REMBLAIS

ANALYSE

Lue a la première Classe de l'Institut de France , vers la

fin de-i8i5.

ÇiOMME notre premier Mémoire sur le tracé des routes avait pour bût d'exposer les principes d'une théorie immédiatement applicable à la pratique^ nous ayons mis touts nos soins à présenter sous la forme la plus élémentaire nos considérations fondamentales et nos principaux moyens de solution. Nous avons rattaché ces généralités à des exemples nombreux y pour rendre nos idées plus sensibles encore ^ et leur donner quelque chose de l'intérêt qu'on éprouve lorsqu'on voit des vérités abstraites se rattacher naturellement à des faits f à des opérations dont la loi nous était cachée.

En supposant d'abord que la surface du terrain

(tkt plane ; puis, qu'elle oârit une courbure quelconque , nous avons déterminé , d'après le systè-

me actuel de nos transports par terre : premièrement la route la plus avantageuse pour aller d'un point à un autre ; secondement^ le meilleur système de routes pour transporter en des points isolés plusieurs points matériels pareillement isola avant leur départ. Il nous reste à traiter le cas le plus difficile , cest celui où les objets à transporter forment une masse continue avant et après le transport. Tels sont les problèmes que présentent presque toutes les opérations de déblais et de remblais.

Les matériaux à enlever^ considérés dans leur masse et leur figure , forment, le déblai. Ces ma* tériaux^ considérés de même dans leur masse et leur figure après le transport , forment ce qu'on appelle le remblai. A quelles lois sont assujetties les routes les plus avantageuses pour opérer ce déplacement , en connaissant la masse et la figure du déblai et du remblai ? Tel est le problème dont notre Mémoire a pour but d'offrir la solution générale.

M. Monge est le seul géomètre qui se soit occupé de cette question , dont les applications anx arts sont si fréquentes et d'un si grand intérêt Mais il ne s'est proposé que de traiter le cas le plus simple et le plus rarement applicable ;

c'est celui où toutes les routes peuvent être en même temps des lignes droites.

Ici, comme dans notre premier Mémoire^ nous supposons que les routes sont des lignes quelconques ^ droites ou courbes^ suivant la ïiature du terrain ^ et déterminées seulement par la condition que les transports effectués sur ces routes soient le lÉoins coûteux possible.

Nous distinguons toujours dans les routes deux espèces bien différentes ; i°. les routes directes p qui sont les lignes les plus courtes qu'on puisse suivre pour aller d'un point à un autre, lorsqu'on ne rencontre pas des montées trop rudes ou des. descentes trop rapides ; 2°. les routes obliaues , dont la pente ascendante ou descendante , mai» toujours la même^ est celle qu'il ne faut jamais dépasser dans les transports.

Pour avancer graduellement du simple au com« posé , nous admettons d'abord que toutes les routes sont directes; puis, en partie directes, en partie obliques ; et finalement, tout-à-fait obliques^ Dans le même esprit , nous traitons successivement du transport d'une ligne matérielle, ensuite d'une aire matérielle , et enfin d'un volume quelconque.

On peut offrit des exemples du premier genre de transports, en supposant qu'il faille déplacer une rangée continue de gabions ou de fascine^ , pour former ailleurs une semblable rangée , ou

^'il fidlle exca^er un fosse très-peu large et très-peu profond , pour en porter la terre dans un autre fosse du même genre.

Nou» présentons la solution générale de ce premier cas , et nous arrivons à ce résultat remarquable : Lorsqu'il faut déblajrer une Ugn^ maièrielle , pour former ailleurs une nouvelle Ugne matérielle , il y a des points du débbU desquels U ne peut quune seule route; iljr en a d autres desquels il paH deux routes à la fois. Les rouies uniques sont groupées ensemble , les doubles rour tes forment un autre groupe , et, dans ce dernier groupe, deux routes qui partent du même, point, j forment le même angle avec la, ligne matérielle quon déblaie. '

Nous passons ensuite au transport des aire$ matérielles définies par des courbes arbitraires sur des terrains quelconques.

On a l'exemple de ce genre de déblais et àf remblais , lorsqu'il s'agit d'enlever le gazon d'unf prairie , pour en revêtir des ouvrages de forti6cation ; lorsqu'on veut dépaver ou désabler une su* perficie quelconque, pour repaver, resabler une autre superficie, etc. Alors , eu supposant au dé* blai la même épaisseur qu'au remblai , il hut évidemment ùire abstraction de cette épaisseur, pour ne considérer que la superficie des matériaux à transporter.

Si les 'épaisseurs du déblai et du reiUBlai ne sont plus supjiosées lès mêilles^ les superficies comprises^ par des' routes consécutives y dans le délai et dans le remblai y seront en raisoh iiiVêrse de ces épaisseurs. Mais cette^^etlle condition nouvelle observée y les réktions que nous éfablt^ons eiit^e les roiites pôtir le transport des aires y sid)sistént dahs toute leur généralité.

Lofequ'on doit déblayer une aii*e, coriitne lorsqu'on dbît déblayer une ligtie matérielle, on trouve qu'il est des points desquels il ne part qu'une seule route , et des points desquels il part à la /ois deux routes différentes. Ces derniers points forment une courbe qui, dans l'intérieur dû déblai , sépare deux groupes de routes essentiellement distincts ; mais les deux groupes ne sont plus distincts dans le remblai , où toutes les routes se succèdent sans solution de continuité.

]$f . Monge, dans son Mémoire sur les déblais et \é& remblais, après avoir donné le moyen de déterminer la direction des routes et le prix du^ transport des aires planes , observe qu'il est un cas où la solution ne peut plus s'appliquer : c'est celui que nous venons d'indiquer, et que nous croyons avoir traité d'une manière complète.

(c Dans ce cas, dit-il, la solution précédente est » illusoire, i^. Elle ne donne pas le minimum » du prix du transport , parce que les routes de

» quelques molécules se coupent entre leurs ex- » trémités. 2^. Elle ne donne pas le transport totale )» parce qu'alors certaines molécules doivent être D transportées deux fois , tandis qu'il ny a point » de transport indiqué pour d'autres molécules. M Dans ce cas, pour résoudre la question, il » faut diviser le déblai en deux parties par une » courbe , et le remblai en deux parties par une » autre courbe ; et chercher quelles doivent être » ces deux courbes , pour que les deux parties du » dâ>lai étant transportées séparément , par la » méthode précédente , sur les deux parties cor- D rèspondantes du remblai , la somme des pnh » duits des molécules par les espaces parcourus }} soit un minimum : question qui est de naturç ï> à être traitée par les maxima et les minima >> des formules indéfinies.

Nous observons que le célèbre géomètre auquel nous empruntons ce passage , semble croire à la nécessité de deux courbes séparatrices , l'une

tracée dans l'aire plane du déblai , l'autre dans Faire plane du remblai. Cependant, d'après ce que nous avons démontré, on doit conclure qu'en général une seule courbe doit suffire. Il y a plus, si les routes étaient séparées par deux courbes, une dans le déblai, l'autre dans le remblai, ces deux courbes ne se correspondraient pas ; elles ne sépareraient pas des partie&de même superficie ;

tît ces deux courbes séparatrices ne seraient pas décrites par le même mouvement continu.

Nous passons enfin au cas le plus difficile et le plus compliqué de la théorie des routes ; et nous nous proposons de déblayer , par éléments infiniment petits une masse quelconque à trois dimensions.

Ici y la surface du terrain n'est plus la même avant et après le transport^ puisque la masse qu'on porte par portions, fait elle-même partie du terrain . A chaque nouvelle charge qu'on ôte au déblai pour l'a jouter au remblai , la surface du terrain varie donc. Pour obtenir le meilleur système de routes , il faut que ce changement progressif du ' terrain s'opère delà manière la plus avantageuse; or, c'est évidemment ce qui aura lieu, si l'on taille si bien le déblai, et si l'on remplit si bien le remblai , qae les voitures aillent toujours en ligne droite tant qu'on n'est pas sorti du déblai , et dès qu'on est entré dans le remblai.

Les parties droites sont les tangentes des parties courbes qui occupent Tintervalle entre le déblai et le remblai. Les parties droites sont les normales d'une même surface. Les parties courbes sont autant de centres de courbure de cette surface ; et toutes les propriétés générales que nous avons exposées sur les courbures des surfaces dans nos Développements de géométrie viennent

ce théorème général , que dans tout système , le plus avantageux, d^un nombre; quelconque derou^ tes f jamais deux parties directes ne dowent se croiser entre leurs extrémités : leurs seuls prolon" gements peuvent se rencontrer.

De même , aussi , jamais une rouie oblique ne saurait croiser une rouie directe sous un angle Jini : il faut quelles se raccordent tangentielle' ment. Mais deux routes obliques peuvent se croiser sous un angle fini, dans le meilleur système de routes comme dans tout autre.

Nous démontrons enfin que ^ pour joindre deux points de départ à deux points d'arrivée , le systè* me qui présentera deux routes obliques sera tou- )Ours plus avantageux que celui qui présenterait une route directe et l'autre oblique. Mais si les deux systèmes sont composés de routes obliques, Tun n'est pas plus avantageux que l'autre.

Passons enfin au cas général , où l'on compte m objets à transporter de m points , en m autres points isolés. En les combinant deux à ûetxXf on peut déterminef les meilleurs systèmes partiels dont se compose le meilleur système gé* néral.

n est un cas où l'on peut parvenir à la détermination de ce système d'une manière bien plus directe et bien plus Êicile.

Si l'on trace toutes les routes qui peuvent join^ dre chaque point de départ à touts les points d'ar* rivée , lespace traversé par ces lignes sera terminé par un certain polygone formé de ces lignes entières ou d'une partie de ces lignes. Si donc, sur le périhaètre de ce polygpne , on rencontre successivement, i^. touts les points de départ, :2®. touts les points d'arrivée , il y aura un système de routes plus avantageux que touts les autres , et déterminable immédiatement.

Si l'on part du premier des points de départ , lequel est contigu , sur le polygone , au dernier des points d'arrivée ; puis, qu'on prenne ensemble le second point de départ et l'avant - dernier point d'arrivée , le troisième point de départ et l'antépénultième point d'arrivée , etc. , les routes qui joindront ces points , ainsi combinés deux à deux, seront celles du système le plus avantageux.

Le cas que nous venons d'examiner est , trèsbeureusement , celui qui s'ofire le plus souvent dans la pratique. Presque toujours les points de départ sont d^un côté , les points d^arrivée de l'autre ; et Ion peut facilement résoudre le problème général que présente la recherche du meilleur système d'un nombre quelconque de routes isolées.

proqnement cette théorie peut nous conduire à de nouvelles propriétés des routes dans les déblais et les remblais. Tel est le double objet de notre troisième Mémoire (i), dont nous remettons d'indiquer dans une autre séance les principaux résultats , pour ne pas abuser de Findulgence de la Classe.

(i) Ce troisième Mémoire a été approuvé par rinsiitat, comme les deux premiers. D'après un beau rapport de "M . Cauchy , il a été jugé digne de faire partie de la collection des savants étrangers , publiée par l'académie des sciences.