A,U TRACÉ DES ROUTES ISOLÉE

ANALYSE

Lue à la première Classe de l'Institut, le lundi 25 sep*

tembre i8i5.

On ne peut guère parcourir des pays trèsmontueux , sans que l^esprit se portç sur la ma* nière plus ou moins avantageuse dont Ibs routes que l'on suit sont adaptées aux formes du terrain. C'est aussi dans de semblables voyages , que j'ai trouvé les principes qui font l'objet de ces re* cherches , et rédigé le premier Mémoire que j'ai l'honneiu* de présenter à ]a classe. Les applications s'ofiraient d'elles-mêmes dans les diverses opérations dont j'étais le témoin et l'observateur; j'ai donc pu rapprocher sans cesse les conceptions de la théorie et les faits de la pratique. C'est cette réunion qui seule peut donner quelque prix à mon travail.

Ce Mémoire, et las deux qui le suivront , sont au nombre de ceux qui doivent composer la secpnde partie de mes Développements de géométrie, comme applications aux travaux des services publics.

Nous montrons d'abord que le caractère spécial des questions qui tiennent à la théorie du tracé des routes, c'est d'être indépendantes de toute considération relative à l'accélération ou à la retardàtion instantanée de la vitesse des mobiles qui parcourent ces routes. Cela tient à l'organi-^ sation de l'homme et des animaux qui traînent ou qui portent ces mobiles, et qui nt peuvent à chaque instant altérer la vitesse de leur pas , suivant les variations insensibles de la pente des routes.

Toutes choses égales d'ailleurs, la route laplti^ avantageuse est , suivant les câs , celle qui de*mande le moins de temps, le moins de forces 'y ou la moindre dépense.

Lorsque c'est le temps qui doit être un minimum, et que les routes sont destinées à des hommes ou >des animaux qui marchent d'uh pas constant, il est évident que la route la ^lus courte , entre deux points donnés , est toujours la plus avantageuse. Observons bien cependant que rhomme et leâ ahitnaux ne peuvent marcher d'un pas cou6teiit> en portant ou traii|â&t im

fardeau déterminé^ que quand la pente de la route ne dépasse pas une certaine limite.

Si Ton veut que la quantité totale de forces , au lieu du temps , soit un minimum y le problème devient plus compliqué. Il £aut connaître pour chaque espèce de transport » la quantité de forces nécessaire pour parcourir une unité d'espace, avec un p6ids donné , depuis la descente la plus rapide , jusqu'à la montée la plus rude. On peut se demander ensuite quelle est , entre deux points fixés sur un terrain quelconque , la route qui demande le moins de force totale , d'après cette évaluation primitive.

Nous démontrons que y sur un plan , la route qui demande la moindre quantité de forces est toujours la ligne droite ; et que, sur une surface dont toutes les pentes sont peu considérables, la ligne la plus courte est toujours celle qui demande le moins de force totale pour aller d'un point à un autre.

Enfin , dans la troisième hypothèse qui est proprement le cas essentiel à la pratique , si 1 on veut que le prix du transport soit un minimum , il faut voir comment ce prix est alloué.

Dans tous les travaux de l'architecture , civile ou militaire , dans les transports opérés sur terre par le commerce ou parla poste, etc. , le prix du transport est proportionnel à la distance parcoiH rue. Dans beaucoup de cas le prix est augmenté

d'une somme proportionnelle à la hauteur des montées. Si donc on parvient, par des considérations quelconques, à déterminer la position des points culminants et des points les plus bas des routes, il est évidcjnt qu'alors la hauteur de chaque ' montée est déterminée par ces points extrêmes, et par conséquent aussi que le prix supplémentaire alloué pour cette montée est fixé. U en serait de miéme des retenues qu'on pourrait opérer sur les descentes. Il ne reste donc plus de variable que le prix proportionnel à la longueur de la route, et ce ^prîx est un minimum quand la route est la pi us cour* te possible. Tel est le point de vue sous lequel nous allons envisager la théorie du tracé des routes.

Le cas le plus simple que puisse oflFrir cette théorie, est la recherche de la direction de la route la plus avantageuse pour aller d'un point à un autre , sur un terrain donné.

Ce premier cas renferme, comme on voit, le tracé des routes destinées à la circulation des hommes, des animaux , et des voitures conduites par eux ; dès qu'une fois on a fixé le point de départ et le point d'arrivée.

On peut supposer , ensuite , qu^un nombre quelconque d'obj[ets isolés doivent être portés cje la manière la plus avantageuse , ea certains points pareillement isolés , sans qu^on ait attribué tet point d'arrivée plutôt que tel autre à chacun desr

points de départ. On voit qu'ici non-seulement se présente la difficulté de tracer chaque route entre des points extrêmes, maïs qu'il faut avant tout déterminer le point d'arrivée qui doit correspondre à chaque point de départ. La question des routes ainsi posée forme l'objet de ce premier travail.

Dans un second Mémoire, nous supposons que les points d'arrivée, d'un côté, les points de départ , de l'autre , forment une suite continue, linéaire, superficielle ou solide : ce qui coippréiid tous les cas de la théorie des déblais et remblais.

Dans un troisième Mémoire , nous appliquons les résultats des deux précédents à la recherche des routes que suivent des faisceaux de irayons lumineux ou sonores , réfléchis par des miroirs ou des échos quelconques. Nous parvenons de la sorte à quelques vérités nouvelles sur Id catoptrique et lacoustique ; en même temps , cette application nous fait connaître d'autres propriétés des routes les plus avantageuses , dans les transports efTeclués par l'homme ou lès animaux, sur nos routes ordinaires.

Revenons au tracé d'une route, entre deux points donnés. Si nous n'avions égard qu'à l'étendue des espaces a parcourir, il est bien évident que la route la plus avantageuse serait toujours là ligne droite qui joint les deux points limites dû

cet espace. Mais nous ne pouvons pas suivre une voie arbitraire et parement idéale^ pour franchir avec les fardeaux que nous déplaçons , l'intervalle qui sépare le lieu du départ du lieu de l'arrivée. Il faut marcher sur le sol , en suivre les inflexions , les détours, les irrégularités de toute espèce. Ce serait donc s'occuper d'une question curieuse en elle-même, mais presque sans application , que d envisager les routes comme étant toujours rectilignes. On peut, par cette hypothèse, être conduit à des vérités géométriques d'un très-grand intérêt pour la science , mais sans utilité pour la pratique. C^ , c'est vers ce dernier but que nous cherchons sans cesse à diriger nos efforts.

M. Monge qui sêul encore a tenté de soumettre à la géométrie , la recherche des routes les plus avantageuses , a très bien fait sentir la vérité de ces observations. Il les présente en terminant le beau Mémoire dans lequel il exposa pour la première fols la théorie de là courbure des surfaces , afin de l'appliquer immédiatem^t aux cas abstraits qu'il se bornait à considérer dans les déblais et remblais des volumes.

« La solution de ce problème , qu'il eût été très- >} difficile de trouver , dit ce grand géomètre , n par les méthodes ordinaires des maximtmft » et minimum , est très-éloignée d'être appliea-

» ble à la pratique ; tant à cause des difficultés » que Tanalyse peut prëseuter^ que parce que » nous ne sommes pas dans l'hypothèse de la na* » ture : en effet, dans le transport des terres , » chaque molécule ne peut pas toujours suivre la D droite menée du point de départ au point d'arri- » vée ; on ne peut que la traîner sur la surface du M terrain dont , à cause de la pesanteur , elle doit » suivre toutes les sinuosités, surtout dans le sens » vertical. Ces considérations, dit toujours l'au- » teur que nous citons , nous auraient empêché » de traiter ce dernier cas (celui du transport » d une masse divisible en éléments infiniment » petits ) , s'il ne nous eût pas fourni l'occasion » de publier quelques propriétés nouvelles et re- » marquables des surfaces courbes considérées » en général. »

Je me propose spécialement d'étendre mes solutions aux cas dans lesquels les routes ne sauraient être dirigées suivant la ligne droite mienée du point de départ au point d'arrivée. C'est le seul moyen par lequel je puisse ajouter quelque chose aux travaux d'un grand maître.

J'appelle route directe la ligne la plus courte que Ion puisse mener, d'un point à un autre, sur un terrain quelconque. Dans quelques cas, la route directe sei'a droite; dans un plus grand nombre de cas , elle sera en partie droite, en par-

lie courbe , et plus souvent encore elle sera tout* à*fait courbe.

Tant que les pentes du terrain seront peu considérables , la route directe sera toujours celle qui exigera la moindre dépense pour conduire un jardeau d'un point à un autre point , pris touts deux sur cette ligne.

Mais il fa»t ^ pour cela^ que la pente du terrain n'acquière pas une rapidité telle que les transports ne puissent plus s'y faire sans employer des hommes ou .des animaux.de renfort, pour traîner ou porter une charge donnée. Il vaudrait mieux alors suivre un chemin plus long que la route directe, mais qui n'offrit pas une pente aussi rude.

Entre les pentes très-douces, où la route directe est la plus avantageuse, et les pentes trèsfortes , oii elle ne l'est pas , il doit exister une pente moyenne au-dessus de laquelle les routes directes cessent d^étre les plus avantageuses et doivent par conséquent être abandonnées. Cette pente est la même quelle que soit Vinclinaison et la courbure du terrain.

Et d'abord, puisqu'il existe une certaine pente audessous de laquelle il vaut mieux allonger les routes pour diminuer la grandeur de leur inclinaison , concluons-en que les routes ne doivent en aucun de leurs points , présenter u^Bbente plus forte que cette limite. ^^

Et si Ion fait tourner la sur&ce des centres de carène autour d'un axe quelconque mené par le centre de gravité du corps flottant; puis, qu'on détermine la sur&ce de révolution enveloppe de l'espace parcouru par cette surface, en se dirigeant ensuite sur la courbe de contact de Fenve- Ibppe et de l'enveloppée y on rencontrera successivement touts les centres de carène qui appartiennent aux positions d'équilibre , et ces centres appartiendront alternativement à des positions stable f instable; stable , instable ; etc.

S'il y a des* positions d'équilibre mixtes , il faudra regarder chacune d'elles comme la réunion de deux positions d'équilibre, l'une stable et l'autre instable; et l'on trouvera toujours, en marchant sur la courbe de contact dont nous venons de parler , que les centres de carène qui correspondent à des positions d'équilibre, appartiennent alternativement à des positions d'équilibre stable et instable.

Ce nouvel ouvrage de M. Dupin confirme les espérances que ce jeune savant a données par ses premiers travaux , et l'on ne peut qu'applaudir à ses efforts constants pour en diriger les résultats vers la pratique du grand art auquel il s'est voué. Nous pensons que le Mémoire de M. Dupin mérite l'approbation de la classe, et nous lui pro-

posons de le Êiire comprendre dans la collection des savants e'trangers.

Signé Sané , Poinsot , et Carnot rapporteur.

Le Secre'taire perpétuel pour les sciences mathe'niatiques certifie que ce rapport est extrait du procès verbal de la séance du mardi 3o août i8i4«

Signé Delambre , -^.

Cheyalier de la légion-d honneur.

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APPLICATIONS

P£ GÉOM]£TIlIË

à.V TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES.

ANALYSE

Lue à la première Classe de Tlnstitut, le lundi 25 sep*

tembre i8i5.

On ne peut guère parcourir des pays trèstnontueux , saus que Tesprit se portç sur la manière plus ou moins avantageuse dont Iks routes que l'on suit sont adaptées aux formes du terrain. C'est aussi dans de semblables voyages ^ que j'ai trouvé les principes qui font l'objet de ces re* cherches , et rédigé le premier Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à la classe. Les applications s'ofiraient d'elles-mêmes dans les diverses opérations dont j'étais le témoin et l'observateur; j'ai donc pu rapprocher sans cesse les conceptions de la théorie et les faits de la pratique. Cest cette réunion qui seule peut donner quelque prix à mon travail.

Ce Mémoire^ et les deux qui le suivront , 90»t au nombre de ceux qui doivent composer la secpnde partie de mes Développements de géométrie, comme applications aux travaux des ser^* vices publics.

Nous montrons d'abord que le caractère spécial des questions qui tiennent à la théorie du tracé des routes, c'est d'être indépendantes de toute considération relative à l'accélération ou à la retardàtion instantanée de la vitesse des mobiles qui parcourent ces routes. Cela tient à l'organisation de l'homme et des animaux qui traînent ou qui portent ces mobiles, et qui ne peuvent à chaque instant altérer la vitesse de leur pas , suivant les variations insensibles de la pente des routes.

Toutes cho^s égales d'ailleurs , la route lapluë avantageuse est , suivant les cas , celle qui de*mande le moins de temps > le moins de forces '^ ou la moindre dépense.

Lorsque c'est le tenips qui doit être un minimum, et que les routes sont destinées à des hommes ou xdes animaux qui marchent d'uh pas constant, il est évident que la rcHite k j^lus courte , entre deux points donnés ^ est totijours la plus avantageuse. Observons bien cepaidant que l'homme et leâ animaux ne peuvent marcher d'un pas Q0U6itnt> en portant ou traiiiafit nn

fardeau déterminé, que quand la pente de la route ne dépasse pas une certaine limite.

Si Ton veut que la quantité totale de forces , au lieu du temps , soit un minimum , le pro* blême devient plus compliqué. U faut connaitre pour chaque espèce de transport , la quantité de forces nécessaire pour parcourir une unité d'espace, avec un poids donné , depuis la descente la plus rapide , jusqu'à la montée la plus rude. On peut se demander ensuite quelle est , entre deux points fixés sur un terrain quelconque, la route qui demande le moins de force totale, d'après cette évaluation primitive.

INous démontrons que, sur un plan, la route qui demande la moindre quantité de forces est toujours la ligne droite ; et que, sur une surface dont toutes les pentes sont peu considérables, la ligne la plus courte est toujours celle qui demande le moins de force totale pour aller d un point à un autre.

Enfin , dans la troisième hypothèse qui est proprement le cas essentiel à la pratique, si Ion veut que le prix du transport soit un minimum , il faut voir comment ce prix est alloué.

d'une somme proportionnelle à la hauteur des montées. Si donc on parvient, par des considérations quelconques, à déterminer la position des points culminants et des points les plus bas des routes, il est évidc^nt qu'alors la hauteur de chaque ' montée est déterminée par ces points extrêmes, et par conséquent aussi que le prix supplémentaire alloué pour cette montée est fixé. U en serait de même des retenues qu'on pourrait opérer sur les descentes. U ne reste donc plus de variable que le prix proportionnel à la longueur de la route, et ce ^prix est un minimum quand la route est la pi us cour-^ te possible . Tel est le poi nt de vue sous lequel nous allons envisager la théorie du tracé des routes.

Le cas le plus simple que puisse offrir cette théorie, est la recherche de la direction de la route la plus avantageuse pour aller d'un point à un autre , sur un terrain donné.

Ce premier cas renferme, comme on voit, le tracé des routes destinées à la circulation des hommes , des animaux , et des voitures conduites par eux ; dès qu'une fois on a fixé le point de départ et le point d'arrivée.

On peut supposer, ensuite, qu^un nombre quelconque d'obj[ets isolés doivent être portés 4^ la manière la plus avantageuse , ea certains points pareillement isolés > sans qu'on ait attribué tel point d'arrivée plutôt que tel autre à chacun des^

points de départ. Oq voit quici non-seulement se présente la difficulté de tracer chaque route entre des points extrêmes, maïs qu'il faut avant tout déterminer le point d'arrivée qui doit correspondre à chaque point de départ, La question des roules ainsi posée forme l'objet de ce premier travail.

Dans un second Mémoire, nous supposons que les points d'arrivée , d'un côté , les points de départ , de l'autre , forment une suite continuel linéaire , superficielle ou solide : ce qui coipprèiid tous les cas de la théorie des déblais et réniblais.

Dans un troisième Mémoire , nous appliquons les résultats des deux précédents à la recherche des routes que suivent des faisceaux de rayons lumineux ou sonores, réfléchis par des miroirs ou des échos quelconques. Nous parvenons de la sorte à quelques vérités nouvelles sur Id catoptrique et l'acoustique ; en même temps , cette application nous fait connaître d'autres propriétés des routes les plus avantageuses , dans les transports efTeclués par l'homme ou les animaux, sur nos routes ordinaires.

Revenons au tracé d'une route, entre deux points donnés. Si nous n'avions égard qu'à l'étendue des espaces à parcourir, il est bien évident que la route la plus avantageuse serait toujours la ligne droite qui joint les deux points limites de

cet espace. Mais nous ne pouvons pas suivre une voie arbitraire et purement idéale^ pour franchir avec les fardeaux que nous déplaçons ^ Tin* tervalle qui sépare le lieu du départ du lieu de l'arrivée. Il faut marcher sur le sol , en suivre les inflexions , les détours, les irrégularités de toute espèce. Ce serait donc s'occuper d'une question curieuse en elle-même, mais presque sans application , que d envisager les routes comme étant toujours rectilignes. On peut, par cette hypothèse, être conduit à des vérités géométriques d'un très-grat^d intérêt pour la science , mais sans utilité pour la pratique. C^ , c'est vers ce dernier but que nous cherchons sans cesse à âiri^et nos eflToilis.

M. Monge qui s^ul encore a tenté de soumettre à la géométrie, la recherche des routes les plus avantageuses , a très bien fait sentir la vérité de ces observations. Il les présente en terminant le beau Mémoire dans lequel il exposa pour la première fois la théorie de là courbure des surfaces , afin de l'appliquer immédiatem^t aux cas abstraits qu'il se bornait à considérer dans les déblais et remblais des volumes.

w La solution de ce problème , qu'il eût ététrès- » difficile de trouver, dit ce grand géomètre, )) par les méthodes ordinaires des maximum » et minimum , est très-éloignée d être applica-

» ble à la pratique ; tant à cause des difficultés » que l'analyse peut présenter , que parce que » nous ne sommes pas dans Thypothèse de la na- » ture : en effet, dans le transport des terres, » chaque molécule ne peut pas toujours suivre la D droitemenée du point de départ au point d'arrî- » vée ; on ne peut que la traîner sur la surface du » terrain dont , k cause de la pesanteur , elle doit » suivre toutes les sinuosités, surtout dans le sens » vertical. Ces considérations, dit toujours l'au- » teur que nous citons , nous auraient empêché » de traiter ce dernier cas (celui du transport » d une masse divisible en éléments infiniment » petits ) , s'il ne nous eût pas fourni Toccasion » de publier quelques propriétés nouvelles et re- » marquables des surfaces courbes considérées » en général. »

Je me propose spécialement d'étendre mes solutions aux cas dans lesquels les routes ne sauraient être dirigées suivant la ligne droite menée du point de départ au point d'arrivée. C'est le seul moyen par lequel je puisse ajouter quelque chose aux travaux d'un grand maître.

J'appelle wnte directe la ligne la plus courte que Ton puisse mener, d'un point à un autre, sur un terrain quelconque. Dans quelques cas, la route directe sera droite; dans un plus grand nombre de cas , elle sera en partie droite, en par-

Ce Mémoire, et les deux qui le suivront , so»t au nombre de ceux qui doivent composer la secpnde partie de mes Développements de géométrie, comme applications aux travaux des services publics.

Nous montrons d'abord que le caractère spécial des questions qui tiennent à la théorie du tracé des routes, c'est d'être indépendantes de toute considération relative à l'accélération ou à la retardàtion instantanée de la vitesse des mobiles qui parcourent ces routes. Cela tient à l'organisation de l'homme et des animaux qui traînent ou qui portent ces mobiles, et qui ne peuvent à chaque instant altérer la vitesse de leur pas , suivant les variations insensibles de la pente des routes.

Toutes choses égales d'ailleurs , la route lapine avantageuse est , suivant les cas , celle qui de*mande le moins de teftips , le moins de forces y ou la moindre dépense.

Lorsque c'est le temps qui doit être un minimum, et que les routes sont destinées à des hommes ou ^des animaux qui marchent d'uh pas constant , il est évident que la rcHite k j^lus courte , entre deux points dotinés , est toujours la plus avantageuse. Observons bien cepaidant que rhomme et les animaux ne peuvent marcher d'un pas Q0U6itnt> en portant ou trai^âlit «p

Et si Ion £3iit tourner la surface des centres de carène autour d'un axe quelconque mené par le centre de gravité du corps flottant; puis, qu'on détermine la sur&ce de révolution enveloppe de l'espace parcouru par cette surface, en se dirigeant ensuite sur la courbe de contact de Fenve- Ibppe et de Fenveloppée , on rencontrera successivement touts les centres de carène qui appartiennent aux positions d'équilibre, et ces centres appartiendront alternativement à des positions stable , instable ; stable , instable ; etc.

S'il y a des- positions d'équilibre mixtes , il faudra regarder chacune d'elles comme la réunion de deux positions d'équilibre, l'une stable et l'autre instable; et l'on trouvera toujours, en marchant sur la courbe de contact dont nous venons de parler , que les centres de carène qui correspondent à des positions d'équilibre, appartiennent alternativement à des positions ^ d'équilibrâ stable et instable.

Ce nouvel ouvrage de M. Dupin confirme les espérances que ce jeune savant a données par ses premiers travaux , et Ton ne peut qu'applaudir à ses efforts constants pour en diriger les résultats vers la pratique du grand art auquel il s'est voué. Nous pensons que le Mémoire de M. Dupin mérite l'approbation de la classe, et nous lui pro-

posons de le ùÀre comprendre dans la collection des savants e'trangers.

Signé Sané , Poinsot , et Carnot rapporteur.

Le Secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques certifie que ce rapport est extrait du procès verbal de la séance du mardi 3o août i8i4*

Signé Delambre ,

Cheyalier de la légion-d honneur.

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