À L'ENDROIT D'UNE

NOUVELLE EDITITION D'EUCLIDE.

Euclide est sans nul doute, un admirable traité, une série purement logique de propositions, un enchaînement merveilleux de théorèmes ; mais je ne ne sais comment il se fait que depuis 2000 ans, l’on ait pu écrire et récrire ce livre sans voir jusqu’à quel point ces trop nombreux théorèmes sont reduetibles en nombre, en faisant de plusieurs de ces propositions de simples axiomes ; d'autres, des corollaires.

Il est plus que singulier que cette ancienne géométrie ait tenu bon contre le lapse des temps, lorsque toutes les autres science sont été, pour ainsi dire, broyées et réduites, généralisées et simplifiées.

Il ne faut pas que notre vénération pour l’auteur grec dégénère en ignorance et matérialisme ; la vie est trop courte et il y a trop d’autres sciences à étudier de nos jours, pour que l’on puisse dévouer ainsi un an et davantage à une étude de l’ancien maître.

Les deux cents et quelques propositions, (théorèmes séparés) des six premiers livres d’Euclide, peuvent probablement se réduire à la moitié de ce nombre, tout en ne sacrifiant aucunes des conclusions, qui toutes peuvent être retenues comme corollaires, postulats, axiomes.

Et, tout d’abord, le cinquième livre peut être entièrement éliminé en traitant autrement le sujet qu’on ne saurait considérer comme purement où strictement géométrique ;'puisque par la substitution, par exemple, du mot “quantité” pour le mot “grandeur” (magnitude), lon peut arriver à des expressions générales applicables tant à la géométrie qu'à arithmétique ; simplifiant ainsi et facilitant d’une manière singulière la solution d’une grande variété de problèmes; car ce que l’on entend comme applicable aux nombres, ou aux unités qui les composent est tout aussi intelligible quand on en fait l'application aux unités qui vont à former toutes espèces de grandeurs géométriques, lesquelles grandeurs ne sauraient guère se concevoir autrement que comme composées de telles unités, soit linéaires, superficielles, eubiques ou angulaires.

Et n’éliminät-on point tout à fait ce cinquième livre, qu'il y aurait encore à le faire pour plusieurs de ses théorèmes, et à en réduire ainsi le nombre.

Tous les axiomes ne sont point des propositions tellement évidentes qu'on puisse du coup et sans raisonnement les accepter comme tels. Le procédé mental peut être de très courte durée, mais il existe, et il suflit d'étendre le procédé de très peu pour embrasser de nombreuses propositions additionnelles, et réduire aussi ces dernières à de simples axiomes, ou à des corollaires de ces derniers ; car si les choses qui sont doubles ou moitiés de la même chose, sont égales entre elles; il n’est pas plus diflicile de concevoir que les choses qui sont les quadruples ou les quarts de la même chose sont aussi évales entre elles, et d'arriver ainsi à lexpression plus générale que : les quantités qui sont des multiples ou sousmultiples égaux d’une même quantité sont égales entre elles.

Or, les rapports entre les quantités ou grandeurs géométriques de toutes sortes ne sauraient se concevoir autrement que comme numiriques ; car si leurs rapports sont exprimés par des lignes ou autrement, ces dernières se présentent à l'esprit comme composées d'unités égales, et suguèrent l’idée de nombres ou de quantités numériques.

Les rapports égaux, sont donc, de quelque manière ou sous quelque aspect qu’on les envisage, des nombres égaux, et ce qui est vrai de Pun

LA

l'est également de l’autre. De là je ne puis voir la nécessité, comme propositions séparées, de théorèmes tels que le onzième du cinquième livre d'Euclide que: “Les rapports qui sont égaux à un même rapport sont égaux entre eux” puisque comme je viens de le dire, ceci pourrait être un simple corollaire de l’axiome qui déclare l'égalité des choses qui

sont égales à une même chose,

De la même manière, les propositions 1,7,9 et 15 et presque toutes les autres de ce “livre” peuvent être regardées comme évidentes d’ellesmêmes où le devenir par un procédé beaucoup plus simple de raisonnement et de démonstration, en considérant toutes les grandeurs (magnitudes) à leur état simple où non combiné A, B, C, D, comme dans leur état composé, combiné où complexe de m fois A, ou im À, n B ou nfois B, comme quantités simples composées de tant et tant d'unités de grandeur géométrique, où en d’autres termes, comme des quantités numériques, où des nombres exprimant les contenus de ces dernières.

Revenant maintenant au premier livre d’'Euclide : pourquoi, demanderai-je, n’a-t-on point fait des deux premières propositions de simples postulats. La proposition 22 de ce livre ne devrait-elle point être la première de la série, et la première un simple corollaire de celle-ci. Ilest vrai qu’Euelide la réserve jusqu’après la vingtième, où il démontre que deux quelconques des côtés d’un triangle valent ensemble plus que le troisième, et ceci en rend la position dans Ja série plus strictement logique si la proposition 20 est essentielle ; mais 20 ne saurait être considéré telle lorsque la définition même d’une ligne droite comme la plus courte que lon puisse mener entre deux points, rend évident que tout trajet par la voie des autres côtés est nécessairement plus long que par le premier qui va droit et directement au but.

Les théorèmes 13, 14, 15, 20, 27 et 28 de ce livre ayant trait aux perpendiculaires et aux parallèles peuvent se déduire facilement comme corollaires des définitions.

La prop. 30 que les lignes droites parallèles à la même droite, sont parallèles entre elles, n’a pas sa raison d’être comme théorème distinet, et ne devrait être qu’un axiome, ou tout au plus un corollaire d’axiomie ; car ce parallélisme même est une égalité de distance entre les lignes sur

tout leur parcours, et comme d’après l’axiome, les quantités égales ajoutées à ou déduites des quantités égales, les sommes ou différences sont égales ; les lignes étant équidistantes doivent être parallèles.

La prop. 34 se déduit de 33, comme 36 de 35, car Euclide, qui dans sa 4ème et 8ème de ce livre applique les triangles, ou figures l’une sur l’autre, aurait pu également le faire dans le cas de la 38ème et réduire ainsi le cas des parallélogrammes sur des bases égales, au cas précédent de parallélogrammes sur la même base,

Les deux propositions suivantes, 37 et 38 n’ont aucune raison d’être à l’état de théorèmes additionnels et séparés ; car non seulement ces deux propositions n’en font qu’une, comme de 36 et 35 et pour une raison analogue, mais toutes deux ne deviaient être que des corollaires de 35, dépendant de l’axiome ou de la proposition évidente que ce qui est vrai du tout est également vrai des moitiés, chaque triangle étant la juste moitié, tant en forme qu’en dimensions de son parallélogramme correspondant, ou inversement : tout parallélogramme le double, tant en dimensions qu’en forme, de son triangle composant ou correspondant ; ce qui est amplement démontré à l'endroit de la proposition 34 de ce même livre.

La plupart des propositions du 2nd livre d’Euclide sont susceptibles d’une démonstration numérique ou algébrique, comme le sont celles du 5ème livre et peuvent être de cette manière grandement simplifiées et rendues plus facilement intelligibles.

La proposition 5 de c& 2ème livre est de grande utilité dans la solution d’une foule de problèmes, comme dans le cas où la superficie et le périmètre sont donnés pour trouver les côtés ; mais à cet effet il y aurait à démontrer, ce qui n’y est point fait, que ce qui est appelé ligne entre les points de section, est en d’autres termes la demi-différence entre les lignes données ; et en établissant ainsi un lien de parenté entre l'opération et celle qui consiste à trouver deux quantités quand la somme et la différence en sont données, la proposition devient suggestive, pendant qu’elle ne l’est point sous la forme qu’elle revêt.

Du troisième livre, soit dit avec C'airaut : c’est parceque Euclide avait affaire à une bande de sophistes obstinés, décidés à l’avance à

refuser leur assentiment aux propositions les plus évidentes qu’il a trouvé nécessaire de démontrer, comme il l’a fait de la proposition 2 de ce livre, que la corde d’un cercle ; est tout entier dans le cercle; comme si la seule définition d’une telle ligne n’était point suflisante pour lui assigner sa position.

L'on ne saurait non plus soutenir qu’il existait une nécessité pour les théorèmes 5 et 6 de ce livre, qui sont des propositions évidentes, Quant à 25 et 24, 26, 27, 28 et 29, ces propositions peuvent se réduire à une seule proposition générale avec les autres comme corollaires.

Il n’y a en réalité aucune différence essentielle entre les problèmes 1 et 25, puisque le procédé pour trouver le centre duquel a été décrit un arc quelconque, est absolument le même, quelle que soit la longueur de l’arc, son étendue, et jusqu’à ce que l’arc s’accroissant devienne une circonférence entière.

Une solution différente et plus facile de 33 en réduit les trois cas en un seul et il en est d: même de 35 et 36 où soit par triangles semblables où autrement, les divers cas se réuisent à un seul pour chacune de ces deux propositions.

Je ne vois pas la nécessité de la proposition A de l'édition de Playfair, après celle d'Euclide, puisque par la définition même d’un cercle et de son diamètre qui passe par le centre de la figure, la proposition est évidente. La proposition B de Playfair, à la suite de ce livre, n’est autre chose qu’une répétition de la proposition 5 du 4ème livre; car que sont les points angulaires d’un triangle autre chose que tous autres points quelconques, non en ligne droite ; et de ses popositions C et D, on peut faire la remarque, comme on l’a faite à l'endroit de 22 et d’autres, qu’elles sont toutes déduisibles comme corollaires d’une seule poposition plus générale.

Du livre 4, proposition I, la restriction que la droite donnée à inscrire dans le cercle, ne doit pas être plus grande que le diamètre du cercle est à peine nécessaire puisqu'il est évident que le diamètre ou double rayon est, par la nature du cercle lui-même, la plus grande ligne qu'on puisse lui inscrire.

Les propositions 6 à 9 de ce livre peuvent se réduire facilement à moins que les dimensions d’une seule d’entre elles. Les propositions 11 à 14 peuvent de même se réduire à une seule, avec de courts corollaires pour les autres, ou les quatre en des corollaires à la proposition 10, vu que le cercle étant ainsi partagé en dix, en menant des cordes entre les points de division de deux en deux, l’on obtient le pentagone et par les tangentes à l'extrémité des rayons, la figure circonscrite ; tandis que par la nature même du polygone régulier, il est de plus évident que deux perpendiculaires menées du centre des côtés, où que deux bissectrices quelconques des angles, détermineront au point de leur rencontre le centre du cercle inscrit comme du cercle cireonscrit.

Ayant déjà fait mes remarques sur le livre 5, je dirai maintenant, au sujet du livre 6, que pour ce qui est des théorèmes 14 et 15, comme je l'ai fait des propositions 35 et 38 du 3ème livre, ils peuvent tous les deux être fait de simples corollaires fondés sur l’axiome, que ce qui est vrai du tout, est également vrai de la moitié; et quant à la proposition 21, elle est analogue à la 30ème du troisième livre ; car comme la similarité des triangles est une suite de l'égalité de leurs angles correspondants ; il est par là même évident que cette proposition est vrai comme corollaire de l’axiome que : les choses égales à une mème chose sont égales entre elles.

Les Nos. 16 et 17 se déduisent directement du 35ème du troisième livre, et 31 devrait évidemment être corollaire du 47ème du premier livre, combinant ainsi l’axiome que ce qui est vrai des moitiés, l’est également des parties aliquotes quelconques de ces touts, et il en serait encore de même des cercles ou demi-cercles décrits sur l’hypoténuse et les côtés d’un triangle rectangle quelconque, de même que des segments semblables ou autres figures ainsi décrites,

Inutile de porter plus loin ces remarques et suggestions. Il en a été assez dit pour donne: une idée du procédé à adopter pour fondre les propositions séparées, tout en retenant les conelusions du géomètre grec; etle même procédé de retranchement, d’élagage peut être appliqué aux livres des plans et des solides, et un nouveau traité écrit tel que suggéré dans l'en-tête de cet article.