A.U TRACÉ DES ROUTES ISOLÉES

ANALYSE

Lue à la première Classe de l'Institut, le lundi 25 sep-

tembre i8i5.

On ne peut guère parcourir des pays trèsmontueux ^ sans que Tesprit se porte, sur la ma* nière plus ou moins avantageuse dont Ibs routes que l'on suit sont adaptées aux formes du terrain. C'est aussi dans de semblables voyages , que j'ai trouvé les principes qui font l'objet de ces recherches , et rédigé le premier Mémoire que j'ai l'honneiu* de présenter à la classe. Les applications s'ofiraient d'elles-mêmes dans les diverses opérations dont j'étais le témoin et l'observateur; j'ai donc pu rapprocher sans cesse les conceptions de la théorie et les faits de la pratique. C^est cette réunion qui seule peut donner quelque prix à mon travail.

Ce Mémoire, et Icis deux qui le suivront , soat au nombre de ceux qui doivent composer la secpnde partie de mes Développements de géométrie, comme applications aux travaux des services publics.

Nous montrons d'abord que le caractère spécial des questions qui tiennent à la théorie du tracé des routes, c'est d'être indépendantes de toute considération relative à l'accélération ou à la retardàtîon instantanée de la vitesse des mobiles qui parcourent ces routes. Cela tient à l'organisation de l'homme et des animaux qui traînent ou qui portent ces mobiles, et qui ne peuvent a chaque instant altérer la vitesse de leur pas , suivant les variations insensibles de la pente des routes.

Toutes choses égales d'ailleurs , la route lapllië avantageuse est , suivant les cas , celle qui de*mande le moins de tetnps, le moins de forces y ou la moindre dépense.

Lorsque c'est le temps qui doit être un minimum, et que les routes sont destinées à des hommes ou ^des animaux qui marchent d'uh pas constant, il est évident que la route kt ]^lus courte , entre deux points donnés , est tO!:ijottrs la plus avantageuse. Observons bien cependant que Tbomme et Ie6 atiitnaux ne peuvent marcher d'un pas coa6tftiit> en portant ou trai1^1lt nn

fardeau déterminé^ que quand la pente delà route ne dépasse pas une certaine limite.

Si Ton veut que la quantité totale de forces , au lieu du temps , soit un minimum , le problème devient plus compliqué. U faut connaître pour chaque espèce de transport ^ la quantité de forces nécessaire pour parcourir une unité d'espace, avec un poids aonné , depuis la descente la plus rapide , jusqu'à la montée la plus rude. On peut se demander ensuite quelle est , entre deux points fixés sur un terrain quelconque, la route qui demande le moins de force totale , d'après cette évaluation primitive.

INous démontrons que, sur un plan, la route qui demande la moindre quantité de forces est toujours la ligne droite; et que, sur une surface dont toutes les pentes sont peu considérables, la ligne la plus courte est toujours celle qui demande le moins de force totale pour aller d'un point a un autre.

Enfin , dans la troisième hypothèse qui est proprement le cas essentiel à la pratique, si Ton veut que le prix du transport soit un minimum , il faut voir comment ce prix est alloué.

Dans tous les travaux de l'architecture , civile ou militaire, dans les transports opérés sur terre par le commerce ou parla poste, etc. , le prix du transport est proportionnel à la distance parcou* rue* Dans beaucoup de cas le piix est augmenté

d'une somme proportionnelle à la hauteur des rtionte'es. Si donc on parvient, par des considérations quelconques, à déterminer la position des points culminants et dés points les plus bas des routes, il est évident qu'alors la hauteur de chaque i montée est déterminée par ces points extrêmes, et par conséquent aussi que le prix supplémentaire alloué pour cette montée est fixé. U en serait de même des retenues qu'on pourrait opérer sur les descentes. Il ne reste donc plus de variable que le prijc proportionnel à la longueur de la route, et ce ^prix est un minimum quand la route est la plus cour^ te possible. Tel est le point de vue sous lequel nous allons envisager la théorie du tracé des routes.

Le cas le plus simple que puisse offrir cette théorie, est la recherche de la direction de la route la plus avantageuse pour aller d'un point à un autre , sur un terrain donné.

Ce premier cas renferme, comme on voit, le tracé des routes destinées à la circulation des hommes , des animaux , et des voitures conduites par eux ; dès qu'une fois on a fixé le point de départ et le point d'arrivée.

On peut supposer, ensuite, qu^un nombre quelconque d'objets isolés doivent être portés 4^ la manière la plus avantageuse, ea certains points pareillement isolés > sans qu'on ait attribué tel point d'arrivée plutôt que tel autre à chacim des^

points de départ. On voit qu'ici non-seulement se présente la difficulté de tracer chaque route entre des points extrêmes, maïs qu'il faut avant tout déterminer le point d'arrivée qui doit correspondre à chaque point de départ. La question des routes ainsi posée forme l'objet de ce premier travail.

Dans un second Mémoire, nous supposons que les points d'arrivée , d'un côté , les points de départ , de l'autre , forment une suite continue, linéaire , superficielle ou solide : ce qui coipprend tous les cas de la théorie des déblais et remblais^.

Dans un troisième Mémoire, nous appliquons les résultats des deux précédents à la recherche des routes que suivent des faisceaux de irayons lumineux ou sonores, réfléchis par des miroirs ou des échos quelconques. Nous parvenons de la sorte à quelques vérités nouvelles sur là catoptrique et l'acoustique ; en même temps , cette application nous fait connaître d'autres propriétés des routes les plus avantageuses , dans les transports effectués par l'homme ou lès animaux, sur nos routes^ ordinaires.

Revenons au tracé d'une route, entre deux points donnés. Si nous n'avions égard qu'à l'étendue des espaces à parcourir, il est bien évident que la route la plus avantageuse serait toujours là ligne droite qui joint les deux points limites de

cet espace. Mais nous ne pouvons pâs suivre une voie arbitraire et purement idëalci pour franchir avec les fardeaux que nous déplaçons , Tinter valle qui sépare le lieu du départ du lieu de l'arrivée. Il faut marcher sur le sol , en suivre les indeicions ^ les détours, les irrégularités de toute espèce. Ce serait d6nc s'occuper d'une question curieuse en elle-même, mais presque sans application, que d envisager les routes comme étant toujours rectilignes. On peut, par cette hypothèse, être conduit à des vérités géométriques d'Un très-grand intérêt pour la science , ttiais sans utilité pour la pratique. Or , c'est vers ce dernier but que nous cherchons sans cesse à dirigea nos efforts.

M. Monge qui séul encore a tenté de soumettre à la géométrie , la recherche des routes les plus avantageuses , a très bien fait sentir la vérité de ces observations. 11 les présente en terminant le beau Mémoire dans lequel il exposa pour la première fois la théorie de fei courbure des surfaces , afin de l'appliquer immédiatem^t aux cas abstraits qu'il se bornait à considérer dans les déblais et remblais des volumes.

w La solution de ce problème , qu'il eût ététrès- » difficile de trouver, dit ce grand géomètre, M par les méthodes ordinaires des maximum w et minimum, est très-cloignée detre applica-

» ble à la pratique ; tant à cause des difficultés M que Tanalyse peut présenter, que parce que » nous ne sommes pas dans l'hypothèse de la na* D ture : en effet, dans le transport des terres, » chaque molécule ne peut pas toujours suivre la » droite menée du point de départ au point d'arrl- » vée ; on ne peut que la traîner sur la sur£ace du » terrain dont , k cause de la pesanteur , elle doit » suivre toutes les sinuosités, surtout dans le sens » vertical. Ces considérations, dit toujours l'au- » teur que nous citons , nous auraient empêché » de traiter ce dernier cas (celui du transport » d une masse divisible en éléments infiniment » petits ) , s'il ne nous eût pas fourni l'occasion » de publier quelques propriétés nouvelles et re- » marquables des surfaces courbes considérées )) en général. »

Je me propose spécialement d'étendre mes solutions aux cas dans lesquels les routes ne sauraient être dirigées suivant la ligne droite menée du point de départ au point d'arrivée. C'est le seul moyen par lequel je puisse ajouter quelque chose aux travaux d'un grand maître.

J'appelle route directe la ligne la plus courte que Ton puisse mener, d'un point à un autre, sur un terrain quelconque. Dans quelques cas, la route directe sera droite; dans un plus grand nombre de cas , elle sera en partie droite, en par-

tie courbe , et plus souvent encore elle sera toutà-fait courbe.

Tant que les pentes du terrain seront peu considérables , la route directe sera toujours celle qui exigera la moindre dépense pour conduire un Jardeau d'un point à un autre point , pris touts deux sur cette ligne.

Mais il faut , pour cela, que la pente du terrain n'acquière pas une rapidité telle que les transports ne puissent plus s'y faire sans employer des hommes ou .des animaux .de renfort , pour traîner ou porter une charge donnée. Il vaudrait mieux . alors suivre un chemin plus long que la route directe, mais qui n'offrit pas une pente aussi rude.

Entre les pentes très-douces, où la route directe est la plus avantageuse , et les pentes trèsfortes , où elle ne l'est pas , il doit exister une pente moyenne au-dessus de laquelle les routes directes cessent d*être les plus avantageuses et doivent par conséquent être abandonnées. Cette pente est la même quelle que soit Vinclinaison et la courbure du terrain.

Et d'abord, puisqu'il existe une certaine pente audessous de laquelle il vaut mieux allonger les routes pour diminuer la grandeur de leur inclinaison , concluons-en que les routes ne doivent en aucun de leurs points , présenter uiMbente plus forte que cette limite. ^^

Nous nommerons toujours route oblique la partie qui présente une pente limite constante.

Une route peut donc être entièrement directe ; elle peut étre^ en partie directe, en partie oblicpei ou mixte; enfin elle peut être totalement oblique. Entre deui^ points donnés y on ne pent mener qu'une seule route directe ; mais si Ton pent entre ces points , tracer une route qui soit en tout on en partie oblique y on peut tracer une infinité d autres routes semblables et non moins avantar geuses , entre les mêmes points de départ et d arrivée.

Toutes ces routes seront de véritables hélices tracées à la fois sur le terrain et sur des cylindres verticaux, dont Les bases, limitées parles ](irojections horizontales des points extrêmes, seront d'un même développement.

Sur une surface quelconque , les lignes d'égale pente présentent deux systèmes essentiellement distincts; de sorte que deux de ces lignes se croisent en chaque point , et sont placées symétriquement par rapport à la ligne de plus grande pente. On peut donc , à chaque instant , passer de la route dun système à la route de l'autre système , sans cesser de marcher suivant la direction la plufr avantageuse.

11 suit de là d|b dans le tracé des routes (Cliques, on pe|ut rlR autant de retours ou :tîgzags

qtie l'on veut, sans allonger pour cela la route.

Les chemins qui conduisent sur des montagnes rapides offrent presque touts de semblables zig-* eags f appelés lacets. Os sont d autant plus mul^ tipliës, que l'espace où Ton peut développer la route est plus resserré. Us ont peu dlnconvénient pour les piétons , ils en ont plus pour les bétes de somme , ils en ont beaucoup plus pour les hommes et les animaux qui traînent des voitures; parce qu'à la force tangentielle qui fait avancer dans le sens de la route ^ il faut ajouter une force de rotation ^ en pure perte pour le mouvement progressif.

Afin d'effectuer le changement de direction qu'exigent les zigzags de la route , il faut qu'à chaque point de déviation , les voitures et les animaux ou le^ hommes décrivent, en projection horizontale , un arc de cercle dont le rayon soit d'autant plus grand que la voiture et son attelage offrent plus de longueur.

Nous donnons , ici y comparativement les caract^es géométriques des routes obliques et des routes directes.

Oa doit voir combien il importe de détermi- Ber avec précision la limite commune des routes obliques et directes ^ c'est-à-dire , la limite des pentes.

Cette déternuination ne peut être faite que par

le secours- de rexpérience. Elle ne doit .pas être la même pour des routes dont la destination n'est pas la même. Elle est la plus grande possible pour les chemins destinés seulement aux gens de pied ; elle doit être un peu plus douce pour les bêtec: de somme, et plus douce encore pour les voitures.

Touts les psiys de montagnes offrent des exemples de cette différence remarquable. Très-souvent les piétons , les cavaliers, les voituriers ont leurs chemins séparés; le plus court pour les premiers , le moyen pour les seconds , le plus long pour les derniers.

Lorsqu'on a voulu percer des routes voîturables, à travers les pays de montagnes , on s'est guidé sur les sentiers tracés par les chasseurs ou les paysans. On a donc suivi presque toujours des pentes beaucoup trop fortes pour les voitures.

Un des perfectionnements les plus importante que nous ayons apportés aux routes du Mont-Cénis , du Simplon , de Tarare , célèbres par les difficultés et les dangers que présentait leur pente trop rapide , a été de ramener cette pente aux limites qui conviennent le mieux aux transports par voiture.

D faut observer que la limite des pentes n'est presque jamais la même pour la montée que pour la descente. 11 est des animaux qui peuvent plus

facilement descendre que monter; il en est d'au-^ très cpiî peuvent plus facilement nfionter que descendre, hes voitures pesantes qui vont habituellement au très-petit pas, ralentissent peu leur vitesse dans les montés, et Taccélèrent peu dans les descentes. Mais celles qui vont très-vite en plaine, et qui pourtant sont très-chargées, comme les diligences, vont très-doucement en montant , et généralement vite en descendant. On conçoit que ces différences doivent en apporter dans la considération de la limite qu'il faut donner à la pente propre, soit aux montées, soit aux descentes.

Sur les routes destinées aux communications habituelles du commerce ou de la guerre, le nombre des voitures qui vont étant à très-peu près égal à celui des voitures qui viennent , il ne £siut pas plus sacrifier les montées aux descentes que les descentes aux montées. Lorsqu'on connaît les deux limites , il faut prendre la moindre ,' pour terme des plus grandes pentes que l'on puisse donner à la route qu'on veut tracer.

Il n'en est pas ainsi dans les opérations où^l'on doit tout transporter dans une direction et rien dans la direction opposée. Lorsqu'il s agit, par exemple , de faire passer une chaîne de montagnes à une armée et à son matériel ; on peut alors faire usage de deux limites différentes, l'une pour

les descentes et l'autre pour les montées. Cest aussi j comme nous le verrons , ce qu'il faudrait faire dans les travaux de déblais et de remblais.

Nous nous proposons de résoudre les problèmes les plus intéressants que puisse offrir le tracé d'une route en partie directe^ en partie oblique , lorsqu'on connait le point de dépai^ et le point d arrivée. Nous supposons la forme du ter^ 'rain connue et déBnie par un nombre suffisant de courbes horizontales.

Nous admettons successivement que la route soit composée de deux parties directes et d'une oblique ou de deux obliques et d'une directe. Tantôt la route est composée d'une partie directe et d'une partie oblique seulement. Tantôt de deux parties directes et d'une partie oblique, intermédiaire. Tantôt, enfin, de deux parties obliques et d'une directe qui la sépare. Nous traitons ces trois cas différents.

Un problème plus compliqué que touts ceux dont nous venons d'annoncer la solution est celui où le point de départ et le point d'arrivée sont séparés par une éminence plus élevée que touts les deux , ou par une vallée plus basse que l'un et l'autre. Alors la route peut avoir jusqu'à trois parties directes séparées par deux obliques , ou trois parties obliques séparées par deux parties directes. C'est surtout pour le passage dçs gorges

de montagnes quie ee problème offre une* fréquente application'. Dan^ ce cas ^ la question est considérablanent simplifiée ^ parce qu'on £bce ordinairement pour point intermédiaire de la route , le poînt de la gorge où le terrain est horizontal ^ et qui se trouve au plus haut de la route ^ mais tout-à-fait dans le fond de la gorge par rapport à la direction perpendiculaire à cette route. Le point culminant de la route une fois donnée le problème est réduit aux cas. pré« cédents.

Nous offrons le moyen de déterminer le point culminant pat cette condition^ que le prix alloué pour la longueur de la route^ plus celui qu'on ajoute pour la hauteur à laquelle il faut monter^ moips la retenue qu'on pourrait exercer pour la quantité dont on descend^ doit être un minimum.

On se tromperait si l'on croyait qu'on pût toujours se b<H*ner aux seules considérations géomé* triques sur la nature du terrain ou l'on doit tracer des routes. Mille causes secondaires Tiennent déterminer le choix de telle direction générale , plutôt que de toute autre. Tantôt c'est le cours d'un torrent, d'une rivière , qu'il faut suivre ou qu'il faut éviter. Si le terrain où devrait passer la route n'offre que des rochers trop diflSçiles à travailler ; si le sol au contraire est trop mobile ;

si des éboulements, des avalanches, peuvent cou-

Tiîr et ramer la route , il faut ëhbisîr de riéuvelles directions. Il faut encore avoir égard a d'autres causes physiques , telles que Texposition solaire plus ou moins fiivorable , rélévation générale plus ou moins grande , et la température habituelle qui en résulte. Souvent enfin des considérations administratives ou militaires viennent compliquer ces données par des conditions nouvelles. Il faut regarder toutes ces conditions comme des limitations particulières imposées au problème^ s en servir pour déterminer des points principaux 9 des directions générales^ et tracer ensuite chaque partie de route d'après les règles géométriques que nous avons indiquées.

Passons maintenant, à \^, considération des routes qu'il faut suivre dans le transport combiné de plusieurs objets.

Lorqii*une route^ est tracée d'après les princi^pes que nous avons établis, quels que soient les points assignés sur elle pour le départ et Tarri* vée , il faut toujours suivre cette route pour effectuer de l'un à l'autre , le plus avantageusement possible, un transport quelconque. En effet, la route jouit , dans chacune de ses parties, de la propriété ' qui caractérise son entier, d'être la plus avantageuse de toutes celles que l'on pourrait tracer sur le terrain entré les ftiémes points ^e départ et d'alrrivée.

Mais s'il y avait plusieurs objets placés en des points tie départ séparés , pour être portés en d'autres points qtiî ne fiissent pas sur une mènie route , le problème pourrait devenir pluà compliqué. On pourrait , sans assigner à chaque poïnt de départ tel point d*arri vée plutèt que* térautre , demander seulement que la somme deé routes soit un minimum. C'est ce qu'il faudra faire , par exemple , lorsqu'il s agira d'objets exactement pareils à transporter par les mêmes moyens , et suivant un ordre quelconque.

Alors y en supposant que m soit le nombre dés objets à transporter 9 m étant aussi le noii^rê des points distincts de départ et d^arrivée , lénombre total des routes isolénient les plus avantageuses est m^ ; et le nombre des combinaisons possibles de ces routes pour transporter les m objets > est égal au produit des nombres naturels ^ depuis iin jusqu'à m. C'est donc parmi toutes ces ùornbmàisons qu'il Êiut chercher le meilleur système'^^{>os* sible.

Lorsqu'on a seulement deux objets à transporter^ le produit de un par deux étant deux^.il n'y a que deux systèmes de routes a comparer.

IN ous montrons^ dans chaque cas^quel est lesys* tème le plus avantageux. Npus faisons voir que celui dans lequel deux routes directes se croisent n'est jamais le meilleur possible : d'où nous concluons

ce théorème général , que dans tout système ^ le plus avantizgeux, dun nombre^ quelconque de rour tes , jamais deux parties directes ne dowent se croiser entre leurs extrémités : leurs seuls prolortgements peuvent se rencontrer.

De même , aussi , jamais une rouie oblique ne saurait croiser une route directe sous un (uigle Jini : il faut qu'elles se raccordent tangentiellô' ment. Mais deux routes obliques peuvent se croiser sous un angle fini , dans le meilleur système de routes comme dans tout autre.

Nous démontrons enfin que^ pour joindre deux points de départ à deux points d'arrivée , le système qui présentera deux routes obliques sera tou- )Ours plus avantageux que celui qui présenterait une route directe et l'autre oblique. Mais ai le% deux systèmes sont composés de routes obliques^ Tun n'est pas plus avantageux que l'autre.

Passons enfin au cas général , où Ton compte m objets à transporter de m points ^ en m autres points isolés. En les combinant deux à dewLf on peut déterminef les meilleurs systèmes partiels dont se compose le meilleur système général.

Il est un cas où l'on peut parvenir à la détermi^ nation de ce système d une manière bien plus directe et bien plus £aicile.

Si l'on trace toutes les routes qui peuyent join^ dre chaque point de déport à touts les points d'arrive'e , l'espace traversé par ces lignes sera terminé par un certain polygone formé de ces lignes entières ou d'une partie de ces lignes. Si donc^ sur le périfaiètre de ce polygone , on rencontre successivement, i^. touts les points de départ , 3®. touts les points d'arrivée , il y aura un système de routes plus avantageux que touts les autres , et déterminable immédiatement.

Si l'on part du premier des points de départ , lequel est contigu ^ sur le polygone ^ au dernier des points d'arrivée ; puis, qu'on prenne ensemble le second point de départ et l'avant - dernier point d'arrivée , le troisième point de départ et l'antépénultième point d'arrivée , etc. , les routes qui joindront ces points , ainsi combinés deux à deux, seront celles du système le plus avantageux.

Le cas que nous venons d'examiner est , trèsbeureusement , celui qui s'ofire le plus souvent dans la pratique. Presque toujours les points de départ sont d^un côté , les points d'arrivée de l'autre ; et Ion peut facilement résoudre le problème général que présente la recherche du meilleur système d'un nombre quelconque de routes isolées.

Nous terminons ce Mémoire par des considérations assez étendues sur les routes suivies par les fantassins , la cavalerie , Tartillerie et les équipages , dans les opérations militaires et dans les marches.

APPLICATIONS

DE GÉOMÉTRIE

AU TRACÉ DES ROUtSS DANS LES OÈBl/AIS ET LES