DE CONDUCTEURS VOLTA1QUES (M

Lorsqu'on vient à découvrir un nouveau génie d'action jusqu'alors inconnu, le premier objet du physicien doit être de déterminer les principaux phénomènes qui en résultent, et les circonstances où ifs se produisent; il reste ensuite à trouver le moyen dy appliquer le calcul en représentant par des formulée hi valeur des forces qu'exercent les unes sur les autres les particules des corps où ce genre d'action se manifeste. Dès que j'eus reconnu que deux conducteurs voltaïques agissaient l'un sur l'autre, tantôt en s'attirant, tantôt en se repoussant, et que j'eus distingué el décrit les actions qu'ils exercent dans les différentes situations où ils peuvent se trouver l'un à Tégard de l'autre, je cherchai à exprimer de celle manière la valeur de la force attractive ou répulsive de deux de leurs éléments ou parties infiniment

(l) Lu à l'Académie royale des Sciences, !<■ i<> juin 1822.

petites, afin de pouvoir en déduire par les méthodes connues d'intégration Faction qui a lieu entre deux portions de conducteurs données de forme et de situation.

L'impossibilité de soumettre directement à l'expérience des portions infiniment petites du circuit voltaïque oblige nécessairement à partir d'observations faites sur des fils conducteurs de grandeur finie, et il faut satisfaire à ces deux conditions que les observations soient susceptibles d'une grande précision, et qu'elles soient propres à déterminer la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites. C'est ce qu'on peut obtenir de deux manières : Tune consiste à mesurer avec la plus grande exactitude des valeurs de l'action mutuelle de deux portions d'une grandeur finie, en les plaçant successivement, l'une par rapport à l'autre, à différentes distances et dans différentes positions; car il est évident qu'ici l'action ne dépend pas seulement de la distance; il faut ensuite faire une hypothèse sur la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites, en conclure celle de l'action qui doit en résulter pour les conducteurs de grandeur finie sur lesquels on a opéré, et modifier l'hypothèse jusqu'à ce que les résultats du calcul s'accordent avec ceux de l'observation. C'est ce procédé que je m'étais d'abord proposé de suivre, comme je l'ai expliqué en détail dans un Mémoire lu à l'Académie des Sciences le 9 octobre 1820 (1); et

(*) Ce Mémoire n'a pas été publié à part, mais les principaux résultats en ont été insérés dans celui 'que j'ai publié, en 1820, dans le Tome XV des Annales de Chimie et de Physique.

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 77

quoiqu'il ne nous conduise à la vérité que par la voie indirecte des hypothèses, il n'en est pas moins précieux, puisqu'il est souvent le seul qui puisse être employé dans les recherches de ce genre. Un des membres de cette Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la Physique, l'a parfaitement décrit dans la Notice sur l aimantation imprimée aux métaux par V électricité en mouvement, qu'il nous a lue le 2 avril 182 1, en l'appelant « un travail en quelque sorte de divination qui est la fin de presque toutes les recherches physiques » (!).

Mais il existe une autre manière d'atteindre plus directement le même but, c'est celle que j'ai suivie depuis, et qui m'a conduit au résultat que je désirais; elle consiste à constater par l'expérience que les parties mobiles des conducteurs sont, en certains cas, exactement en équilibre entre des forces égales ou des moments de rotation égaux, quelle que soit d'ailleurs la forme de la partie mobile, et de chercher directement, à l'aide du calcul, quelle doit être la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites pour que l'équilibre soit, en effet, indépendant de la forme de la partie mobile.

C'est ainsi que j'ai déterminé cette valeur en combinant deux expériences de ce genre; l'une que j'ai décrite dans un Mémoire lu à l'Académie le 26 décembre 1820, et dans ce Recueil, pages 216 et suiv.; l'autre dont je viens de constater le résultat avec toute l'exactitude possible.

Ce dernier procédé ne peut être employé que

(') Voir Journal des Savants, avril 1821, p. 200,

quand la nature de l'action qu'on étudie donne lieu à des cas d'équilibre indépendants de la forme des corps; il est par conséquent beaucoup plus restreint dans ses applications que celui dont j ai parlé tout à I heure; mais puisque les conducteurs voltaïques présentent des circonstances où cette sorte d'équilibre a lieu, il est naturel de le préférer à tout autre comme plus direct et plus simple. Il y a d'ailleurs, à l'égard de l'action exercée par ces corps, un motif bien plus décisif encore de le suivre dans les recherches relati\ es à la détermination des forces qui la produisent, c'est l'extrême difficulté des expériences où l'on se proposerait, par exemple, de mesurer ces forces par le nombre des oscillations d'un corps soumis à leur action; celte difficulté vient de ce que, quand on fait agir un conducteur fixe sur une portion mobile du circuit voltaïque, les parties de l'appareil nécessaire pour établir les communications de cette portion mobile agissent sur elle en même temps que le conducteur fixe, et altèrent ainsi les résultats des expériences : je crois cependant être parvenu à la surmonter dans un appareil propre à mesurer l'action mutuelle de deux conducteurs circulaires concentriques, lun fixe et l'autre mobile, parle nombre des oscillations de ce dernier, et en faisant varier la distance par l'emploi de différents conducteurs fixes, dans lesquels on ferait passer successivement le courant électrique. Je décrirai ailleurs cet appareil, que je n'ai point encore fait exécute r.

Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand on mesure de la même manière l'action d'un (il conducteur sur un aimant; mais ce moyen ne

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ELECTRODYNAMIQUE. 79

peut être employé quand il s'agit de l'action que deux conducteurs voltaïques exercent l'un sur l'autre, et qui doit être le premier objet de nos recherches dans l'étude des nouveaux phénomènes. En effet, les expériences que j'ai communiquées à l'Académie au mois de décembre dernier ont prouvé que l'hypothèse par laquelle les physiciens de la Suède et de l'Allemagne avaient cru pouvoir expliquer l'action que j'ai découverte entre deux fils conducteurs, en les considérant comme des assemblages de petits aimants situés dans des directions perpendiculaires à leur longueur, est en opposition avec les faits, puisque deux assemblages d'aimants ainsi disposés, quelque forme qu'on leur donne, ne peuvent, ni d'après la théorie ordinaire des phénomènes magnétiques, ni d'après celle que j'ai cru devoir lui substituer, ni d'après des expériences variées que j'ai faites à ce sujet il y a quelques mois, produire le mouvement continu toujours dans le même sens, et la production de forces vives qui se manifeste alors.

D'où il suit nécessairement qu'il faut, ou regarder l'action découverte par M. OErsted entre un conducteur voltaïque et un aimant comme tout à fait indépendante de celle que j'ai reconnue entre deux fils conducteurs, ou l'y ramener en considérant, ainsi que je l'ai fait, non pas les conducteurs, comme des assemblages d'aimants transversaux, mais au contraire les aimants comme devant leurs propriétés à une disposition de l'électricité autour de chacune de leurs particules, identiques à celle de l'électricité dans Jes fils conducteurs ( 1 ), disposition que j'ai désignée sous

(*) Il semble d'abord singulier que les mêmes faits qui

le nom de courant électrique, comme l'ont fait la plupart des physiciens qui ont écrit sur ce sujet : or, il est clair que si l'action d'un fil conducteur sur un

s'opposent absolument à ce qu'on attribue à l'aimantation transversale toutes les propriétés des conducteurs voltaïques ne s'opposent pas à ce qu'on explique toutes celles des aimants, en les considérant comme des assemblages de courants électriques; j'ai expliqué la cause de cette différence dans un exposé sommaire des progrès de cette branche de la Physique pendant l'année 1821 que j'ai lu à la Séance publique de l'Académie du 8 avril 1823, et qui a été inséré dans le Cahier de février 182.2 du Journal de Physique (p. 199 et suiv. de ce Recueil); elle vient de ce que, dans la première hypothèse, on devrait nécessairement pouvoir imiter, en employant seulement des aimants disposés convenablement, tous les phénomènes produits par l'action mutuelle de deux conducteurs, ce qui n'a pas lieu à l'égard du mouvement continu toujours dans le même sens, qu'on ne peut obtenir qu'avec deux conducteurs ou avec un conducteur et un aimant; tandis que, dans ma manière de concevoir l'action magnétique, les courants électriques qui entourent chaque particule d'un aimant formant des circuits fermés, on ne doit pouvoir remplacer un conducteur voltaïque par un ou plusieurs aimants qu'à l'égard des phénomènes que le conducteur produit également, soit qu'il forme ou non un circuit fermé : or, dans l'expérience où j'ai obtenu le mouvement toujours dans le même sens par l'action mutuelle de deux fils conducteurs, il faut nécessairement, comme je l'expliquerai ailleurs plus en détail, que l'un d'eux ne forme pas un circuit complètement fermé : d'où il suit qu'on peut encore obtenir, comme M. Faraday l'a fait le premier, ce singulier mouvement, en employant un aimant à la place de l'autre conducteur, mais jamais en remplaçant les deux conducteurs par des aimants; ce qui s'observe en effet dans les expériences que j'ai faites à ce sujet, et que chacun peut aisément répéter.

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 8l

aimant était due à une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs, les expériences faites sur la première ne pourraient rien apprendre relativement à la seconde, et que si les aimants ne doivent leurs propriétés qu'à des courants électriques entourant chacune de leurs particules, il faudrait, pour pouvoir calculer les effets qu'ils doivent produire, que Ton sût s'ils ont la même intensité près de la surface de l'aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette intensité ;#si les plans de ces courants sont partout perpendiculaires à Taxe du barreau aimanté, comme je lavais d'abord supposé, ou si l'action mutuelle des courants d'un même aimant leur donne une situation d'autant plus inclinée à cet axe qu'ils en sont à une plus grande distance, et qu'ils s'écartent davantage de son milieu, comme le prouve la différence qu'on remarque entre la situation des pôles d'un aimant et celles des points qui jouissent des mêmes propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (t).

(l) Je crois devoir insérer ici la note suivante, qui est extraite de l'Analyse des Travaux de V Académie pendant l'année 1821, publiée le 8 avril 1822 (voir la partie mathématique de cette Analyse, p. 22 et 2.3).

La principale différence entre la manière d'agir d'un aimant et d'un conducteur voltaïque, dont une partie est roulée en hélice autour de l'autre, consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de l'aimant que ses extrémités, tandis que les points qui présentent les mêmes propriétés dans l'hélice sont exactement placés à ses extrémités : c'est ce qui doit arriver quand l'intensité des courants de l'aimant va en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Ampère a reconnu depuis une autre cause qui

C'est donc par l'observation des cas d'équilibre indépendants de la forme des conducteurs quil convient de déterminer la force dont nous cherchons la valeur. J'en ai reconnu trois : le premier consiste dans l'égalité des valeurs absolues de l'attraction et de la répulsion qu'on produit en faisant passer alternativement, en deux sens opposés, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne change ni la situation ni la distance au corps sur lequel il agit. Cette égalité

peut aussi déterminer cet effet. Après avoir conclu de ses nouvelles expériences que les courants électriques d'un aimant existent autour de chacune de ses particules, il lui a été aisé de voir qu'il n'est pas nécessaire de supposer, comme il lavait fait d'abord, que les plans de ces courants sont partout perpendiculaires a l'axe de l'aimant; leur action mutuelle doit tendre à donner à ces plans une situation inclinée à l'axe, surtout vers ses extrémités, en sorte que les pôles, au lieu d'y être exactement situés, comme ils devraient s'y trouver, d'après les calculs déduits des formules données par M. Ampère, lorsqu'on suppose tous les courants de même intensité et dans des plans perpendiculaires à l'axe, doivent se rapprocher du milieu de l'aimant d'une partie de sa longueur d'autant plus grande, que les plans d'un plus grand nombre de courants sont ainsi inclinés et qu'ils le sont davantage, c'est-à-dire d'autant plus que l'aimant est plus épais relativement à sa longueur, ce qui est conforme à l'expérience. Dans les fils conducteurs plies en hélice, et dont une partie revient par l'axe pour détruire l'effet de la partie des courants de chaque spire, qui agit comme s'ils étaient parallèles à l'axe, les deux circonstances, qui, d'après ce que nous venons de dire, n'ont pas nécessairement lieu dans les aimants, existent au contraire nécessairement dans ces fils; aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles semblables à ceux des aimants, mais placés exactement à leurs extrémités, comme le donne le calcul.

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 83

résulte de la simple observation que deux portions égales d'un même fil conducteur recouvertes de soie pour en empêcher la communication, tordues ensemble de manière à former Tune autour de l'autre deux hélices dont toutes les parties sont égales, et parcourues par un même courant* électrique Tune dans un sens et l'autre en sens contraire, n'exercent aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un aimant; on peut aussi la constater à l'aide du conducteur mobile qu'on voit dans la figure 9 de la planche première du Tome XVIII des Annales de Chimie et de Physique, relative à la description d'un de mes appareils électrodynamiques, et qui est représenté ici (fig. 1). On place pour cela un peu audessous de la partie inférieure deef d' de ce conducteur, et dans une direction quelconque, un conducteur reetiligne horizontal plusieurs fois redoublé AB, de manière que le milieu de sa longueur et de son épaisseur soit dans la verticale qui passe par la pointe X et autour de laquelle tourne librement le conducteur mobile. On voit alors que ce conducteur reste dans la situation où on le place; ce qui prouve qu'il y a équilibre entre les actions exercées par le conducteur fixe sur les deux portions égales et opposées de circuit voltaïque bcde, b' e' d' e' , qui ne diffèrent que parce que, dans l'une, le courant électrique va en s'approchant du conducteur fixe AB, et dans l'autre, en s'en éloignant, quel que soit d'ailleurs l'angle formé par la direction de ce dernier conducteur avec le plan du conducteur mobile; or, si Ton considère d'abord les deux actions exercées entre chacune de ces portions de circuit voltaïque et la moitié du conducteur AB

dont elle est la plus voisine, et ensuite les deux actions entre chacune d'elles et la moitié du même conducteur dont elle est la plus éloignée, on verra aisément :

i° Que l'équilibre dont nous venons de parler ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de cet angle,

Fig. i.

qu'autant qu'il y a séparément équilibre entre les deux premières actions et les deux dernières;

2° Que si Tune des deux premières est attractive parce que les côtés de l'angle aigu formé par les portions de conducteur entre lesquelles elle a lieu sont parcourus dans le même sens par le courant électrique, l'autre sera répulsive parce qu'elle aura lieu entre les deux côtés de l'angle égal opposé au sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant, en sorte qu'il faudra d'abord, pour qu'il y ait équilibre entre elles, que cette attraction et cette

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 85

répulsion qui tendent à faire tourner le conducteur mobile, Tune dans un sens et l'autre dans le sens opposé, soient égales entre elles, et ensuite que les deux dernières actions, Tune attractive et l'autre répulsive, qui s'exercent entre les côtés des deux angles obtus opposés a a sommet qui sont les suppléments des premiers, soient aussi égales entre elles. Il est inutile de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des produits des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petite du conducteur mobile, multipliées par leur distance à la verticale autour de laquelle il peut librement tourner; mais, comme les distances à cette verticale des portions infiniment petites correspondantes des deux branches bcde, b ' c' cl ' e' sont toujours égales entre elles, l'égalité des moments rend nécessaire celle des forces.

Le second des trois cas généraux d'équilibre est celui que j'ai remarqué à la fin de l'année 1820; il consiste dans l'égalité d'action sur un conducteur rectiligne mobile de deux conducteurs fixes, situés à égales distances du conducteur mobile, l'un rectiligne et l'autre plié et contourné d'une manière quelconque, quelles que soient d'ailleurs les sinuosités formées par ce dernier. On peut voir, dans les Notes sur l'exposé sommaire des expériences électrodynamiques (') faites par différents physiciens en 1821 (p. 216 et suiv. de ce Recueil), la description de l'appareil avec lequel j'ai vérifié cette égalité d'action

(l) Voir ce que j'ai dit sur la préférence que j'ai donnée à cette dénomination : Expériences èlectvodynamiques, dans les notes qui sont au bas des pages 200 et 237 de ce Recueil.

par des expériences susceptibles d'une grande précision. J'ai démontré, dans un Mémoire lu, le 4 décembre 1820, à F Académie des Sciences, en partant de ce fait ainsi constaté, que si Ton nomme p une fonction des trois angles qui déterminent la situation respective de deux portions infiniment petites de courants électriques, proportionnelle à la force qu'elles exercent Tune sur l'autre à une dislance déterminée, lorsqu'on fait varier cette situation et qu'on désigne ces trois angles par a, (3, y, — a et (3 étant ceux que les directions des deux petites portions forment avec la ligne qui en joint les milieux, et y l'inclinaison mutuelle des plans de ces deux angles, — la fonction p sera nécessairement de la forme

sin a sin [3 cosy -+• k cosa cos 3,

k étant un coefficient constant ('). Il me restait à déterminer la valeur de ce coefficient; je n'y réussis pas dans le temps, je vis seulement, d'après des expériences que j'ai communiquées à l'Académie, le 11 décembre 1820, que cette valeur paraissait être d'autant plus petite que les expériences que je faisais pour la déterminer étaient plus exactes. Comme je ne soupçonnais pas alors que cette valeur fût négative, j'en conclus seulement qu'elle pouvait être regardée comme nulle. J'ai trouvé, depuis, un troisième cas

(*) La quantité que je représente ici par k est désignée

par — dans le Cahier de septembre du Journal de Physique ,

année 1820, où j ai inséré la démonstration dont il est ici question, et qu'on trouve avec plus de détail dans ce Recueil,

ELECTROMAGNETISME ET ELECTRODYNAMIQUE. 87

d'équilibre indépendant de la forme du fil conducteur, d'où résulte une relation entre À et l'exposant de la puissance de la distance de deux portions infiniment petites de courants électriques, à laquelle leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle quand cette distance varie. La description de l'appareil avec lequel j'ai constaté ce nouveau cas d'équilibre, et le calcul par lequel j'en ai conclu la relation dont je viens de parler, sont le principal objet du Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie. Mais comme ce calcul ne peut se faire 'qu'à l'aide dune transformation par laquelle j'ai exprimé la fonction des trois angles a, (3, y, que je viens de nommer p, en différentielles partielles de la distance des deux portions infiniment petites de courants électriques

Fig. 2.

que l'on considère, je crois devoir d'abord expliquer cette transformation. Soient BM et B'M' {fig. 2) deux lignes représentant des fils conducteurs, et qui seront en général deux courbes à double courbure;

supposons que s et sf représentent les arcs BM et B'M', comptées depuis les points fixes B et B\ Mm = ds, M'm'=ds' seront deux portions infiniment petites de ces conducteurs, et leurs directions seront déterminées par les deux tangentes MT et M'T'; en nommant r la distance MM7, r sera évidemment une fonction des deux variables indépendantes s et sf ; si Ton abaisse, des points m, mr, les perpendiculaires me, m V sur MM', qui pourront être considérées comme de petits arcs de cercles décrits respectivement des centres Mf et M, et qu'on prenne les angles a et (3 de manière qu'ils aient leur ouverture tournée du même côté, comme je l'ai supposé dans le calcul de la valeur de p, l'angle a étant pris, par exemple, entre la direction MT de M m et le prolongement MK de MM', et l'angle (3 entre la direction MT de M' m' et la ligne MM' elle-même, on aura ces deux équations

dr

cosa = — y ds

dr

parce que le point M' reste fixe quand s varie seul

dans la fonction r, et le point M quand c'est s' '; on

tire de là

ds ds' K h

(!) On trouverait

dr dr

cos a cos 8 = -y- -r-, y

ds ds

si l'on prenait pour a et p les angles M'MT, MM'T, dont les

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 89

En diflerentiant la valeur de cos(3 par. rapport à s,

on trouve

dp . dïr

ds ds ds' '

mais quand le point M est transporté en m et que s dévient par conséquent s 4- ds, l'angle (3 diminue évidemment, tant que l'angle y des deux plans MMT, MM T' est aigu, d'une quantité qui est la projection de l'angle MM' m sur le plan MM'T'; et comme cet angle est infiniment petit, on a

d$ = — MM' m cos y,

valeur qui s'applique aussi au cas où y est un angle obtus, parce qu'alors (3 augmente avec s. Mais l'angle MM' m a pour mesure

me ds sin y.

ainsi

MM " r '

dfi sin a cos y

ds r

d'où il suit que

sin a sin p cos y = — /• —y — r-r- «s as

En substituant ces valeurs de sina sin(3 cosy et

ouvertures sont tournées en sens contraire; mais le résultat du calcul ne serait point changé, parce que ce changement de signe de cosacosjâ entraînerait celui de la valeur de k quand on déterminerait A\ et donnerait par conséquent la même valeur pour

sin a sin p cos y -h k cos a cos ,3.

de cos a cos(3 dans celle de p, on obtient

cfir dr dr

ds ds' ds ds'

ri—k l rk y fcpk—1 — . )

\ ds ds' ds ds I

\ ds) r1-* d*(r«-*-*)

ds i -+- k ds ds'

Comme c'est la quantité

sin a sin [3 cos y -t- k cos a cos [3

que nous avons représentée par p, on a cette formule de trigonométrie analytique qui pourrait peut-être recevoir d'autres applications :

rl—k / rl+& \

sin a sin S cos v -h À cos a cos S = T d'2 ( — — — •

1 ' ' i -+- k \ ds ds )

Si Ton y suppose k = i, elle devient

sin a sin p cos v -4- cos a cos i = » » ; ■

r ds ds

et si Ton représente par #, y, z trois coordonnées rectangulaires du point M, et par x\ y1 ', z' celles du point JVF rapportées aux mêmes axes, x,y, z varieront seules avec s, et a/, yf , z! avec s' ; d'où il suit, à cause de

r2 (#' ar)2 h (y__^)2 4 ( z' S)2

ÉLECTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 91

que

} ds'

\ dy

iU

dx

ds

dy'

ds' ~

s ds'

on aura

donc

si 11 a sin

(3 cos

Y -h cosa cos t3

dx ~d~s

dx'

cfc ds1

dz ds

qui est évidemment la valeur du cosinus de l'angle formé par les directions de Mm el de Mf m'; le cosinus de cet angle se trouve ainsi égal à

sin a sin (3 cos y -h cosa cos (3;

ce qui est d'ailleurs évident par le principe fondamental de la trigonométrie sphériqne.

Si Ton nomme i et i' les actions exercées à la distance dans la situation OÙ

a = 3 = - et

ce qui donne p = i, par deux portions des fils conducteurs BM et IV M' égales à l'unité de longueur, sur une portion égale à la même unité d'un troisième conducteur dont l'énergie électrodynamique soil prise pour l'unité des énergies respectives des divers conducteurs, et qu'on désigne par n l'exposant de la puissance de la dislance de deux portions infiniment

petites de conducteurs, à laquelle leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle quand cette distance varie seule, il sera aisé de voir, d'après ce que j'ai donné sur ce sujet dans le Cahier de septembre du Journal de Physique et dans ce Recueil, page 225 et suivantes, que les intensités d'action des deux petites portions de conducteurs, que j'ai nommées g et // dans la Note du Journal de Physique, seront représentées ici, à cause que leurs longueurs sont ds et ds' , par i ds et V ds\ et que leur action mutuelle le sera

par

pii' ds dsr

l'exposant n étant égal à 2, si cette action est, toutes choses égales d'ailleurs, en raison inverse du carré de la distance, comme je l'ai admis dès mes premiers travaux sur les phénomènes électrodynamiques, en me fondant, à la vérité, plutôt sur l'analogie que suides preuves directes.

En remplaçant dans cette expression la fonction p par ses valeurs trouvées ci-dessus, elle devient

-k-n JL__ L u' ds ds'

ou

ds

r\—k—n fj-l(ri-i-k\