat à un demi pour cent près du volume réel.

Les corps composés sont évidemment à être traités séparément ou par parties. Le fut de canon ou de mortier par exemple sera pour le mesureur, le cylindre, le tronc de cône, pendant que sa culasse sera le seument, la moitié d’un sphéroïde — un dôme moresque, un minaret ; le tronc de sphéroïde surmonté d’un cône concave ou autre — une tour couverte, une meule de foin ; un cône et un cylindre, un cône et tronc de cône, deux troncs de cônes suivant le cas, et ainsi d’autres formes composées.

Quand il y aura à opérer sur des troncs à bases non parallèles, le solide devra être partage par un plan parallèle à une de ses bases et passant par le point le plus rapproché de l’autre base, en un tronc à bases parallèles et un onglet ; sujet alors, pour ce qui est de l’onglet seulement, au percentage d'erreur déjà noté ; tandis qu’en cubant le couoïde entier, le segment de sphéroïde, le cône, la pyramide dont le tronc fait partie, puis le segment qui manque, la pyramide, le cône partiel qui avec le tronc complète le solide, l’on arrive au contenu exact,

Il y a une classe de solides, où il paraîtrait tout d’abord que l’on dut se départir de la formule génerale ; mais non, comme on va le voir. Je fais allusion aux corps dont les bases parallèles sont à simple ou à double courbure;tels que voûtes ou portions de voûtes cylindriques, dômes,

fragments d’obus, ete. Or, il n’y a à procéder dans chacun de ces cas que de la manière ordinaire en substituant seulement aux surfaces des bases planes des autres corps, les surfaces courbes parallèles de la figure à évaluer, avec la surface également courbe et parallèle de la section à mi-distance entre elles.

Si la voûte variait d'épaisseur, l’on arriverait tout de même à son volume en calculant séparément, pur les distraire ensuite l’un de l’autre, les volumes respectifs des pyramides sphériques composantes ; et à cet effet l’on trouvera page 35 du “ stéréométricon ” publié par moi en 1880 un mode nouveau, facile et des plus expéditifs d'arriver aux superficies sphériques voulues comme à celle d’une partie quelconque de la sphère terrestre dont le rayon osculateur serait connu.

Pour ce qui est des formes irrégulières, elle se décomposeront en tranches que l’on soumettra séparément au calcul pour en faire ensuite la somme ; et, s’il s’agit par exemple de toiser une statue, un bronze, un homme, un chien, une chaise, un légume, un fruit, on le fera avec une exactitude absolue par le procédé indirect du déplacement d’un fluide à l'intérieur d’une boîte, capable de contenir l’object à soumettre à l'éva-

luation.

L'on peut encore pour toiser un objet quelconque, le faire en instituant une comparaison entre son poids et celui d’un volume connu d’une substance de même nature que le corps à mesurer.

Enfin les poids, les quantités respectives des substances composant un amalgame peuvent encore s'éliminer par une comparaison du poids du corps composé, avec ceux des substances composantes pesées dans l’air et dans l’eau.

Je viens donc de couvrir dans ces quelques pages le champ tout entier du toisé des corps au lieu de lui dévouer un voulume ; en un mot la nouvelle formule est une affaire d’autant de minutes que les anciennes règles requièrent d’heures, de jours même.

SUGGESTIONS AUX GEOMÈTRES